初中数学知识点精讲精析 正多边形与圆

学习目标

1.了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形 。

2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形 。 3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形。

知识详解

1. 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

我们可以借助一个量角器将一个圆n（n3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（1）当n＝3时，上述两个条件只满足一个条件就可以。

（2）当n>3时，多边形必须同时满足上述条件的每一个条件，才能判定是正多边形。 2. 正多边形和圆的关系定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质： （1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。 （1）画正n边形的步骤：

将一个圆n等分，顺次连接各分点。 （2）用量角器等分圆

先用量角器画一个等于

360n



1的圆心角，这个角所对的弧就是圆的n，然后在圆上依次截

取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 正n边形的每个内角都等于

n2180n，每个外角为

360n，等于中心角。

【典型例题】

例1. 若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 cm．（铁丝粗细忽略不计）

【答案】203 【解析】在直角△ABD中，AB=40cm，∠BAD=30°，则AD=AB•cos30°=40×3=203 2例2. 如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为

【答案】100π-1503 S6S△AOB【解析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=10，OC=53∴正六边形 1SS⊙OS正六边形=6×2×10×53=1503∴阴影 =100π-1503

例3. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 度．

【答案】36°

1【解析】根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，∴∠CAB=∠DAE=2（180°-108°）=36°，

∴∠CAD=108°-36°-36°=36°． 【误区警示】

易错点1：正方形的边长

1. 将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 ．（结

果保留根号）

【答案】1+2 【解析】∵△BDE是等腰直角三角形，BE=1．∴BD=BE•

22=．∴正方形的边长等于22AB+2BD=1+2．

易错点2：内接正方形的面积 2. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】A

【解析】连接BO并延长交圆于点E，连接AE，根据三角函数可求得BE的长；再根据圆内接正方形的性质求得其边长，从而可得到其面积．

【综合提升】 针对训练

1. 如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达ABCDEF的

位置，所转过的度数是（ ）

A．60° B．72° C．108° D．120°

2. 判断图中正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积比为何（ ）

A．2：1 B．4：3 C．3：1 D．3：2

3. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何（ ）

A．40 B．50 C．60 D．80

1.【答案】A

【解析】由六边形ABCDEF是正六边形，即可求得∠AFE的度数，又由邻补角的定义，求得∠EFE的度数，由将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达ABCDEF的位置，可得∠EFE是旋转角，继而求得答案．

2.【答案】D

【解析】如图：作EH∥CG交CF于H，连接DH，∴

S正三角形FCG4S△GEDS正六边形ABCDEF6S△DEG

∴正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积的比为：3：2

3.【答案】A

【解析】过C作CL⊥AD于L，连接HE，设正八边形的边长为a，AD=h；先根据△ADE的面积求出矩形ADEH的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出△CDL的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD的面积，根据

S正八边形ABCDEFGHS梯形ABCDS梯形ABCDS矩形ADEH即可解答．

课外拓展

解析几何的产生

十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。