浅谈广义积分的计算

教学・信息　课程教育研究　２０１３年１月　上旬刊　浅谈广义积分的计算　李莹莹　（长江大学文理学院湖北荆州４３４０２５）　【摘要】广义积分的计算学生很容易淡忘，利用牛顿一莱布尼茨公式，再取极限的方法计算广义积分，有利于学生把握规律，更　好地掌握相关知识。　【关键词１广义积分牛顿一莱布尼茨公式　【中图分类号１０１７２　【文献标识码】Ａ　【文章编号】２０９５—３０８９（２０１３）Ｏ１一Ｏ１６８—０１　学习过一元函数的定积分后，我们给学生介绍了广义积分。　无穷区间上的广义积分和瑕积分。在广义积分的定义中。使用了　积分、极限两种数学概念，很多学生在学习这一知识．最时，都认为　方法二：』方法二：Ｊ二　ｄ一　＿＿ｄｘ＝　ａｒｃｓｉｒⅨｌ＝：　ａ＝　ａｒｃｓｉｎｒＤｘｃ一　ｉｔ—一。ｍ。ａｒｃｓｉｒⅨ＝　　概念复杂。难于掌握。　定积分要求被积函数在有限闲区间上有界。牛顿一莱布尼　茨公式要求被积函数在积分区间上连续。而广义积分则不满足这　些条件。以无穷区间上的广义积分为例：　ｒ　ｂ　设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）上连续，取ｂ＞ａ，如果极限ｈｍ　ｌ　ｆ【ｘ）　ｄ】【存在，则称此极限为函数　在无穷区间　＋∞）上的广义积分，　ｔ　蕾　’＋蕾　记为Ｉ　ｆ（ｘ）ｄ】【，这时也称广义积分Ｉ　ｆ（ｘ）ｄ】ｃ收敛；如果极限１ｉｍ　Ｉ　ｆ【ｘ】ｄ）【不存在，则称广义积分ｌ　ｆ【ｘ）（ｂ【发散。　我们首先在无穷区间上划出一个有限闭区间，由于学生对　定积分已经比较熟悉了。在划出的有限闲区间上定义一个定积　分，为了满足原来的条件，再让有限趋于无限，因此就有了先积分　再求极限两种计算。对于广义积分的定义，从学生熟悉的概念入　手。再做适当的改变，得到新知识，这样来介绍顺应了知识点的逻　辑顺序。也符合我们的学习习惯。　无穷区间上的广义积分是研究连续型随机变量的重要工　具，二年级在学习这部分知识时，大部分同学已经忘记了广义积　分的计算。牛顿一莱布尼茨公式是学生非常熟悉的积分计算公　式，虽然广义积分不满足牛顿一莱布尼茨公式的条件，但经过推　导。广义积分也可按照牛顿一莱布尼茨公式的思路来计算。　例如：设　在　＋ａ。）上连续，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一个原函数，则　ｔ＋∞　，ｂ　Ｊ。　ｄｘ＝　Ｊ。　ｍ－　（ｂ）一Ｆ（ａ）］　Ｆ（＋∞）一Ｆ（ａ）　（１）　只要极限Ｆ（＋＊）存在，广义积分Ｉ　ｆ【ｘ）ｄｘ即存在。计算时仍　先寻找被积函数ｆ【Ｘ）的原函数，上下限带入求值做差，需要注意Ｆ　（＋∞）表示１ｉｎ１　Ｆ（ｘ），整个计算过程只有一个积分变量ｘ，没有必要　引入ｂ，计算的思路和常义积分是一样的，思路清晰，学生方便记　忆，不易淡忘．类似的，其他形式的广义积分的计算公式可以写　成：　ｊｆｂ　一　ｆ（ｘ）ｄ）【　Ｆ（ｘ）　ＩｌＬ二　。　Ｆ（ｂ）一Ｆ（一　）　（２）　Ｊ一。ｆ（ｘ）ｃｂ【＝Ｆ（ｘ）ｌ二：＝Ｆ（＋　）一Ｆ（一＊）　（３）　公式（３）要求Ｆ（～＊），Ｆ（＋ａ。）同时存在时，广义积分Ｉ．．ｆ（．ｘ）ｃｂ【　收敛，并且满足被积函数关于区间的对称性，即当ｆ（ｘ）是偶函数时　Ｊ一。　ｄ】【＝　Ｊ　ｏ　ｄ）【，当　是奇函数时，Ｊ一　ｄ】【　０。　计算反常积分ＪＪ　击Ｉ十ｒ　（ｂ（，我们给出两种方法：　方　仁　ａｘ＝Ｌ　１　ａｘ＋　ａｘ　』　ａｘ：坚』　ａｘ＝一ｉｔｍ。￣ｃｓ　ｃ—ａｒｃｓｉｒ　＝ａｒｃｓｉｎｃ＋　叮ｒ　２　』　。＿ｉ＝　ａｘ＝　Ｊ　下　ａｘ＝　（ａｒｃｓｉ曲一ａｒｃｓｉｎｃ）；手一　ａｒｃｓｉｒｌｃ　』二　【＿ａＸ＝ａｒｃ　ｃ＋手＋手一ａｒｃｓｉｎｃ＝丌　・１６８．　一（一孚）＝　方法一是按照无穷区间上的广义积分的定义来求解。方法　二使用了牛顿一莱布尼茨公式。显然方法二更为简洁，条理清晰，　很容易被学生掌握。　再来对比一题，讨论反常积分ｆ—　Ｖ１＋　ｄ】ｃ的敛散性：　触一．Ｌ赤卜　、／１＋　　Ｌ斋卜　、／１＋　　Ｊｈ、　斋／１＋　　Ｊ一。斋　墼Ｊ。斋　墼（　一　、／　）　由于ｔｉｍ（－　、／１＋　不存在，所以广义积分ｆ—　－。、／１＋　＿：（ｂ（发　散。　方法二：Ｊ卜。、一。—　／１＋　ｄ】【＝、／再　ｌ０二一ｒ：＝１　、÷＋－　／　一ｈｍ　－雹　、／　由于ｈｍ、／ｔ一－　　不存在，所以广义积分ｆ—　：（卜　、／１＋】【２　ｂ【发　散。对于发散的广义积分．方法二同样可以在不需要引入新记　号的情况下，判断出其敛散性，且没有必要对积分区间进行拆分。　瑕积分的定义方式与无穷区间上的广义积分相同。仍然是　先描述一个常义积分，再取极限，让常义成为广义，但瑕积分较无　穷区间上的广义积分相比较。易与常义积分Ｊ　ｆ（ｘ）（ｂ（混淆，处理　时应更细心。计算时。依旧采用牛顿一莱布尼茨公式的思路。设Ｆ　，ｂ　（ｘ）为ｆ（ｘ）在区间　ｂ】上的一个原函数，ｌ　ｆ【ｘ）（ｂ（＝Ｆ（ｂ）一ｌｉｍＦ（ｘ）＝Ｆ　一Ｆ∽。　Ｆ∽＝ｈ　Ｆ（ｘ），极限存在，积分Ｊ，　ｆ（ｘ）ｄ】【收敛，极限不存在，积　ｒ—’　Ｊ　０　分ＪＪ　　４　ｆ（＿ｘ）（ｂ【发散，瑕点在上限、瑕点在区间内的瑕积分计算公式　类似。　常义积分的换原积分法和分部积分法也适用于广义积分．　应用时注意积分的敛散性。　广义积分的定义和计算我们在授课时应该分开处理。定义　重点在于理解广义积分的描述过程。而计算则利用大家熟悉的牛　顿一莱布尼茨公式，极限存在积分存在，不需要引入其他记号，只　要是积分无论是常义还是广义计算时重点都是找原函数。这样的　讲解方式，思路简洁、清晰，利用学生熟悉的知识处理新知识，两　个课时的教学就可以达到较好的效果。　参考文献：　『１１陈朝晖．无穷广义积分的计算方法和技巧．四川教育学院　１学报。２００７。Ｏ１期：１２５—１２６．　【２１同济大学数学系．高等数学（上册）．第六版．北京：高等教　育出版社。２００７年．　年．一　『３１冉兆平．微积分．第二版．上海：上海财经大学出版社，２００８