最新2021-2022学年高二下学期期中检测数学试题含答案

1.若9人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐5人，则不同的乘车方法有多少种？（ ）

45A. A9A9

45B. A9A9

45C. C9C9

D. C9C9

451X~B2.若随机变量5,，则P(X3)等于（）

340A.

2431B.

310C.

273D.

5

3. 如图，点Ax1,fx1，Bx2,fx2在函数fx的图象上，且x2x1，f'x为fx的导函数，则f'x1与f'x2的大小关系是（ ）

A. f'x1f'x2 C. f'x1f'x2

B. f'x1f'x2 D. 不能确定

4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )

A.7814 B. C. D.1151515

5.若直线yxm是曲线ye的一条切线,则实数m的值是( )

x1 / 10

A.-1

B.0 C.1 D.2

6. 为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴

西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ） A．180种 B．150种 C．90种

1417.x(12x)展开式中x2的系数为（ ） D．114种

A．10 B．24 C．32 D．56

8. 已知函数fx的导函数为fx，在0,上满足xfxfx，则下列一定成立的是（）

A. 2019f20202020f2019 C. 2019f20202020f2019

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上. 9. 下列各式中，等于n!的是（ ）

n1A. An

nB. An1

n1C. nAn1

B. f2019f2020 D. f2019f2020

mD. m!Cn

10.对于二项式

x1x3，以下判断正确的有（ ） （nN）

nA．存在nN，展开式中有常数项 B．对任意nN，展开式中没有常数项

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C．对任意nN，展开式中没有x的一次项 D．存在nN，展开式中有x的一次项

11. 已知f'x是定义域为R的函数fx的导函数，如图是函数yxf'x的图象，则下列关于函数fx性质说法正确的是（ ） A. 单调递增区间是,3，0,3 B. 单调递减区间是,3，3, C. f3是极小值 D. f3是极小值

x2x112. 已知函数fx，则下列结论正确的是（）

exA. 函数fx存在两个不同的零点B. 函数fx既存在极大值又存在极小值 C. 当ek0时，fxk有且只有两个实根D. 若xt,时，fxmax则t的最小值为2

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

213. 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(2,)(0)，若在(0，4)

5，e2内取值的概率为0.6，则在(0，+∞)内取值的概率为__________

14. 设n为正整数，ab展开式的二项式系

2n数最大值为x，ab2n1展开式的二项式系

数的最大值为y，若13x＝7y，则n＝．

3412*15.(1x)(1x)(1x)x1,nN的展开式中x2的系数是__________.

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1lnx,x0f(x)x16.已知函数方程f2(x)2mf(x)0(mR)有五个不相等的

log2x,x0实数根，则实数m的取值范围是______．

四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）设2x19a0a1xa2x2a9x9，求：

（1）a1a2a3a9； （2）a12a23a39a9. 18. （12

分）（1）求曲线y11处的切线方程； 在点1，x1（2）求经过点（4，0）且与曲线yx相切的直线方程.

19.（12分）一辆汽车前往目的地需要经过4个有红绿灯的路口.汽车在每个

31路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停

44车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值. （1）求汽车在第3个路口首次停车的概率； （2）求的概率分布和数学期望.

220. （12分）已知函数f(x)axxxlnx,(x0)．

（1）设a1时，求f(x)的导函数f(x)h(x)的递增区间； （2）设g(x)f(x)，求g(x)的单调区间； x（3）若fx0对x0,恒成立，求a的取值范围．

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21. （12分）2名女生、4名男生排成一排，求： （1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？

（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？

22. （12分）已知函数fxsinxe，求证：

x2fx（1）在区间0,2存在唯一极大值点；

（2）fx在0,上有且仅有2个零点.

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高二数学期中检测答案

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分. 1-5：CAACC

6-8：DDA

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分. 9.AC10.AD11.BC12.ABC

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

116.(1,) 13. 0.8 14. 6 15. 285

2四、解答题：共6小题，共70分.

9217. 解：记f(x)(2x1)a0a1xa2xa9x9，

（1）因为a0f01， 由题意a0a1a2a9f(1)1， 所以a1a2a3a9f(1)a02.

82（2）因为f'(x)29(2x1)a12a2x3a3x9a9x8，

8所以12a23a39a9f'(1)29(21)18.

1处切线的斜率为1， 18.（1）当x1时，得在点1，切线方程为：y1(x1)，即xy20；

（2）设切点为(x0,切线方程为y11)，则切线的斜率为2

x0x0112(xx0)， x0x0切线过点(4,0)，

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112(4x0)，解得x02， x0x0所求切线方程

y11(x2)， 24即x4y40.

19.解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，

汽车在第3

个路口首次停车的概率为：p444．

33319（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为X，则X~B(4,4)，

用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值． 则的可能取值为0，2，4，则P(0)P(X2)C4(4)232154()2， 425612013133331P(2)P(X1)P(X3)，P(3)C4()()C4()()， 44442563182P(4)P(X4)P(X0)()4()4，44256的概率分布列为：

4 82 256 P 0 54 256 2 120 256

数学期望E()02562256425632．

220. 解：（1）f(x)axxxlnx,(x0)

541208271a1时，f(x)x2xxlnx，

f(x)2x1lnx12xlnx2，

令h(x)f(x)2xlnx2， 则h(x)2x12x1， x7 / 10

令h(x)0，得x1， 21h(x)的单调递增区间为(,)；

2f(x)ax1lnx,(x0) （2）g(x)x1ax1g(x)a，

xx若a0，则g(x)0恒成立，g(x)在(0,)单调递减； 若a0，令g(x)0，得x，g(x)单调递增， 令g(x)0，得0x综上所述，

当a0时，g(x)的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间；

11g(x)((0,)a0当时，的单调递减区间为，单调递增区间为,)；

aa1，g(x)单调递减. a1a（3）

fx0对x0,恒成立可转化为alnx1恒成立， x设(x)lnx1lnx，(x)2， xx则当x(0,1)时，(x)0，(x)单调递增， 当x(1,)时，(x)0，(x)单调递减，

(x)max(1)1，

a1，即a的取值范围为[1,).

21. 解：（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成： 第一步 将4名男生排成一排，有A4种排法；

4第二步 排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个 排2名女生，有A5种排法.

28 / 10

根据分步计数原理，不同的排法种数是

42A4A52420480.

（注：如无必要的文字说明扣1分）

（2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：

第一步 排2名女生.女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为C6；

2第二步 排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有

A44种.

根据分步计数原理，不同的排法种数是

24C6A41524360.

答：分别有480和360种不同的排法.

（注：如无必要的文字说明扣1分，无答扣1分） （注：无总结扣1分）

22. 解：（1）因为fxsinxe，所以f'xcosxex2x2，

x2xgxf'xg'xsinxe设，则，则当0,2时，g'x0，

gxf'x所以即在0,2单调递减，

212f'e0，且f'x图像是不间断的， f'010又，2e2由零点存在性定理可得f'x在0,2有唯一零点，设为.

xx0,f'x0则当时，；当,2时，f'x0.

9 / 10

fx0,所以在单调递增，在,2单调递减，

故fx在0,2存在唯一极大值点.

（2）因为fxsinxe，所以f'xcosxex2x2，

x2设gxf'x，则g'xsinxe，则当x0,时，g'x0，

所以gx即f'x在0,单调递减，

fx0,由（1）知，在单调递增，在,2单调递减.

22f()ff0e0f1e0又，，所以0， 222又fx的图像是不间断的，所以存在x10,，使得fx10；

x,f'x0fx又当2时，，所以在2,递减， 2ffe0因，又20，又fx的图像是不间断的， x所以存在22,，使得fx20；

当x,时，ex21，sinx1，所以fx0，从而fx在,没有零点.

综上，fx有且仅有2个零点.

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