§2.3 常微分方程在正则奇点邻域的级数解法
对于二阶常微分方程
d2ydy()+px+q(x)y=0 （1） 2dxdx如果x=x0是p(x)、q(x)的极点或本性奇点，可以证明方程（1）的解y(x)具有负幂项。（证明略）
如果方程的解只有有限个负幂项，则x=x0称为方程的正则奇点。本章只考虑最常见的正则奇点：x=x0为p(x)不超过一阶的极点，同时为q(x)的不超过二阶的极点。
此时，方程（1）的两个线性解为
y1(x)=(x−x0)s1
∑c()(x−x)1
n
0
n=0
∞
n
（2）
∞
⎧s2n(2)⎪y2(x)(x−x0)∑cn(x−x0),s1−s2≠整数⎪n=0⎨∞
sn(2)2⎪y'(x)=βy(x)ln(x−x)+(x−x)()−cxx,s2−s1=整数∑1000n2
⎪n=0⎩
(3)(4)
其中，s1,s2是指标方程的两个解。指标方程是x最低次幂系数为零构成的方程。
一、Bessel方程的级数解
d2ydyxx++x2−m2y=0 m>0任意实数 （5） 2dxdx2()1
p(x)=,
x
x2−m2
q(x)= 2
x
因此，x=0为方程的正则奇点。 令其中一个特解为 y(x)=x代入方程（5）中，得
s
∑cx=∑cx
nn
n
n=0
n=0
∞∞
s+n
x
2
∑c(s+n)(s+n−1)x
nn=0
∞
s+n−2
+x∑cn(s+n)x
n=0
∞
n+s−1
+x−m
(22
)∑cx
nn=0∞n=0
∞
s+n
=0
⇒∑cn(s+n)(s+n−1)xs+n+∑cn(s+n)xs+n+∑cnxs+n+2−m2∑cnxs+n=0
n=0
n=0
n=0
∞∞∞
1
x的最低次幂项xs项的系数所满足方程
c0s(s−1)+c0s−m2c0=0 指标方程
其解为：s1=m,
s2=−m
xs+1项的系数所满足方程 c1(s+1)s+c1(s+1)−m2c1=0
其解为：c1=0
xs+n项的系数所满足方程
cn(s+n)(s+n−1)+cn(s+n)+cn−2−m2cn=0cn−2
⇒cn=−
(s+n+m)(s+n−m)令n=2k，则
c2k−2⎧
c=−2k⎪(s+2k+m)(s+2k−m)⎪⎨
c2k−1
⎪c=−=0,2k+1⎪()()s2k1ms2k1m+++++−⎩
当s=m时，
(Qc1=0)c2k=−
c2k−2c
=−22k−2
(2m+2k)2k2(m+k)k
下面，利用归纳法推导c2k的递推关系
c0
22(m+1)⋅1
cc0c01
当k=2时，c4=−22=2=
2(m+2)22(m+2)222(m+1)24(m+2)(m+1)2⋅1
cc0c01
当k=3时，c6=−24=−2=−
2(m+3)324(m+2)(m+1)226(m+3)(m+2)(m+1)3⋅2⋅12(m+3)3
MM
cc0k
当k=k时，c2k=−22k−2=(−1)2k
2(m+k)k2(m+k)(m+k−1)L(m+1)k!
m!c0k
=(−1)k!(m+k)!22k
c0Γ(m+1)k
=(−1)k!Γ(m+k+1)22k当k=1时，c2=−
2
其中Γ(m+k+1)=(m+k)!,Γ(m+1)=m! 所以，Bessel方程的其中一个特解为：
y1(x)=∑cnx
n=0∞
∞
s+n
=∑cnx
n=0
∞
m+n
=∑c2kxm+2k
k=0
∞
=∑(−1)k=0
k
Γ(m+1)c0m+2k
x2k
k!Γ(m+k+1)2
令常数c0=
∞
1
2mΓ(m+1)m+2k
k
1⎛x⎞
y1(x)=∑(−1)⎜⎟
()kmk!1Γ++⎝2⎠k=0
∞=Jm(x)
1⎛x⎞k即Jm(x)=∑(−1)⎜⎟()kmk!1Γ++⎝2⎠k=0m+2k （6） 是Bessel方程的一个特解，Jm(x)称为Bessel函数。
3
补充Γ(x)函数： Γ(x)函数 Γ(x)=∫e−ttx−1dt,0∞(x>0) ∞0Γ(1)=∫e−tdt=−e−t0∞=1 ∞⎛1⎞Γ⎜⎟=∫e−tt−12dt=π ⎝2⎠0递推公式： Γ(x+1)=xΓ(x) 证明：Γ(x+1)=∫∞0e−ttxdt=−∫txde−t=−txe−t0∞t=∞t=0+x∫e−ttx−1dt=xΓ(x) 0∞当x为正整数时，Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n−1)Γ(n−1)=L=n(n−1)L1⋅Γ(1)=n! 当x为负整数或者零时， Γ(x)=Γ(1)=∞ 0Γ(0)Γ(−1)==∞ −1Γ(0)=Γ(x+1) x
下面，我们继续求Bessel方程的另一个特解。由（3）、（4）可知，当指标方程两个解之差(s1−s2)是否为整数时，Bessel方程另一个特解的形式也不一样，因此，我们进行如下的分类讨论：
1、当m不是整数或者半整数时（满足s1−s2≠整数）时
1⎛x⎞J−m(x)=∑(−1)⎜⎟()!1kmkΓ−++⎝2⎠k=0k∞−m+2k （7） 所以，Bessel方程的通解可以写为Jm(x)和J−m(x)的线性组合形式：
y(x)=c1Jm(x)+c2J−m(x)
特别地，取c1=ctanmπ,c2=−cscmπ，可以得到另一个特解
Jm(x)cosmπ−J−m(x)， （8） sinmπ上式称为m阶诺依曼（Neumann）函数。 Nm(x)= 4
Bessel方程的通解也可以写为Jm(x)、J−m(x)和Nm(x)任意两个线性组合形式：
y(x)=c1Jm(x)+c2J−m(x)或者y(x)=c1Jm(x)+c2Nm(x)或者y(x)=c1J−m(x)+c2Nm(x)。
2、当m=(l+12),(l=0,1,2L)为半整数时 Bessel方程变为(l+12)阶Bessel方程
x2
d2ydx2+xdydx
+[x2
−(l+12)2]y=0,
(l=0,1,2L) （9）
○
1、当l=0时，对应12阶Bessel方程 x2d2ydx2+xdydx+[x2−(12)2]y=0 （10） 我们着重讲解12阶Bessel方程的求解。 取s1=12，第一个特解
∞
12+2k
yx)=Jx)=∑(−1)k
1⎛x⎞1(12(k=0
k!Γ(k+12+1)⎜⎝2⎟
⎠∞
12+2k
=∑(−1)k
1
⎛1⎞
x12+2k
k=0
k!(k+12)(k−12)L
31⎛1⎞⎜2⎟
22Γ⎜⎝2⎟⎝⎠⎠
∞
12+2k
=∑(−1)k
12k+1⎛⎜1⎞
⎟
x12+2k
k=0k!(2k+1)(2k−1)L3⋅1⋅π⎝2⎠∞
12
=∑(−1)k
1
⎛1⎞
k−⎜x12+2k
k=0
k!(2k+1)(2k−1)L3⋅1⋅π⎝2⎟⎠
∞
−12=∑(−1)k
1⎛(2k)!!(2k+1)!⎜1⎞
⎟
x12+2k
k=0
!π⎝2⎠=2x
π∑∞
(−1)k1
k=0
(+1)!
x2k
2k=
2x1∞
πx∑(−1)k1k=0
(2k+1)!x2k+1
=2
πx
sinx所以
5
y1(x)=J12(x)=2sinx （11） πx由于s2−s1=1为整数，故第二个特解可写为：
ys∞
2
2(x)=βy1(x)ln(x−x0)+(x−x0)∑cn
n
(x−x0
)n=0
∞
=βJ12(x)lnx+∑cn−12nxn=0dyd⎡dx=dx⎢⎣β∞∞
Jx)lnx+∑cn−12⎤'
112(nxn=0⎥⎦=βJ12(x)lnx+βxJ12(x)+∑cn(n−12)xn−32n=0d2ydx2=d⎡dx⎢⎣βJ'12(x)lnx+β1∞
xJn−32⎤12(x)+∑cn(n−12)xn=0⎥⎦'''∞
=βJ21
12(x)lnx+βJ12(x)−βx2J12(x)+∑cn(n−12)(n−32)xn−52
xn=0
将上述三式代入方程（7）中，得
βx2J
''
'
12(x)lnx+2βxJ(x)∞
12
−βJ12(x)+∑cn(n−12)(n−32)xn−12
n=0
∞
+βxJ'
12(x)lnx+βJ12(x)+∑cn(n−12)xn−12
n=0
+⎛⎜⎝x2−1⎞4⎟⎡
∞
⎠⎢⎣βJ+∑cn−12⎤12(x)lnxnx⎥=0
n=0⎦⇒βlnx⎡⎢⎣x2J'')+⎛
⎜1⎞⎤12(x)+xJ'12(x⎝x2−4⎟⎠J12(x)⎥⎦
+2βxJ'12(x)∞
+∑cn−12∞
n(n−12)(n−32)x
+(n−12)x
n−12
∞
+−12n=0
∑cnn=0
∑cn+32
nx
−1n=0
4∑∞
cnxnn=0
∞
∞
⇒∑c12
nn(n−1)x
n−+n=0
∑cnxn+32+2βxJ'=0
12(x)=0
nQJ2
12(x)=
πx
sinx ∴J'12(x)=
2⎛11π⎜⎝−2x32sinx+1⎞
x12cosx⎟⎠
∞
∞
=
2⎛π⎜⎜⎝−112x32∑(−1)n1n=0(2n+112n+1)!x+x12∑(−1)n1n=0(2n)!x2n⎞⎟⎟⎠
2βxJ'
2⎛∞∞
12(x)=βπ⎜⎜⎝−∑(−1)n1x2n+12
+2()n12n+12⎞n=0(2n+1)!∑−1x⎟n=0(2n)!⎟⎠
6
=0代入上式，得
∑cn(n−1)x
n∞
n−12
+∑cnx
∞
n+32∞
2⎛∞112n+12⎞nn2n+12()()+β⎜−−+−1x21x⎟=0∑∑⎜⎟n=0
n=0
π⎝n=0(2n+1)!n=0x−12系数：c0⋅0=0⇒c0为任意实数 x12系数：c1⋅0+β2
π(−1+2)=0⇒c1为任意实数,β=0
x32系数：c12⋅2⋅1+c0=0⇒c2=−
2⋅1c0 x52系数：c⋅3⋅2+c0⇒c1
31=3=−3⋅2c1
x72系数：cc11
4⋅4⋅3+c2=0⇒4=−4⋅3c2=4⋅3⋅2⋅1c0
x92系数：c5⋅4+c11
5⋅3=0⇒c5=−5⋅4c3=5⋅4⋅3⋅2
c1
MM
令c1=0，则c3=c5=L=c2n+1=0，则
∞
y22(x)=∑c2n−12nx=c−120x+c322x+c4x72+n=0
L
=c−12+⎛⎜−12⋅1c⎞⎟⎠x32+⎛⎜1⎝4⋅3⋅2⋅1c⎞
20x⎝00⎟⎠x7+L
=c−12
⎡x2x4
⎤0x⎢⎣1−2⋅1+4⋅3⋅2⋅1−L⎥
⎦
=c120x−cosx
取c0=
2
π，则
y2(x)=2πxcosx=J−12(x) 所以，
1
2
阶贝塞尔方程的通解为： y(x)=c1J12(x)+c1J−12(x) （13） 其中，
J12(x)=
2πxsinx，J2−12(x)=πx
cosx 7
(2n)!⎠
（12） 2、当l≠0时，对应l+12阶Bessel方程○
d2ydy22
()x+x+x−l+12y=0,
dx2dx
2
[](l=0,1,2L)的通解为
y(x)=c1Jl+12(x)+c2Jl−12(x) （14） 可以证明，Jl+12(x),Jl−12(x)均为初等函数。（证明略）
注意，一般类似（1）的常微分方程，当m=l+12(l=0,1,2L)时，其通解不能直接写为
'2
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)的
s2
形
∞
式，另
n
一个特解需要由
y(x)=βy1(x)ln(x−x0)+(x−x0)(2)c∑n(x−x0)n=0
确定。但Bessel方程在求解过程中，
β恰好等于零，所以第二个特解的形式又退化成类似第一个特解的形式，因此，l+12阶
Bessel方程的通解可以直接写为y(x)=c1Jl+12(x)+c2Jl−12(x)。 3、当m=整数时
整数m阶贝塞尔方程：
d2ydyx+x+x2−m2y=0,2
dxdx
2
[](l=0,1,2L) （15）
m+2k
贝塞尔方程第一个特解
1⎛x⎞y1(x)=Jm(x)=∑(−1)⎜⎟
k!Γ(m+k+1)⎝2⎠k=0
k
∞
k
∞
−m+2k
1⎛x⎞
另一个特解能否用J−m(x)=∑(−1)⎜⎟
k=0k!Γ(−m+k+1)⎝2⎠
证明：
因为对于Γ(n)，当n=0,−1,−2,L,−m时，Γ(n)=∞
表示?
1⎛x⎞
所以J−m(x)=∑(−1)⎜⎟
k=mk!Γ(−m+k+1)⎝2⎠
∞
k
−m+2k
（只有当k≥m，系数才不为零）
令−m+k=n，即k=m+n
8
1⎛x⎞
J−m(x)=∑(−1)⎜⎟
k=mk!Γ(−m+k+1)⎝2⎠
∞
k
−m+2k
=∑(−1)n=0m∞
∞
m+n
1⎛x⎞
⎜⎟
(m+n)!Γ(n+1)⎝2⎠
m+2n
m+2n
1⎛x⎞
=(−1)∑(−1)⎜⎟
n=0(m+n)!n!⎝2⎠
n
m∞
n
m+2n
1⎛x⎞
=(−1)∑(−1)⎜⎟
n=0n!Γ(m+n+1)⎝2⎠=(−1)Jm(x)m
m
即J−m(x)=(−1)Jm(x) （16）
Jm(x)、J−m(x)线性相关。因此，J−m(x)不能作为另一个特解。
另一个特解用第二种形式写为：
y2(x)=βJm(x)lnx+x
−m
∑c()x
2
nn=0
∞
n
，带入方程（11），并利用级数解法，确定其系数
(2)。将y2(x)与Jm(x)进行适当线性组合成Nm(x)，其形式可以用如下简洁的形式表β,cn
示：
Nm(x)=lim
Jν(x)cosπν−J−ν(x) (17)
ν→msinπν由于其推导过程非常繁琐，推导过程此处不再详讲，可以参考书本161-167页。
整数阶贝塞尔方程的通解为：
y(x)=c1Jm(x)+c2Nm(x)
（在物理问题中，当m=整数时，Nm(0)=∞，不符合物理规律，所以往往都要舍去，所以整数阶Nm(x)的具体形式我们不再详细研究。）
综上，当m≠整数时，贝塞尔方程的通解可以用Jm(x)，J−m(x)，Nm(x)任意两个线性组合组成；当m=整数时，贝塞尔方程的通解可以用Jm(x)，Nm(x)任意两个线性组合组成。
二、虚宗量Bessel方程
d2ydy22x+x−(x+m)y=0 （18） 2dxdx2做变量代换，令ε=ix
d2ydyε+ε+(ε2−m2)y=0 2
dεdε2
9
其中一个特解写为：
1⎛ix⎞
Jm(ix)=∑(−1)⎜⎟
()!1kmkΓ++⎝2⎠k=0
k
∞
m+2k
1⎛x⎞
=im∑⎜⎟
()!1kmkΓ++⎝2⎠k=0
∞
m+2k
（19）
1、当m≠整数和半奇数时，另一个特解写为
1⎛ix⎞
J−m(ix)=∑(−1)⎜⎟
()!1kmkΓ−++⎝2⎠k=0
k
∞
−m+2k
1⎛x⎞
=i∑⎜⎟
()!1kmkΓ−++⎝2⎠k=0
−m
∞
−m+2k
（20）
或者
Nm(ix)=
Jm(ix)cosmπ−J−m(ix) （21）
sinmπ∞m+2k为方便起见，将虚宗量Bessel函数写成实函数
1⎛x⎞Im(x)=iJm(ix)=∑⎜⎟k=0k!Γ(m+k+1)⎝2⎠−m∞ （22）
−m+2k1⎛x⎞I−m(x)=imJm(ix)=∑⎜⎟()!1kmkΓ−++⎝2⎠k=0虚宗量Bessel方程的通解写为
（23）
y(x)=c1Im(x)+c2I−m(x)
2、当m=整数时，其中一个特解
1⎛x⎞Im(x)=∑⎜⎟()!1kmkΓ++⎝2⎠k=0m
∞m+2k （24） m
m
I−m(x)=imJ−m(x)=im(−1)Jm(x)=im(−1)imi−mJm(x)=im(−1)imIm=Im
两个特解一样，所以，另外一个特解同样写成y2(x)=βIm(x)lnx+x然后由级数解法确定其系数。
−m
∑c()x
2
n
∞
n
n=0
10