温度场和温度应力计算

温度场和温度应力计算

一、温度场计算

计算以本工程1.2m厚底板为例，用差分法计算底板28d水化热温升曲线。 计算中各参数的取值如下：

W——每m3胶凝材料用量，440kg/ m3；

Q——胶凝材料水化热总量（kJ/kg）；，本例采用实测值260kJ/kg；

c——混凝土的比热，取1.0kJ/ (kgC)；

 ρ——混凝土的质量密度，取2400kg/ m3；

——导温系数，取0.0035m2/h；m，取0.5。

混凝土的入模温度取10C，地基温度为18C，大气温度为18C。 温度场计算差分公式如下：

Tn,k1

⑴试算t、x，确定t。 x2Tn1,kTn1,k22attT(2a1)Tn,k （B.4.2-1） n,kx2x2取t = 0.5天 = 12小时，

x = 0.4m，即分3层

则t1210.00350.2625，可行。

4x20.42代入该值得出相应的差分法公式为

Tn,k10.525Tn1,kTn1,k20.475Tn,kTk

⑵画出相应的计算示意图，并进行计算。

底板厚1.2m，分3层，每层0.4m，相应的计算示意如下图。

从上至下各层混凝土的温度分别用T1、T2、T3表示，相应k时刻各层的温度即为T1,k、

上表面边界温度T0T2T3T2T1上表面边界温度T0方框1T0T1+ △T方框2T1T2+ △TT3方框3T2T3+ △TT0T3T+0.5△T0大气第一层，0.4m第二层，0.4m第三层，0.4m方框4地基温度地基T2,k、T3,k。混凝土与大气接触的上表面边界温度用T0表示，与地基接触的下表面边界温

度用T'0表示。

k = 0，即第kt00.50天，

上表面边界T0，取大气温度，T0 = 18C 各层混凝土温度取入模温度，即T1,0=

T2,0= T3,0= 10C

下表面边界T'0，取地基温度，T'0= 18C；

k = 1，即第kt10.50.5天，

m(k1)temkt)温升T1Tmax(e440260(e0.5(11)0.5e0.510.5)

1.0240010.544C

上表面边界温度T0，散热温升为0，始终保持不变，T0 = 18C

第一层混凝土温度T1,1，见计算图示中方框1，T1,1的边界为T0和T2,0，在T1,0的基础上考虑温升T1，即

T1,10.525T0T2,020.475T1,0T122.4C

第二层混凝土温度T2,1，见计算图示中方框2，T2,1的边界为T1,0和T3,0，在T2,0的基础上考虑温升T1，即

T2,10.525T1,0T3,020.475T2,0T120.544C

第三层混凝土温度T3,1，见计算图示中方框3，T3,1的边界为T2,0和T础上考虑温升T1，即

T3,10.525T2,0T020.475T3,0T122.4C'0，在T3,0的基

下表面边界温度T'0，需要考虑散热温升T1/2，所以需每一步都需进行修正。见计算图示中方框6，T'0的边界为T3,0和地基温度18C，在T'0的基础上考虑温升T1/2，即

T00.525T3,01820.475T0T126.444C2

以上即完成了一遍k = 1时，各温度计算。 同理

k = 2，即第kt20.51天，

温升T2 = 8.212C， 上表面T0 = 18C，

T1,20.525T0T2,120.475T1,1T229.085C

T2,20.525T1,1T3,12T2,1T020.475T2,1T229.858C0.475T3,1T231.302CT3,20.525T00.525T3,11820.475T0T231.441C2

同理可计算k = 3～56，即第1.5～28天的各层温度值，本算例中不再进行详细计算，最终计算结果如表1。

表1 不同混凝土龄期下各层混凝土温度值（单位：℃）

混凝土龄期 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 上表面 18 18 18 18 18 18 18 18 18 第一层 10 22.4 29.085 32.773 34.836 35.833 36.103 35.876 35.311 第二层 10 20.544 29.858 36.429 40.693 43.1 44.378 44.621 44.198 第三层 10 22.4 31.302 37.354 41.283 43.565 44.617 44.774 44.295 底界边层 18 26.444 31.441 34.271 35.790 36.441 36.491 36.123 35.469 混凝土龄期 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 上表面 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 第一层 34.527 33.607 32.615 31.594 30.577 29.585 28.632 27.729 26.880 26.088 25.353 24.676 24.053 23.482 22.960 22.485 22.052 21.659 21.303 20.980 20.687 20.423 20.183 19.968 19.773 19.597 19.438 19.295 19.166 19.050 18.945 18.851 18.766 18.6 18.620 18.558 18.502 18.452 18.407 18.366 18.329 18.296 18.267 第二层 43.318 42.138 40.774 39.313 37.816 36.327 34.878 33.487 32.169 30.932 29.777 28.708 27.720 26.813 25.982 25.222 24.530 23.900 23.328 22.808 22.338 21.912 21.527 21.179 20.8 20.581 20.324 20.093 19.885 19.697 19.528 19.376 19.238 19.115 19.003 18.903 18.813 18.731 18.658 18.592 18.533 18.480 18.431 第三层 43.380 42.177 40.799 39.329 37.826 36.334 34.882 33.490 32.171 30.933 29.778 28.708 27.721 26.813 25.982 25.222 24.530 23.900 23.328 22.808 22.338 21.912 21.527 21.179 20.8 20.581 20.324 20.093 19.885 19.697 19.528 19.376 19.238 19.115 19.003 18.903 18.813 18.731 18.658 18.592 18.533 18.480 18.431 底界边层 34.627 33.671 32.656 31.620 30.594 29.595 28.639 27.733 26.882 26.0 25.354 24.676 24.053 23.482 22.961 22.485 22.052 21.659 21.303 20.980 20.687 20.423 20.183 19.968 19.773 19.597 19.438 19.295 19.166 19.050 18.945 18.851 18.766 18.6 18.620 18.558 18.502 18.452 18.407 18.366 18.329 18.296 18.267 混凝土龄期 26 26.5 27 27.5 28 上表面 18 18 18 18 18 第一层 18.240 18.216 18.194 18.175 18.157 第二层 18.388 18.349 18.314 18.283 18.254 第三层 18.388 18.349 18.314 18.283 18.254 底界边层 18.240 18.216 18.194 18.175 18.157 二、温度应力计算示例

以下计算示例按照步长为1天进行。 1、里表温差ΔT1计算 公式如下

T1(t)Tm(t)Tb(t) （B.5.1） 计算结果见表2

⑴各龄期混凝土收缩当量温差计算

根据公式

0(1e0.01t)M1M2M3M11 （B.2.1） y(t)y Ty(t)y(t)/ （B.2.2）

-4

其中 y取4.0×10

0石家庄市内年平均气温值取14.5℃ 计算结果见表3 ⑵综合降温差ΔT2计算

公式如下

1T2(t)4T(t)bT(t)dT)mmm(t6

计算结果见表2

表2 综合温差计算结果

混凝土龄期 0 0.5 1 1.5 2 第一层 (Tb) 10 22.4 29.085 32.773 34.836 第三层 （Tm） 10 22.4 31.302 37.354 41.283 第三层 （Td） 10 22.4 31.302 37.354 41.283 ΔT1 （Tm- Tb） 0.000 0.000 2.217 4.581 6.447 yT(t)wT（(tB.5.2)）

ΔT2 0.000 8.661 17.465 23.636 27.763 *ΔT1 / 2.217 2.365 1.866 1.285 *ΔT2 -8.661 -8.803 -6.171 -4.127 -2.552 混凝土龄期 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 第一层 (Tb) 35.833 36.103 35.876 35.311 34.527 33.607 32.615 31.594 30.577 29.585 28.632 27.729 26.880 26.088 25.353 24.676 24.053 23.482 22.960 22.485 22.052 21.659 21.303 20.980 20.687 20.423 20.183 19.968 19.773 19.597 19.438 19.295 19.166 19.050 18.945 18.851 18.766 18.6 18.620 18.558 18.502 18.452 第三层 （Tm） 43.565 44.617 44.774 44.295 43.380 42.177 40.799 39.329 37.826 36.334 34.882 33.490 32.171 30.933 29.778 28.708 27.721 26.813 25.982 25.222 24.530 23.900 23.328 22.808 22.338 21.912 21.527 21.179 20.8 20.581 20.324 20.093 19.885 19.697 19.528 19.376 19.238 19.115 19.003 18.903 18.813 18.731 第三层 （Td） 43.565 44.617 44.774 44.295 43.380 42.177 40.799 39.329 37.826 36.334 34.882 33.490 32.171 30.933 29.778 28.708 27.721 26.813 25.982 25.222 24.530 23.900 23.328 22.808 22.338 21.912 21.527 21.179 20.8 20.581 20.324 20.093 19.885 19.697 19.528 19.376 19.238 19.115 19.003 18.903 18.813 18.731 ΔT1 （Tm- Tb） 7.732 8.514 8.8 8.984 8.853 8.570 8.184 7.735 7.249 6.749 6.250 5.761 5.291 4.845 4.425 4.032 3.668 3.331 3.021 2.737 2.478 2.241 2.025 1.829 1.651 1.490 1.343 1.211 1.092 0.984 0.886 0.799 0.719 0.8 0.583 0.525 0.473 0.425 0.383 0.345 0.310 0.279 ΔT2 30.315 31.737 32.006 31.963 31.024 30.261 29.337 28.330 27.295 25.575 24.541 23.563 22.654 21.820 21.0 22.075 21.554 21.105 20.726 20.413 20.161 19.965 19.822 19.360 19.296 19.273 19.285 19.330 19.405 19.507 19.633 19.780 19.947 20.132 20.332 20.546 20.772 21.010 21.257 21.512 21.776 22.046 *ΔT1 0.781 0.384 0.086 -0.131 -0.283 -0.385 -0.450 -0.485 -0.500 -0.500 -0.488 -0.470 -0.446 -0.420 -0.393 -0.3 -0.337 -0.310 -0.284 -0.260 -0.237 -0.216 -0.196 -0.178 -0.161 -0.146 -0.132 -0.119 -0.108 -0.097 -0.088 -0.079 -0.072 -0.0 -0.058 -0.052 -0.047 -0.042 -0.038 -0.034 -0.031 -0.028 *ΔT2 -1.422 -0.269 0.043 0.939 0.763 0.923 1.007 1.036 1.720 1.034 0.977 0.909 0.834 0.756 -1.012 0.522 0.448 0.379 0.313 0.252 0.196 0.143 0.462 0.0 0.024 -0.012 -0.045 -0.075 -0.102 -0.126 -0.148 -0.167 -0.184 -0.200 -0.214 -0.226 -0.237 -0.247 -0.256 -0.263 -0.270 -0.276 混凝土龄期 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 第一层 (Tb) 18.407 18.366 18.329 18.296 18.267 18.240 18.216 18.194 18.175 18.157 第三层 （Tm） 18.658 18.592 18.533 18.480 18.431 18.388 18.349 18.314 18.283 18.254 第三层 （Td） 18.658 18.592 18.533 18.480 18.431 18.388 18.349 18.314 18.283 18.254 ΔT1 （Tm- Tb） 0.251 0.226 0.203 0.183 0.165 0.148 0.133 0.120 0.108 0.097 ΔT2 22.322 22.603 22.888 23.178 23.471 23.766 24.0 24.3 24.665 24.968 *ΔT1 -0.025 -0.023 -0.020 -0.018 -0.017 -0.015 -0.013 -0.012 -0.011 -0.097 *ΔT2 -0.281 -0.286 -0.2 -0.293 -0.296 -0.298 -0.300 -0.301 -0.303 / 注：表中*ΔT1和*ΔT2列中括号内数值为按照以下公式计算结果，其值在计算自约束应力和外约束应力时使用。

T1i(t)T1(t)T1(tj) （B.6.1-2）

T2i(t)T2(tj)T2(t) （B.6.2-2）

表3各龄期混凝土收缩当量温差计算结果

混凝土龄期 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 εy(t)(10^-4) 0.000 0.052 0.103 0.154 0.205 0.254 0.304 0.321 0.367 0.362 0.401 0.440 0.479 0.518 0.487 0.520 0.553 0.587 0.619 Ty(t) 0.000 0.517 1.032 1.545 2.054 2.539 3.039 3.215 3.665 3.619 4.012 4.402 4.790 5.177 4.866 5.201 5.534 5.865 6.195 △Ty(t) 0.517 0.515 0.512 0.510 0.484 0.500 0.176 0.450 -0.046 0.392 0.390 0.388 0.386 -0.311 0.335 0.333 0.331 0.330 0.328 混凝土龄期 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 εy(t)(10^-4) 0.652 0.854 0.4 0.935 0.975 1.015 1.054 1.094 1.133 1.136 1.173 1.211 1.248 1.285 1.322 1.359 1.396 1.432 1.468 1.504 1.540 1.576 1.611 1.7 1.682 1.717 1.751 1.786 1.821 1.855 1.8 1.923 1.957 1.990 2.024 2.057 2.090 2.123 Ty(t) 6.523 8.539 8.944 9.347 9.748 10.147 10.544 10.939 11.332 11.357 11.734 12.109 12.482 12.853 13.223 13.590 13.956 14.320 14.682 15.042 15.401 15.758 16.113 16.466 16.817 17.167 17.515 17.861 18.206 18.548 18.8 19.229 19.567 19.902 20.237 20.569 20.900 21.230 △Ty(t) 2.017 0.405 0.403 0.401 0.399 0.397 0.395 0.393 0.025 0.377 0.375 0.373 0.371 0.369 0.368 0.366 0.3 0.362 0.360 0.359 0.357 0.355 0.353 0.351 0.350 0.348 0.346 0.344 0.343 0.341 0.339 0.338 0.336 0.334 0.333 0.331 0.329 \\ 1、 各龄期的混凝土弹性模量

基础混凝土浇灌初期，处于升温阶段，呈塑性状态，混凝土的弹性模量很小，由变形变化引起的应力也很小，温度应力一般可忽略不计。经过数日，弹性模量随时间迅速上升，

此时由变形变化引起的应力状态（即混凝土降温引起拉应力）随着弹性模量的上升显著增加，因此必需考虑弹性模量的变化规律，一般按下列公式计算：

E(t)E(0)(1e0.09t)

式中 E(t)——任意龄期的弹性模量；

E0——最终的弹性模量，一般取成龄的弹性模量，取3.15104N/mm2； t——混凝土浇灌后到计算时的天数。

各阶段弹性模量：

E(1)0.271104N/mm2 E(2)0.519104N/mm2 E(3)0.745104N/mm2 E(6)1.314104N/mm2 E4(9)1.74910N/mm2

E(12)2.080104N/mm2 E(15)2.333104N/mm2 E(18)2.527104N/mm2 E(21)2.674104N/mm2 E(24)2.787104N/mm2 E(27)2.873104N/mm2

E(30)2.938104N/mm2

2、 自约束应力计算

根据公式

n z(t)2T1i(t)Ei(t)Hi(t,) i1(1)1.010424.581271010.62Mpa(2)1.0104

2(4.581271013.15151901)1.44Mpa

B.6.1-1）

（1.0104(3)(4.58127100.2783.15151900.2781.16674501)0.83Mpa2

根据表2中计算结果，3.5天后ΔT1i（t）变为负值，同时由于徐变效应，自约束应力计算值将减小，本算例中不再计算。 3、 外约束应力的计算

公式如下 x(t)T1i1n2i(t)Ei(t)Hi(t1)Ri(t) （B.6.2-1）

式中 L——底板长度，考虑单组底板最长为27000mm；

Cx HE其中 H——基础底板厚度，本例为1200mm；

Cx——总阻力系数（地基水平剪切刚度），N/mm3，本工程采用钢制模版加支撑钢结构，考虑成型混凝土结构要满足验收标准，近似将混凝土外侧结构看做高强度混凝土，阻力系数取0.01 N/mm3。

前期升温外约束应力为压应力，由于早期弹性模量较小且徐变时间较长，其值不大，实际应用中可将这部分压应力作为安全储备。外约束应力计算时从降温阶段开始。

1）9天

（第1台阶降温）自第9天至第30天的徐变应力：

ch0.012.183105412001.74910

L270002.1831050.294722 L1.0452

查表得

(9)2）12天

1.7491041.01057.561(1)0.2140.015Mpa10.151.045

（第2台阶降温）自第12天至第28天的徐变应力：

0.012.002105412002.0810

L270002.0021050.270322 L1.0372

查表得

ch(12)3）15天

1.7491041.01055.881(1)0.2150.009Mpa10.151.037

（第3台阶降温）自第15天至第30天的徐变应力：

ch0.011.0105412002.33310

L270001.1050.255222 L1.0332

查表得

(15)4）18天

1.7491041.01054.321(1)0.2150.007Mpa10.151.033

（第4台阶降温）自第18天至第30天的徐变应力：

ch 查表得

0.0151.8161012002.527104

L270001.8161050.245222

L1.032

1.7491041.01053.951(1)0.2150.006Mpa10.151.03

5）21天

(12)（第5台阶降温）自第21天至第30天的徐变应力：

ch0.0151.7651012002.674104

L270001.7651050.237622 L1.0282

查表得

(21)1.7491041.01050.81(1)0.3010.001Mpa10.151.028

由计算可知从第21天起温度收缩应力较小为0.001Mpa,所以至30天内基本可以忽略不计。

6）总降温产生的最大拉应力

max0.0150.0090.0070.0060.0010.038Mpa

混凝土C35，取Rf2.2MPa

由计算得：混凝土浇筑完成后第二天自约束应力值最大，为1. 44Mpa

总降温产生的最大拉应力为：

Kftk(t)0.972.201.4821.15max1.44满足抗裂条件

所以混凝土浇筑完成前三天内,混凝土自约束应力较大,相对混凝土外收缩应力相对混凝土影响较小,所以混凝土浇筑完成后的前三天为混凝土养护的关键时间段。