8.2 一元线性回归模型及其应用(精讲)(解析版)

思维导图

常见考法

考点一 样本中心解小题

【例1】（2021·江西赣州市）某产品在某零售摊位上的零售价x（元）与每天的销售量y（个）统计如下表：

x 16 50 17 18 34 19 31 y m 据上表可得回归直线方程为y6.4x151，则上表中的m的值为（ ） A．38

B．39

C．40

D．41

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【答案】D 【解析】由题意x1617181950m3431115m17.5，y，

444所以

115m6.417.5151，解得m41．故选：D． 4【一隅三反】

1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）随机变量x与y的数据如表中所列，其中缺少了一个数值，已知yˆ0.9x3，则缺少的数值为（ ） 关于x的线性回归方程为yx 2 5 B．6.6

3 6 C．7.5

4 ▲ D．8

5 7 6 9 y A．6 【答案】A

ˆ0.9x3过样本中心点x,y， 【解析】设缺少的数值为m，由于回归方程为y且x234565679m4，代入y0.9436.6，所以y6.6，解得m6.

55故选：A.

2．（2021·河南信阳市）根据如下样本数据：

x 2 4 3 2.5 4 5 6 y 0.5 2 3 得到的回归方程为ybxa，则（ ） A．a0，b0 C．a0，b0 【答案】B

ˆ0 B．a0，bˆ0 D．a0，bˆ0， 【解析】由图表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则bx23452.50.5234，y0.2，

55又回归方程ybxa经过点(4,0.2)，可得a0，故选：B．

3．（2021·安徽六安市·六安一中）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x 2 / 13

（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：C）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程y0.25xk.

x（次数/分钟） 20 25 30 27.5 40 29 50 32.5 60 36 yC 则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为（ ） A．33C 【答案】D

【解析】由表格中的数据可得xB．34C

C．35C

D．35.5C

20304050602527.52932.53640，y30，

55由于回归直线过样本中心点x,y，可得300.2540k，解得k20.

所以，回归直线方程为y0.25x20.在回归直线方程中，令x62，可得y0.25622035.5.故选：D.

考点二 一元线性方程

【例2】（2021·兴义市第二高级中学）在2010年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示： 价格x 销售量y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5 通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，求 （1）销售量y对商品的价格x的回归直线方程； （2）若使销售量为12，则价格应定为多少.

ˆˆaˆ中b附：在回归直线ybxxynxyiii1nnxi1ˆ ˆybx，a2inx2【答案】（1） y3.2x40 （2） 8.75 【解析】（1）由题意知x10，y8，

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ˆb999580635551083.2，a8(3.2)1040，

8190.25100110.251215100线性回归方程是y3.2x40；

（2）令y3.2x4012，可得x8.75，

预测销售量为12件时的售价是8.75元．

【一隅三反】

1．（2020·河南开封市）配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率y（单位：次/分钟）和配速x（单位：分钟/公里）的散点图，图2是一次马拉松比赛（全程约42公里）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.

（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；

（2）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次.

ˆˆaˆbxˆ中，b参考公式：线性回归方程y(xi1nnix)(yiy)i(xˆ ˆybx，ax)2参考数据：y135.

【答案】（1）y25x285；（2）210分钟，192名． 【解析】（1）由散点图中数据和参考数据得x4.55677.56，

5y100109130165171135，

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ˆbxxyyiii15xixi1521.536(1)300(5)1(26)1.5(35)25，

(1.5)2(1)202121.52ˆ135(25)6285， ˆybxa所以y与x的线性回归方程为y25x285. （2）将y160代入回归方程得x5，

所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为425210分钟. 从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为

0.0008500.00242102000.0，有6.4%的跑者成绩超过该跑者，

则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.03000192名.

2．（2020·云南红河哈尼族彝族自治州）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表： 年份 年份代码(t) 总交易额y(单位：百亿) 2014 1 5.7 2015 2 9.1 2016 3 12.1 2017 4 16.8 2018 5 21.3 2019 6 26.8 2020 7 37 （1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明； （2）利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额. 参考数据：

(ti17it)(yiy)138.5，nyyii17226.7，72.6；

参考公式：相关系数rttyyiii1ttyy2iii1i1nn2；

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回归方程ybta中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：bti17itiyytynxyiiinti17t2i1nti12inx2，

a=ybt.

ˆ4.9t1.2，预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为【答案】（1）答案见解析；（2）回归方程为y38百亿.

【解析】（1）t4，

7(ti17it)228，

7(tt)(yii1iy)138.5，yiyi1226.7

r所以

tt(yy)iii1n(ti1nnit)2(yiy)2i1nn138.50.98

22.626.7因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为0.98， 说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强，

从而可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系. （2）因为y18.4，

7(ti17it)228，

ˆ所以btt(yii17ii1iy)2tt138.54.9， 28ˆ，b18.44.941.2 ˆybaˆ4.9t1.2 所以y关于t的回归方程为yˆ4.981.238. 又将2021年对应的t8代入回归方程得：y所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.

3．（2021·湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某

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种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．

（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若

r0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？

附：相关系数公式rxxyyiii1nxxyy2iii1i1nn2xynxyiii1nxi1n2inx2yi1n．

2iny2参考数据：0.30.55，0.90.95．

回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为bxxyyxynxyiiiii1nnxxii1n2i1nxi12inx2，

ayxb．

【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）y0.3x2.5；610千克. 【解析】（1）由已知数据可得x524568344454， 5，y55所以

xxyy31100010316，

iii1i155xix231122202123225，

i1yiy2020202122，

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所以相关系数rxxyyiii15i15xix2i15yiy2690.95．

10252因为r0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．

（2）bxxyyiii15xxii15260.3，a450.32.5， 20所以回归方程为y0.3x2.5． 当x12时，y0.3122.56.1，

即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克．

考点三 非一元线性方程

【例3】（2020·全国高二课时练习）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到下表及散点图．

x 0.25 16 0.5 12 1 2 2 4 y 5 1

（1）根据散点图判断yabx与yckx哪一个适宜作为y关于x的回归方程；（给出判断即可，不

1必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程；（计算结果保留整数） （3）在（2）的条件下，设zyx且x4,，试求z的最小值．

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nnxixyiyiiˆi1xynxy参考公式：回归方程ybxˆaˆ中，bˆ1，nx2i2aybx.

ixinx2i1nxi1【答案】（1）yckx1；（2）y4x1；（3）6. 【解析】（1）由题中散点图可以判断，yckx1适宜作为y关于x的回归方程； （2）令tx1，则yckt，原数据变为

t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 由表可知y与t近似具有线性相关关系，计算得t4210.50.2551.55，

y161252157.2，

k416212150.520.25151.557.24222120.520.25251.55238.459.34，

所以，cykt7.241.551，则y4t1． 所以y关于x的回归方程是y4x1． （3）由（2）得zyx4xx1，x4,， 任取x1、x24，且x1x2，即x1x24，

可得z444x2x11z2xx11x1x1x244x1x21x22x1x2x1x2x1x2x1x24x，

1x2因为x1x24，则x1x20，x1x216，所以，z1z2，

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所以，函数z【一隅三反】

44x1在区间4,上单调递增，则zmin416. x41．（2020·江苏省如皋中学高二月考）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x（天数）与销售单价y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.

1110表中wi,wwi.

xi10i1（1）根据散点图判断yabx，与yc说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程. （3）若该产品的日销售量gx（件）与时间x的函数关系为gx市场第几天的销售额最高？最高为多少元？

附：对于一组数据u1,v1,u2,v2,u3,v3,...,un,vn，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘法

d哪一个更适合作价格y关于时间x的回归方程类型？（不必x100120xN，求该产品投放x 10 / 13

估计分别为(vi1nniv)(uiu),vu.

2i(uu)i1【答案】（1）yc售额为2420元；

1d更适合作价格y关于时间x的回归方程；（2）y20(1)；（3）第10天，最高销xx【解析】（1）根据散点图知yc（2）令w10d更适合作价格y关于时间x的回归方程类型； x1，则ycdw， xii而d(ww)(yi110ii1y)2(ww)18.420， 0.921cydw37.8200.20，即有y20(1)；

x（3）由题意结合（2）知：

日销售额为f(x)yg(x)20(1)(1201x100)， x∴f(x)20(1)(1201x10015)400(62)， xxx若t1212112，令h(t)6t5t5(t)， x1020112112112420元, 时，h(t)maxh()，即x10天，f(x)maxf(10)40010102020∴t所以该产品投放市场第10天的销售额最高，最高销售额为2420元.

2．（2021·江苏苏州市）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①

yx2，②yext，其中，，，t均为常数，e为自然对数的底数．令uixi，

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vilnyii1,2,,10，经计算得如下数据：

x y xxii1102 yi110iy 2u v 26 10215 1065 2 10680 105.36 ui1iu 2uuyy iii1vvii12 xxvv iii111250 130 2.6 12 （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程;（系数精确到0.01）

（ⅱ）若希望2021年盈利额y为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额x为多少亿元？（结果精确到0.01）

附：①相关系数r(xx)(yy)iii1n(xx)(yy)2iii1i1nnˆˆ中：bˆaˆbx，回归直线y2(xx)(yii1nii1niy)，

2(xx)ˆ ˆybxa②参考数据：ln20.693，ln51.609． 【答案】（1）模型yextˆe的拟合程度更好；（2）（ⅰ）y0.18x0.56；（ⅱ）27.56.

【解析】（1）设ui和yi的相关系数为r1，xi和vi的相关系数为r2，由题意，

r1uuyyiii110uuyyiii1i1102102130130.87，

11250215r2xxvviii110xixvivi1i110210212120.92，

652.613xt则r1r2，因此从相关系数的角度，模型ye的拟合程度更好．

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（2）（ⅰ）先建立v关于x的线性回归方程， 由yext，得lnytx，即vtx，

10xixvivˆi1121065， x2ixi1tˆvˆx5.361265260.56， 所以v关于x的线性回归方程为vˆ0.18x0.56， 所以lnyˆ0.18x0.56，则yˆe0.18x0.56．

（ⅱ）2021年盈利额y250（亿元）， 所以250e0.18x0.56，则0.18x0.56ln250， 因为ln2503ln5ln231.6090.6935.52，所以x5.520.560.1827.56．

所以2021年的研发资金投入量约为27.56亿元．

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