颍泉区民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的 A.缩小到原来的一半 C.不变

1，则圆锥的体积（ ）216）

B.扩大到原来的倍D.缩小到原来的

2． 如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（

A．②④B．③④

+

C．①②D．①③

）

3． 设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．　

B．

C．

或

D．3

取得最小值时，实数a的值是（

4． 已知z113i，z23i，其中i是虚数单位，则A．1

B．

z1的虚部为（ ）z24 5C．i

D．

4i5【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.

5． 已知向量||=A．

B．

， •=10，|+|=5C．5

D．25

x，则||=（ ）

）

）

6． 已知全集UR，A{x|239}，B{y|0y2}，则有（ A．AØB A．0

B．1

B．ABB C．2

D．3

C．A(ðRB)

D．A(ðRB)R7． 已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ 8． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（

）

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A.4 能力．

B.25C. 5D. 225【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算9． 设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ A．1

B．

C．

D．﹣1

）

10．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）

A．20　

B．25C．22.5D．22.75

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ C．9

D．12

）

）

11．若复数z=A．3

B．6

12．函数f（x）=cos2x﹣cos4x的最大值和最小正周期分别为（ A．，π

B．，

C．，π

D．，

二、填空题

x2y213．已知过双曲线221(a0,b0)的右焦点F2的直线交双曲线于A,B两点，连结AF1,BF1，若

ab|AB||BF1|，且ABF190，则双曲线的离心率为（ ）

A．522

B．522

C．632

D．632第 2 页，共 16 页

【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且=24，则△ABC的面积是　　．15．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=　

16．下列四个命题：

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是　　　　　　．　

17．已知x，y为实数，代数式1(y2)29(3x)2，且|ω|=5

，则复数ω=　　　　　　．•

x2y2的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.18．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是　　　　　　．三、解答题

19．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有

．

，求证：对任意正整数n≥2，总有x的图象上（n∈N*），

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20．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；

sin2x），=（cosx，1），x∈R．

，且sinB=2sinC，求△ABC的面

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=积．

21．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：（Ⅲ）当

为定值．

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

22．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．

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（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．

23．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为A,B,C,D,E，其频率分布直方图如下图所示．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；

（Ⅱ）该团导游首先在C,D,E三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C组的概率．

24．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相

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交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC．（Ⅰ）求证：EDFP；

（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

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颍泉区民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】A【解析】

12rh，将圆锥的高扩大到原来3V111122的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为V2(2r)hrh，所以12，故选A.

V22326试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为V1考点：圆锥的体积公式.12． 【答案】 A

【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．故选：A．

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【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　

3． 【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，f′（a）=当减．∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=当递减．∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

4． 【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得，5． 【答案】C【解析】解：∵∴由∴∴

；．

得，

；

=

；

+

取得最小值．

+

取得最小值．

﹣

+ +

=﹣

取得最小值．=﹣（

）=﹣（

+，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

）=f（a），

+

+

==

=

+

=f（a），

，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

或时，

4zz113i(13i)(3i)68i34i，所以1的虚部为.z23i(3i)(3i)10555z2故选：C．

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6． 【答案】A

【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，A(log32,2]，B(0,2]，∵log320，∴AØB，选A．7． 【答案】C

【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C　

8． 【答案】B

9． 【答案】A【解析】解：y'=2ax，

于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A

【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．　

10．【答案】C

【解析】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．　

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11．【答案】A【解析】解：复数z=由条件复数z=解得a=3．故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．　

12．【答案】B

【解析】解：y=cos2x﹣cos4x=cos2x（1﹣cos2x）=cos2x•sin2x=sin22x=故它的周期为故选：B．　

=

，最大值为=．

，

=

=

．

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

二、填空题

13．【答案】B【

解

析

】

14．【答案】　4　．

【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，∵c=2a，可得：b=∴cosB=∵

•

a，=

=，可得：sinB=

=

，

=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，

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∴S△ABC=acsinB=

故答案为：4．　

15．【答案】　±（7﹣i）　．

=4．

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω=

=．

把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±

故答案为±（7﹣i）．

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．　

16．【答案】　③　．

【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；③过两平行直线有且只有一个平面，正确；

④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，故正确命题的序号是③，故答案为：③　

17．【答案】41. 【

解

析

】

=±（7﹣i）．

=

，|ω|=

，∴

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18．【答案】　　．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：

剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．　

=．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（I）解：∵点（an，Sn）在y=∴当n≥2时，∴

当n=1时，

，化为

，解得a1=．

，

，

，

x的图象上（n∈N*），

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∴==．

=2n+1，

（2）证明：对任意正整数n都有

∴cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3=

∴当n≥2时，∴

=，

又∴

=．

．

==

=（n+1）（n﹣1）．

=

+…+

．

=

＜

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

20．【答案】

【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2x+令﹣解得﹣

+2kπ≤2x++kπ≤x≤

≤

+2kπ，

sin2x=

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

）+1，

+kπ，

+kπ，

+kπ]，

函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣（Ⅱ）∵f（A）=2∴2sin（2A+

）+1=2，即sin（2A+

．…

）= …．

又∵0＜A＜π，∴A=∵a=

，

由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…∵sinB=2sinC∴b=2c ②…由①②得c2=．…

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∴S△ABC=　

21．【答案】

．…

【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．∴

，2a=4，解得a=2，c=1．

∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程为

．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）．联立

，化为

，

∴|OP|2=x2+y2=∴

=

，同理可得|OQ|2=

+

=

，

为定值．

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．因此（III）当

=

为定值．=

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则．

当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．联立

，化为

，

=

=

=

，满足条件

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∴|OP|2=x2+y2=同理可得|OQ|2=∴

化为（kk′）2=1，∴kk′=±1．

∴OP⊥OQ或kk′=1．因此OP⊥OQ不一定成立．

=

，

，+

=

．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

22．【答案】

【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a+b）x+3a，当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时，方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3，由根与系数的关系得

，

解得a=1，b=3；

（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为x2﹣（a+3）x+3a＞0，即（x﹣a）（x﹣3）＞0；

∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}；当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}；当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．

【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．　

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．

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24．【答案】

【解析】（Ⅰ）∵DE2EFEC,DEFDEF∴DEF∽CED,∴EDFC……………………2分又∵CD//AP,∴PC, ∴EDFP．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得EDFP，又DEFPEA，∴EDF∽EPA，

EAEP，∴EAEDEFEP，又∵EAEDCEEB，∴CEEBEFEP．EFED927∵DE2EFEC,DE3,EF2，∴ EC，∵CE:BE3:2，∴BE3，解得EP.

2415∴BPEPEB．∵PA是⊙O的切线，∴PA2PBPC415315279∴PA2．……………………10分()，解得PA4442∴

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