数值分析第7章试题-王志豪

一、 判断题

x*1是方程x4x32x23x1的一个二重根 （答案：正确）

二、 解答题

1、对于方程exx2，

（1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根

xìïxk+1=ek-2（2） 讨论迭代格式 í的收敛性如何？

îx0Î(-1.9,-1) ï（3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式

79提示: e-1.9»0.1496 e-1»0.36

2、对于方程xex10在0.5附近的根。

（1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 （2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式

1解：(1) xex10 Û xx

e

xxn1en构造迭代式： ， 即取迭代函数 (x)ex

x0首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间

([0.1,1])[0.1,1], 并且当 xÎ[0.1,1]时，恒有|(x)|e0.11 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设x*[0.1,1]是其根的精确值，

因为(x*)ex0，故收敛为线性收敛，即收敛阶p1

* (2) 记f(x)xex1

牛顿迭代法形式： xn1xnf(xn) f(xn)

xnexn1xn1xn(xn1)exn即：x10

a0，导出求x23、应用牛顿法于方程f(x)1a的迭代公式

解：牛顿迭代法形式： xn1xnf(xn) f(xn)

a23xnxnaxn即：xn1xn， 即xn1xn，

2a2a3xn133axnxn即 xn1

2a

如果a1，可取x01， 如果a1，可取x0a

4、对于非线性证明方程xlnx20

（1） 证明在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. （2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式 解：（1）记f(x)xlnx2，显然f(x)处处可微

f(1)10， limf(x)

x所以，在区间(1,)内至少存在一个实根

1另外，由于f(x)10 , x(1,)

x所以，在区间(1,)内有且仅有一个实根

f(3)1ln30，f(4)2ln40

可见根 x(3,4)

f(xn) f(xn)（2）牛顿迭代法形式： xn1xn

2xnlnxn2xnxnlnxn2xn即：xn1xn， 即xn1xn

1x1n1xn

即xn1xnlnxnxn

xn1考虑取 x04

5、为数值求得方程x2x40的正根x*，可建立如下迭代格式

xn4xn1,n1,2,,

试利用迭代法的收敛理论证明对于x00，该迭代序列收敛，且满足.

limxnx*

n解：记 (x)4x, x0

显然(x)111

24x4所以，对于x00，迭代式xk1(xk)均收敛到x*