2019届上海市高三上学期12月仿真数学试题(解析版)

一、单选题

1．已知等差数列1，a,b，等比数列3，a2,b5， 则该等差数列的公差为

（ ）

D．3

A．3或3 B．3或1 C．3

【答案】C 【解析】略

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线 若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9，则p（ ）C上的点，A.2 【答案】B

【解析】先由OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再由题意，列出方程求解，即可求出结果. 【详解】

因为OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，所以OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，

圆面积为9，圆的半径为3，又

圆心在OF的垂直平分线上，OFB.4

C.3

D.3

p，2pp3，p4. 24故选：B 【点睛】

本题主要考查由抛物线的准线与圆相切求参数，熟记抛物线的简单性质即可，属于基础题型.

3．已知函数ysinaxb(a0)的图象如图所示，则函数yloga(xb)的图象可能是（ ）

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A. B. C.

D.

【答案】C

【解析】试题分析：由函数ysinaxb(a0)的图像可知，a>1,0yloga(xb)的图像可能是C。

【考点】本题主要考查三角函数、对数函数的图象。

点评：基础题，对函数ysinaxb(a0)的图像观察后可以发现a>1,0二、填空题

x2y2x2y24．若椭圆C1：221a1b10和椭圆C2：221ab0的焦点相

a1b1a2b2同且a1>a2.给出如下四个结论： ①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；

a1b1； ②

a2b22222③a1a2b1b2；

④a1－a2其中，所有正确结论的序号是( ) A.②③④ C.①②④ 【答案】B

【解析】由已知条件可得a1－b1＝a2－b2，可得a1－a2＝b1－b2，而a1>a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；由a1－b1＝a2－b2，可得a1＋b2＝b1＋a2，则a1b2，

2222222222222222B.①③④ D.①②③

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a2b1的大小关系不确定，

a1b122不正确，即②不正确；又由a12－b12＝a2－b2，可得a2b2222a12－a2＝b1－b2，即③正确；∵a1>b1>0，a2>b2>0，∴a1＋a2>b1＋b2>0，而又由(a1

＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a25．设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模为______． 【答案】5

【解析】先由复数乘法运算，化简z，再由共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，即可得出结果. 【详解】

z(2i)2(i为虚数单位)，z44ii234i，z34i， 复数z的共轭复数的模为：32425．

故答案为：5 【点睛】

本题主要考查求复数的模，熟记复数的乘法运算法则，共轭复数的概念，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.

6．函数f(x)loga(x1)（a0且a1）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 . 【答案】（2,0）

【解析】试题分析：求函数过定点问题可有两个思路，一是几何方法，从函数图像出发，找出定点，因为对数函数ylogax过定点(1,0)，所以f(x)loga(x1)过定点（2,0），这是因为函数ylogax向右平移一个单位就得到f(x)loga(x1)，二是代数方法，从函数解析式出发，研究什么点的取值与a无关，由loga10知当x1取1，即x取2时，y恒等于0，即点（2,0）恒在函数f(x)loga(x1)上. 【考点】函数过定点问题，函数图像变换.

7．知abt(a0,b0),t为常数，且ab的最大值为2，则t= . 【答案】22

【解析】 试题分析：因为abt(a0,b0),由基本不等式ab第 3 页 共 15 页

abt又22因为ab最大值是2，所以

t2，t22. 2【考点】基本不等式求最值. 8．(2x17)的二项展开式中x的系数是______(用数学作答)． x【答案】280

【解析】先由题意，得到二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】

37r171rr7rr7r)的二项展开式的通项为：Tr1C7(2x)()C72x2， 因为(2xxx令73r1，可得r4， 243所以x的系数是C72280.

故答案为：280 【点睛】

本题主要考查求二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.

y2x29．设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线ab方程为__________． 【答案】y2x.

【解析】分析：由题意首先求得双曲线的方程，然后求解渐近线方程即可. 详解：由题意可得：2b2,b1，由焦距可得：2c23,c3，

22yx据此可知：ac2b22，双曲线方程为：1，

21y2x2则渐近线方程满足：0，

21据此计算可得渐近线方程为：y2x.

bx2y2点睛：双曲线221a0,b0的渐近线方程为yx，而双曲线

aababy2x2yxxy)，(的渐近线方程为即应注意其区别与联1a0,b022baab系.

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10．设定义在【答案】

上的函数的图象与图象的交点横坐标为，则

【解析】分析：两函数图象的交点横坐标为α，即当x=α时，两函数值相等，结合α∈(0，)，利用二倍角公式化简三角方程，利用同角三角函数基本关系式求值即可 解：依题意，sin2α=cosα α∈(0，) ∴2sinαcosα=cosα即sinα=

，∴cosα=故答案

==∴tanα===

点评：本题考查了方程与函数的关系，二倍角公式，同角三角函数基本关系式的运用 11．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 甲 乙

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 【答案】2

【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：＝

－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]/5＝2.

＝90.方差为：S2＝[(

第1次 87 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 88 第5次 93 92 x24x,x012．已知函数f(x)2，若fa2fa0，则实数a的取值范

x4x,x0围是______． 【答案】a1

【解析】先由函数奇偶性的概念判断f(x)为奇函数；再由二次函数单调性，得到函数f(x)在R上是减函数；将不等式fa2fa0化为a2a，求解，即可得

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出结果. 【详解】

x24x,x0因为f(x)2，

x4x,x0所以，当x0时，x0，f(x)x4xf(x)； 当x0时，x0，f(x)x4xf(x)； 当x0时，f(x)0；所以f(x)为奇函数；

2又当x0时，f(x)x4x单调递减；所以x0时，f(x)也单调递减；

22即函数f(x)在R上是减函数；

则由fa2fa0得fa2fafa，则a2a，即a1， 即实数a的取值范围是a1. 故答案为：a1 【点睛】

本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型. 13．在极坐标系中，直线l的方程为sin距离为__________． 【答案】

32A，则点2,442到直线l的2 2【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可． 详解：把直线l的方程sin2化为直角坐标方程得xy10， 42点A2,34的直角坐标为(2,2)， 由点到直线的距离公式，可得22122． 2点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

14．已知数列{an}中，an4n5，等比数列{bn}的公比q满足qanan1(n2)，

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且b1a2，则b1b2【答案】4n1

bn__________．

【解析】qanan14n5[4n15]4，b1a24253，所以bnb1qn134n1，bn342n1n134n1，所以

b1b2bn334343414n34n1，故答案为4n1.

14点睛：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题；先由an4n5及qanan1求出q，再由b1a2，求出b1，从而得到bn，进而得到bn，根据等比数列前n项和公式即可求得b1b2bn． 15．设集合S1,2,,9，集合Aa1,a2,a3是S的子集，且a1，a2，a3满足

a1a2a3，a3a26，那么满足条件的子集A的个数为______．

【答案】83

【解析】根据题意，得到只有a11,a22,a39时，不满足a3a26；因此，只需从集合S中任选三个数，减去不满足题意的情况，即可得出结果. 【详解】

由题意，只有a11,a22,a39时，不满足a3a26；

因此，从集合S1,2,,9中任选3个元素组成集合Aa1,a2,a3，且满足

3a1a2a3，a3a26的集合个数为C9184183.

故答案为：83 【点睛】

本题主要考查求集合子集的个数，熟记组合数的计算公式，以及集合间的关系即可，属于常考题型.

121nn，221111111111S2n3n2n，S3n4n3n2，S4n5n4n3n，

32245233011S5n6An5Bn4n2，，可以推测AB______．

6121【答案】

12kkkk16．记Sk123n，当k1,2,3,...时，观察下列等式：S1第 7 页 共 15 页

【解析】根据题意条件，找出规律：各等式右边各项的系数和为1；第二项为可求出结果. 【详解】

根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；第二项为

1；进而21； 2所以A

111511

，所以AB． ，B1262121212故答案为：【点睛】

1 12本题主要考查合情推理，根据题中条件找出规律，即可求解，属于常考题型. 17．定义在(,0)(0,)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，

{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“等比函数”。现有定义在(,0)(0,)上的

如下函数：①f(x)2；②f(x)log2x；③f(x)x；④f(x)ln2，则其中是“等比函数”的f(x)的序号为 【答案】③④

【解析】试题分析：由等比数列性质知

2anan2an1x2x，

xf(an)f(an2)2an2an22anan222an1f2(an1)f(x)2①当时，，故①不正确；

2f(a)f(a)log|a|log|a|log|a|f(an1)，故②不正确； nn22n2n22n1②

222f(a)f(a)aa（a）f(an1)，故③正确； f(x)xnn2nn2n1③当时，22f(a)f(a)aln2aln2aln2f(an1)，nn2nn2n1④故④正确；故答案为：③④．

22222【考点】指数函数，对数函数，幂函数的运算性质.

18．已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是__________. 【答案】1,,

243111【解析】试题分析：关于x的方程f(x)kxk有三个不同的实数根，转化为

yf(x)，ykxkkx1，两个函数图像有三个不同的交点，函数yf(x)的

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图像如图，函数ykx1恒过定点为1,0，观察图像易得：

111k1,,.

243

【考点】新概念数形结合

三、解答题

19．如图，在三棱锥PABC中，平面ABC平面APC，

ABBCAPPC2，ABCAPC90．

（1）求三棱锥PABC的体积；

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）

16 ；（2）33【解析】（1）取AC中点O，根据题意，得到PO为三棱锥PABC的高，再由三棱锥的体积公式，即可求出结果；

（2）先由题意得到OB、OC、OP两两垂直，以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出直线PA的方向向量，以及平面PBC的一个法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】

（1）取AC中点O，由APPC，OP底面ABC，可得PO为三棱锥PABC的高，

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三棱锥PABC的体积：

1111VPABCSABCOP221．

3323（2）取AC中点O，

ABBC，OBOC，

平面ABC平面APC，OB平面APC，OBOP，

以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．

ABBCPA2，OBOCOP1，

从而O(0,0,0)，B(1,0,0)，A0,1,0，C(0,1,0)，P(0,0,1)，

BC(1,1,0)，PB(1,0,1)，AP(0,1,1)，

设平面PBC的一个法向量n(x,y,z)，

则BCnxy0PBnxz0APn，取x1，得n(1,1,1)，

cosAP,nAPn6， 3直线PA与平面PBC所成角的正弦值为6．

3

【点睛】

本题主要考查求棱锥的体积，以及直线与平面所成的角，熟记线面垂直的判定与性质，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型. 20．

中，

分别为角

的对边，满足

.

（Ⅰ）求角的值；

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（Ⅱ）若【答案】（1）

，设角的大小为

（2）

的周长为，求的最大值.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先已知后可得到角A的值．

根据余弦定理可求出角A的余弦值，然

c，（Ⅱ）先根据正弦定理用角B表示出边b，然后代入整理成形式，注意角B的取值范围,再由正弦函数的性质可求最大值 试题解析：（Ⅰ）在而

，则

；

中，由

及余弦定理得

的

（Ⅱ）由同理∴∵∴

即

及正弦定理得

，

∴

时，

．

，

【考点】1.正弦定理与余弦定理;2.正弦函数的图象与性质.

21． 设A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合： ①x∈[0，＋∞)，都有f(x)∈(1,4]；②f(x)在[0，＋∞)上是减函数.

1(x≥0)是否属于集合A，并简要说明

(1)判断函数f1(x)＝2－x和f2(x)＝1＋3·2理由；

(2)把(1)中你认为是集合A中的一个函数记为g(x)，若不等式g(x)＋g(x＋2)≤k对任意的x≥0总成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】试题分析：

x23,. 4(1)由函数的解析式可得函数f1x的满足2x2，则该函数不在集合A中，考查函数f2x的性质可得函数f2x在集合A中；

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151(2)结合(1)的结论可得Fx2，结合函数的解析式可得实数

42xk的取值范围是试题解析：

(1)f1(x)＝2－

23,. 4不在集合中，f2(x)＝1＋3·

，∵

≥0，

x

在集合A中，

理由：f1(x)＝2－∴2－

≤2，

∴f1(x)不在集合A中． 又∵x≥0时，0＜∴1＜1＋3·

x

x

≤1，

≤4，

即f2(x)∈(1,4]， 又函数y＝

x

在[0，＋∞)是减函数，

x

∴f2(x)＝1＋3·

在[0，＋∞)也是减函数．

x

(2)由(1)知g(x)＝1＋3·，

x

故F(x)＝g(x)＋g(x＋2)＝1＋3·因为当x≥0时，0＜∴2＜2＋·∴k≥.

故k的取值范围为22． 已知椭圆

和抛物线

.

x

x

＋1＋3·

x＋2

＝2＋·

x

.

≤1，

≤，

有公共焦点F(1,0),的中心和的顶点都在坐标原点，过点M

（4，0）的直线与抛物线（Ⅰ）写出抛物线（Ⅱ）若

分别相交于A,B两点.

的标准方程； ，求直线的方程；

上，直线与椭圆

有公共点，求椭

（Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线圆

的长轴长的最小值.

（2）

或

【答案】（1）（3）

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【解析】（Ⅰ）由题意，抛物线（Ⅱ）设直线联立显然则

① ②

又

，所以

，得

③ ， 或中点为的方程为：，消去，得

，设

的方程为：，

.

， ，

由①②③消去故直线的方程为（Ⅲ）设

.

，因为

两点关于直线

对称，

，则

所以，即，解之得，

将其代入抛物线方程，得：

，所以，

.

联立，消去，得：

.

由

，即

将

，，所以

因此，椭圆

代入上式并化简，得 ，即

， .

，得

，

长轴长的最小值为

23．定义：对于任意nN*，满足条件数)的无穷数列an称为T数列． （1）若ann9nnN2anan2an1且anM(M是与n无关的常2*，证明：数列a32nn是T数列；

（2）设数列bn的通项为bn50n()，且数列bn是T数列，求常数M的取值范围；（3）设数列cnp1(nN*,p1)，问数列bn是否是T数列？请说明理由． n第 13 页 共 15 页

【答案】（1）见解析；（2）M600()；（3）当1p当p

32126时数列cn是T数列；56

时数列cn不是T数列，见解析 5

2【解析】（1）根据ann9n，求出anan22an12，根据题中条件，即可

判断出结果；

（2）先作差得到bn1bn5013n()，判断其单调性，即可得出结果； 22（3）分1p2，2p3，p3三种情况，根据T数列需要满足的条件，分别求解，即可得出结果. 【详解】

2（1）由ann9n，得

anan22an1n29n(n2)29n22(n1)218n12，

所以数列an满足

anan2981an1，又an(n)2，当n4或5时，an取得224最大值20，即an20． 综上，数列an是T数列.

（2）因为bn1bn50n1()所以当5032n131350n()n50()n，

22213n()0即n11时，bn1bn0，此时数列bn单调递增. 22当n12时，bn+1-bn<0，此时数列bn单调递减；故数列bn的最大项是b12， 所以，M的取值范围是M600().

（3）①当1p2时，当n1时c1p1,c21由c1c32c23212pp,c31， 235p620得p， 35ccn26ppcn1条件.若n2，则1，此时cn1 即当1p时符合n52nnppp2pcc2c11210 于是nn2n1nn2n1nn1n2又对于nN*有cnp611，所以当1p时数列cn是T数列； n5②当2p3时，取n1则：c1p1,c2pp1,c31， 23第 14 页 共 15 页

由c1c32c22③当p3时，

p0，所以2p3时数列cn不是T数列. 3取n1则c1p1,c2由c1c32c2pp1,c31， 235p0，所以p3时数列cn不是T数列. 666

综上：当1p时数列cn是T数列；当p时数列cn不是T数列.

55

【点睛】

本题主要考查数列的应用，会判断数列的增减性，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.

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