若交错级数的系数数列单调趋于0，且另一数列（通常为分母）单调递增趋于无穷大，则级数收敛。例题及解答 例题1：判断级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 的敛散性。解答：这是一个交错级数，可以使用莱布尼茨判别法。相邻两项的绝对值 $frac{1}{n}$ 和 $frac{1}{n+1}$ 单调递减。极限 $lim

当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。

级数收敛的概念与数列的极限紧密相关。如果一个级数的部分和数列有一个有限的极限，那么我们称这个级数是收敛的。例如，级数1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …的部分和数列是1/2, 3/4, 7/8, 15/16, …，这个数列的极限为1，因此该级数是收敛的。级数收敛意味着，随着项数的增加，部分和越来...

如果级数的和是确定的有限值，那么级数是收敛的；如果级数的和趋向于无穷大或不存在确定的有限值，那么级数是发散的。收敛性 一个具体的例子：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) 是收敛级数，其和为 1。部分和或前n项和 部分和（或前n项和）指的是级数中前n项的和。如果级...

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则：∑un收敛＜＝＞任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数p，有｜u+u+…＋u|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值...

解法一：显然有lnn!=ln1+ln2+ln3+...+lnn<nlnn，于是1/lnn!>1/(nlnn)而级数求和（n从2到无穷）1/(nlnn)发散 因此原级数发散。解法二：在【2，+∞】上有：∑1/ln(n!)=1/ln2+1/(ln2+ln3)+1/(ln2+ln3+ln4)+...+1/(ln2+ln3+ln4+...+lnn)a‹n›=1/(ln2...

当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散。再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数，用比值判别法或根值判别法进行判别，如果两判别法均失效。再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项...

数项级数∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)为一般项级数 先证部分和数列{∑(k=1,n) sin2k}有界 (-2*sin1)*∑(k=1,n) sin2k=∑(k=1,n)(cos(2k+1)-cos(2k-1)) （和差化积）=cos(2n+1)-cos1 因此| ∑(k=1,n) sin2k |=| ( cos(2n+1)-cos1 )/(-2*sin1) | ≤2/...

它其实不是发散数列，相反，是个收敛的。课本上说它所形成的级数是发散的。而级数的敛散性事和它的部分和所形成的数列的敛散是一致的。而它的和所形成的数列每后一项都大于前一项，（因为每后一项要加的都是正数才变成下一项）所以这个数列是发散的，即所对应的级数是发散的。具体为什么部分和的数列...

首先，需要确认级数的一般项是否随着项数的无限增大而趋于零。如果一般项不趋于零，则级数发散。考察部分和数列的敛散性：如果部分和数列的敛散性容易确定，可以直接判断级数的敛散性。但通常部分和数列的通项较难明确，因此需要借助其他方法。针对正项级数：达朗贝尔判别法或柯西判别法：这两种方法适用于正...