高考数学三角函数常见考查题型与解法分析

解题技巧与方法　囊　喾酶　。　．　０～，＿．　●　赢考魏学三詹醯魏震　考查题型％解法馈橇　◎林伟　（深圳市第二实验学校５１　８０２１）　角函数是中学数学的七类基本初等雨数之一，具有　比较完备的函数性质，又冈系统的三角公　及其变换，使＿二　角函数问题丰富多彩、层次分明、变化多端，常与函数、ｊ三　解　（１）因为函数图像过点（詈，÷），解得　＝詈．　（２）由（１）知　＝÷，　‘角、数列、解析几何等结合考查．因此三角函数解答题备受　命题者青睐，是历届高考的命题热点，大多属于中低档题．　纵观全国各省市高考试卷以及全国各地高考模拟试卷，　角函数解答题可分以下五种类型：　题型一　三角函数化简与求值　这类题目通常综合考查同角＝三角函数之间的关系、和　差角公式、倍角等内容，解题时注意角所在象限和　角函数　值的符号以及有关角的灵活变换．　・．．．几　）＝　１　ｓｉｎ２ｘｓｉｎ詈＋ｃ。ｓ　ｃ。ｓ詈一　÷ｓ丁　”ｉｎｆ【　丁Ｊ詈＋｛）（‘　０　＝　ｓ　＋）　÷…２　一÷　１　＝　ｓｉｎ（ｚ　＋詈）．　例１　（２００９年广东卷理）已知向量ａ＝（ｓｉｎ０，一２）与　．　４　＋詈＝号时，ｇ（　）取最大值÷；　角函数图像及其性质是历届高号的热点，这　ｂ＝（１，ｃ。ｓ　）互相垂直，其中０　ｆ　０，詈１．　（１）求ｓｉｎ０和（．Ｉｌｓｐ的值；　当４　＋　６＝詈或　日寸．ｇ（　）取最小值÷．　点评　类题主要考查ｉ角丽数的最佰、周期性、单调性以及对称性　（２）若ｓｉｎ（ｐ一　）＝　，ｏ　ｃ号，求ｃ。ｓ　的值．　解　（１）’．’ａ与６互相垂直，则ａ・ｂ＝ｓｉｎ０—２ｃｏｓ０＝０，　等，大多属于中低档题，大多是课本例题、习题或复习参考　题改编而来．因此在复习备考过程中应注意以下三点：一是　“立足课标，着眼提高”，二是加强掌握常规题型基本解法，　三是加强　角函数式化简训练．　代人ｓｉｎ。日＋ｃ。ｓ　＝ｌ，得ｓｉｎｐ＝２￣５　Ｃ０Ｓ０＝　５　题型三求解三角彤问题　（２）　．’０＜　＜詈，０＜０＜号，．・．一号＜０一　＜詈．　贝０　ｃ。ｓ（ｐ一　）＝　／　＿＝＝＿　．　．二－角　数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的　热点，在高考试题巾频繁出现．这类题型难度比较低．解决　＝三—　，　此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定　理，求边角或将边角互化．　例３　（２０１０年辽宁文数）在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，Ｃ分别为内　角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，且２ａｓｉｎＡ＝（２６＋Ｃ）ｓｉｎＢ＋（２ｃ＋ｂ）ｓｉｎＣ．　（１）求　的大小；　ｃｏｓ＠：ＣＯＳ［０一（０一妒）］　：ｃｏｓＯｃｏｓ（０一　）＋ｓｉｎ０ｓｉｎ（０一　）　一　２’　（２）若ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝１，试判断△ＡＢＣ的形状．　点评　函数式ｓｉｎｓ＋ｃｏｓｄ，ｓｉｎｓ—ｃ０ｓ　，ｓｉｎｓ・ｃｏｓｄ三者　解（１）南已知，根据正弦定理，得　余弦定理，得ａ　＝ｂ　＋ｃ　一２ｂｃｃｏｓＡ．　关系密切，常可以“知一求二”，是高考命题的常考点．　题型二　例２２ａ　＝（２ｂ十Ｃ）ｂ＋（２ｃ＋ｂ）Ｃ，即ａ　＝ｂ　＋Ｃ　十６ｃ．　角函数的图像与性质　（２ｏｌｏ年山东理数）已知函数ｌ厂（　）：＿叫＿１　ｉｌ１２　ｓｉｎ　＋　１　故ｅｏｓＡ＝一÷，Ａ＝１２０。．　（２）由（１），得ｓｉｎ。Ａ＝ｓｉｎ　Ｂ十ｓｉｎ　Ｃ十ｓｉｎＢｓｉｎＣ．　ｃ　…ｓ　一　ｓｉｎ（号＋　）（０　），其图像过点（詈，｛）．　又‘（１）求　；（２）将函数Ｙ＝ｌ厂（　）的图像上各点的横坐标缩　短到原来的　１，ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝１，得ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＣ＝÷・　’．０。＜Ｂ＜９０。．０。＜Ｃ＜９０。，Ｂ＝Ｃ，　纵坐标不变，得到函数　：ｇ（　）的图像．　’．．△ＡＢＣ是等腰钝角三角形．　分析　本题考查　角函数的绣导公式及二倍角等基本　点评求解三角形的形状问题大致有两条思路：①都　公式的灵活应用、罔像变换以及三角函数的最值问题、分析　问题与解决问题的能力．　统一成边的关系，②都统一成角的父系，其基本依据是正、　余弦定理以及三角形的内角和定理．　学学习与研究２０１１．５　●　解题技巧与方法　．　．　●　＊　．－Ｉ＿．．－．　●　题型四　三角函数的综合应用题　例４　（２０１０年江苏卷）某兴趣小组测量电视塔ＡＥ的　高度　（单位：ｍ），如图，垂直放置的标杆ＢＣ的高度ｈ：　４　ｍ，仰角ＬＡＢＥ＝ａ，ＬＡＤＥ＝口．　（２）由题设知ｄ＝ＡＢ，得　日　Ｈ　ｈ　Ｈ—ｈ　ｔａｎａ　ｔａｎ（　，　＝　Ｈ　—面　丁，　Ｈ—ｈ　ｄ一丁　■］　］　‘—　ｄ　ｄ　＋日（Ｈ—ｈ）　（１）该小组已经测得一组ａ，／３的值，ｔａｎａ＝１．２４，ｔａＩ　＝　１．２０，请据此算出日的值；　ｈ　ｄ＋丝！　；垒２‘　ｄ　（２）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆　到电视塔的距离ｄ（单位：ｍ），使Ⅱ与／３之差较大，可以提高　测量精确度．若电视塔的实际高度为１２５　１３１，试问ｄ为多少　时，０ｔ一口最大？　・’当且仅当ｄ＝￣／　＝　而：５５　时，取　等号．故当ｄ＝５５　时，ｔａｎ（ｏ／一／３）最大．　．解析本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切　．０＜／３＜ａ＜詈，则０＜　一／３＜号，　当ｄ＝５５￣／５时，Ｏｌ一　最大．　及不等式的应用．　‘．（１）　ＡＤ枷－ｔａ归：　　Ｄ＝　故得　＝　，同理…一　＝　　，　＿１２４　，肋＝　．　故所求的ｄ是５５√５　ｍ．　点评　“分析结构，消除差异”是求解三角问题的法宝，　在分析结构的基础上，寻找已知与所求之间的差异，求解三　解得日＝　ｈｔａｎａｔａｎ　一ｔａｎ　１　２４　．　一１　２０．　角问题的过程实际上是一个逐步消除差异的过程，将已知　因此，算出的电视塔的高度日是１２４　ｎｌ　角和所求角进行比较，明确运算方向．　（上接８Ｏ页）　３．形同而神不同　商．商：　．葡：赢．　，贝ＩＪ　Ｐ是三角形的　变式４若０是ＡＡＢＣ内一点，　是三角形的——心．　：０，则０　很多数学问题的结论设计是封闭的，只针对本题设计　的，但如果从发散的角度进行延伸拓展，可把此结论扩充到　一＋　＋　心．　类具有共同属性的问题中，这样会使学生对于此类问题　案例３若０是ＡＡＢＣ所在平面内一定点，点Ｐ满足　——变式５　若０是锐角ＡＡＢＣ内一点，满足Ｉ　　＋　ｌ有更深层次的认识．　　ＩＢＣＩ：：１　Ｉ　十Ｉ　Ｉ　：Ｉ　－－ｏｄＩ　＋Ｉ　ｌ　，则０是三角形的　心．　：　＋Ａ（　＋　），则动点Ｐ的轨迹一定过三角形　的——学生通过此组题的设计，把有关三角形四心与向量间　的代数式关系归成一类，有效对比记忆．　由一个基本问题变式出若干个不同的问题，形成问题　串，使学生做一道题，会一类题，会一串题，掌握解决这类问　题的规律．同时通过变式使学生更好地掌握数学题的真正　心．　此题在向量教学中是一常见题．利用向量加法及单位　向量的几何意义可很容易判断点Ｐ是三角形的内心．三角　形有四心：重心、内心、垂心和外心．能设计关于三角形四心　和向量的关系式吗？同学们都说“能”，并且马上动手书写　出如下变式：　结构及数学习题的设计．以后拿到这一类题，不是想以前做　过没有，而是想它是由书本中哪个简单问题变化而来，解决　它用什么通法，并且在解决问题的同时也能提出自己的　问题，　变式Ｉ若０是△ＡＢＣ所在平面内一定点，点Ｐ满足　＝　＋Ａ（　过三角形的　＋　心．　），则动点Ｐ的轨迹一定　利用变式作业，通过过程、条件、结论变式，让学生巩固　数学概念、定理、结论的发生、发展、形成的过程，让学生体　验新知识是如何从已有知识逐渐演变或发展而来的，从而　变式２若０是ｚ￣ＡＢＣ所在平面内一定点，点Ｐ满足　理解知识的来龙去脉．总之，设计变式作业的变式方式、形　式及内容，要根据原题的内容和学生的实际情况来安排，因　材施教、对症下药是课堂教学永远要坚持的原则．只有恰当　合理的变式，才能使学生掌握一题多解或多题一解，更有助　于学生构建知识网络，举一反三、触类旁通．　数学学习与研究２０１１．５　＝　＋Ａ（　鲁　＋　若鲁　），则动点Ｐ的轨迹一定　过三角形的　心．　变式３若尸是［￣ＡＢＣ所在平面内一定点，点Ｐ满足