二重积分的计算方法

论二重积分的计算方法

摘要

二重积分在高等数学中占有非常重要的地位，几乎触及到数学的各个范围。因此学会二重积分的计算方法特别重要。本文主要讨论了化累次积分法、换元计算法、极坐标计算法。

关键字：二重积分;计算方法;积分法;换元;坐标计算法

Discussion On The Calculation Method Of Double

Integral

Abstract

Double integrals in higher mathematics plays a very important role in mathematics, almost touch each range. So learn to the double integral calculation method is particularly important. This paper mainly discusses the method of repeated integral, change element calculation method, calculation method of polar coordinates.

Keywords: Double integral; Calculation method of ; Integral method For element; Coordinate ;Calculation method

1 论二重积分的计算方法

第一章 重积分的概念

重积分的计算主要是把二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值。

第二章 累次积分法

2.1累次积分法其主要步骤；

累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图；

第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；

第三步：计算累次积分。

要注意的是，累次积分要选择适当的积分次序积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的。

2.2 二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：

一是先积y后积x的累次积分，即：若f(x,y)在矩形区域Da,bc,d上可积，且对每个xa,b，积分其fx,ydy存在，则累次积分dxfx,ydy也

cdbdac存在，且：fx,ydDbadxfx,ydy

cd其二是先积x后积y的累次积分，即：若fx,y在矩形区域Da,bc,d上可积，且对每个yc,d，积分fx,ydx存在，则累次积分dyfx,ydx也

abdbca存在，且：fx,ydDdcdyfx,ydx

ab特别当f(x,y)在矩形区域Da,bc,d上连续时，则有：

Dfx,ydbadxfx,ydycdbadxfx,ydy

cd选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积

2 论二重积分的计算方法

分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

例题2.2。1 计算Dsinxxdxdy，D是由y0,yx,x1 围成的区域

解：先画出区域D的图形，如图2

先对y后对x积分，则由D:sinxx10x10yx知

Ddxdysinxx0dxdy0x1sinxx0xdxsin01xdxcosx1

如果先对x后对y积分，由于不出来”。

sinxxdx不能用初等函数表示，这时重积分“积

更换积分次序的理论依据是什么呢？

对于给定一个二重积分fx,yd，若分别把它化为积分次序不同的二次

D积分而得下列等式：fx,yddxaDb2x1xfx,ydy ①

Dfx,ydbdcdy2y1yfx,ydx ②

d则显然有dxa2x1xfx,ydycdy2y1yfx,ydx③

如果首先给出③式中的一个二次积分（例如左端），而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出③式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。

1例题2.2.2．试更换2dx01xxfx,ydy的积分次序

解：把先对y积分更换为先对x积分

3 论二重积分的计算方法

由原累次积分的上、下限可得

x1xy2x1xD:10axb2xy1x，即1

0x2由D的联立双边不等式可画出域D的图形，如图3

再由图形写出先对x的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于x轴的箭头穿区域D，知先对x后对y积分必须将D分为

D1和

D2，其中

如图4

0xyD1:10y210x1y， D2:1y121

11y则I20dx1xxfx,ydy20dyfx,ydx0y12dy0fx,ydx

对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：

1由原累次积分的上、下限列出表示积分域D的联立双边不等式，例如○

1xy2xD:

axb2根据上列联立双边不等式画出区域D的图形 ○

3按新的累次积分次序，列出与之相应的区域D的联立双边不等式○

cydD: 1yx2y4.按○3中的不等式组写出新的累次积分的表达式。 ○

关于这方面的应用我们再看一个例子。

例题1.23（华中理工大学,2000年）设fx在[a,b]上连续，证明

4 论二重积分的计算方法

badxfydyaxbxfxdx

ab证：改变积分顺序得：

badxfydyaxbadyfydxybabyfydybbxfxdx

ab第三章 换元计算法

计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得.适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式.下面以定理时间给出.

定理：设fx,y在有界闭区域D上可积，变换T:xxu,v,yyu,v将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域D'一一地映成xy平面上的闭区域D，且满足：

1、函数xxu,v,y'yu,v在D内分别具有一阶连续偏导数.

xxv0 xv2、在D'上有雅可比行列式J则fx,ydxDuyuD'f[xu,v,yu,v]Ju,vdudv.

在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

y 例题3.1．（湖北大学2002年，中南矿治学院）求

DeDxydxdy，其中

x,y|xy1,x0,y0

xuv，即yuxyu解：令yu

0v1x,yDu,v|1,则D变成了 0uvu,vyuDexydxdyDedudvvdvedu001vuvve1dv0112e1

5 论二重积分的计算方法

选择适当的变换这种方法才有效，选择变换的基本要求是：变换后定限简便，求积容易.

第四章 极坐标计算法

当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题. 例如:

22exy222dxdy,22sin(xy)dxdy,22222cos(xy)dxdy等.

222xyaxyaxya用极坐标计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域的草图;

(2)将f(x,y)dxdy转化为f(rcos,rsin)rdrd,根据积分区域的草图确

DD定r和的积分范围;

(3)将f(rcos,rsin)rdrd转化为二次定积分,并计算得出结果.

D

例4.1画出积分区域,把二重积分f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分,

D其中区域D是:(1)x2y22x;(2)0y1x,0x1. 解:(1)积分区域D的草图如图所示:

图15

其边界为半径为1,圆心在(1,0)点的圆周.由xrcos,yrsin代入

6 论二重积分的计算方法

22xy2x 得它的极坐标方程为r2cos,2222,则D可表示为:

的射线,在这条射

0r2cos,2.任意取定(2,),作极角为线上,

运动变化着的r从r0穿入从r2cos穿出积分区域,所以0,2cos为里层积

分即对r的积分区间.故f(x,y)dxdyD22d2cos0f(rcos,rsin)rdr

(2)D的草图如图:

图16

由xrcos,yrsin代入y1x得其极坐标方程为

r1cossin1cossin,y0,x0的极坐标分别为0,,02,这时D可以表示为:

0r2,

1故: f(x,y)dxdyD20dcossin0f(rcos,rsin)rdr.

例4.2.计算下列二重积分: (1)IxydxdyD,其中D为:x2y22ax,x2y2a2,y0

(2) (x2y2)dxdy,其中D为: 2xx2y4x2.

D 解:(1)积分区域D的草图如图所示:

7 论二重积分的计算方法

图17

从草图来看选用极坐标比较方便(若选用直角坐标,则无论选取D为

X2型区域还是Y型区域都要分块).将xrcos,yrsin代入

2222xy2ax与xya分别得它们的极坐标方程为ra,r2acos,它们交

3点的极坐标为(a,).D的夹在0(即y0)与3之间,即的变化范围为

0,3,由极点O引射线(其极角(0,))穿过D内,它由ra穿入由

3r2acos穿出,则D可表示为:ar2acos,03故:

I30d42acosarcosrsinrdr3cossind02acosardr3

 a4916a30cossin(16cos1)d4a4230cosd(cos)

54.

(2) 积分区域草图如图所示:

8 论二重积分的计算方法

图18

根据积分区域D边界曲线及被积函数是x2y2的特点,选取极坐标比较方便,D的边界曲线y4x2,y2xx2,将xrcos,yrsin代入得极坐标方程分别为r2,r2cos,D夹杂y0及x0之间,即D在射线

0,2之间.由极点引射线(极角(0,)),它由边界r2cos穿入D,由

2边界r2穿出D,即D用极坐标可表示为2cosr2,02.故

I0222cosrrdr22140(22cos)d

444 42(1cos4)d4

024224 例4.3计算下列二重积分

(1)ln(x2y2)dxdy其中D为闭区域:e2x2y2e4,y0;

D315 (2)D1(xy)1xy2222dxdy其中D为闭区域:xy1,x0.

22 解:(1)积分区域D为上半圆域且被积函数中含(x2y2),用极坐标较简便,D的极坐标可表示为: ere2,0. 故

Dln(xy)dxdy220dlnrrdree2212e2elnrdr22 .

=

2r2lnrr22ee22e(3e1)22 (2)积分区域D为半径为1的右半圆域,被积函数是属于f(x2y2)类型的函数,用极坐标计算比较方便,又f(xy)221(xy)1xy2222关于y是偶函数,

积分区域D关于x轴对称,故原积分D是的第一象限部分D1上的积分的2倍,其中D1的极坐标表示为0r1,02.故:

9 论二重积分的计算方法

D1(xy)1xy2222dxdy2D11(xy)1xy2222dxdy2d2011r1r220

 2011rdr221r424arcsinr1r2

104(2)

对被积函数为fx2y2或积分区域为圆域，扇形域，圆环域时，可考虑利用极坐标系计算.此时可以设广义极坐标变换xx0arcosyy0brsin将xOy平面上的

有界闭区域D一一地变成r平面上有界闭区域D'，fx,y在D上连续，则：

fx,ydDfxD'0arcos,y0brcosabrdrd.

特别当： x0,y00,0,a1,b1时，公式变为极坐标公式： fx,ydDfrcos,rsindrd

D'

10 论二重积分的计算方法

二重积分计算方法总结

计算二重积分应该注意以下几点:

首先,选择坐标系.先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分.

其次,化二重积分为二次积分.根据区域形状和类型确定积分次序,从而穿线确定内限,夹线确定外限.

最后,计算二重积分.由内向外逐层计算,内层积分计算时,外层积分变量看做常量.

11 论二重积分的计算方法

参考文献

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12 论二重积分的计算方法

致 谢

本课题在选题及研究过程中得到陈裕先老师的悉心指导和不懈支持。陈裕先老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。陈裕先老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，给以终生受益无穷之道。陈裕先老师渊博的学术知识、诲人不倦的敬业精神以及宽容的待人风范使我获益颇多。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！

最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授!

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