《二次根式》
1．二次根式的概念
(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式． (2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：
①二次根号“ ”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．
②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．
③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．
二次根式有两个要素：一是含有二次根号“
”；二是被开方数可以不
只是数字，但必须是非负的，否则无意义．
【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？ a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.
分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，
(a－1)2是二次根式．
a＋10，a2－1
因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，不是二次根式．
解：|a|，a2，
a2＋1，
(a－1)2是二次根式．
x－3有意义．
【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？ 分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数范围内有意义． 2．二次根式的性质 (1)a(a≥0)是一个非负数 ．．．
a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．
【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则ab的值是__________．
解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，
所以a＋3＝0，b－2＝0，
则a＝－3，b＝2.所以ab＝(－3)2＝9. 答案：9
(2)(a)2＝a(a≥0)
由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．
22
【例2－2】化简：①()＝__________；
3
②(x－3)2(x≥3)＝__________.
解析：①直接利用公式(a)2＝a(a≥0)，可得(所以由公式(a)2＝a(a≥0)，可得(
2
答案：① ②x－3
3
a(a≥0)，2
(3)a＝|a|＝
－a(a<0).
222
)＝；②因为x≥3，所以x－3≥0，33
x－3)2＝x－3(x≥3)．
a(a≥0)，
由算术平方根的定义，可得a2＝|a|＝
－a(a<0).
a2＝a(a≥0)表示非负数a的平方的算术平方根等于a.
【例2－3】计算： (1)(－1.5)2；
(2)(a－3)2(a＜3)；
3
(3)(2x－3)2(x＜)．
2
解析： 错解 (1)(2)(a－3)2＝a－3； (3)(2x－3)2＝2x－3. 错因剖析： 本题对性质(a)2＝a(a≥0)与a2＝|a|应用混淆，需特别注意被开方数是非负数时，a2＝a(a≥0).
(1)(a)2＝a的前提条件是a≥0；而a2＝|a|中的a为一切实数．
(2)a(a≥0)，|a|，a2是三个重要的非负数，即a(a≥0)≥0，|a|≥0，a2≥0，在解题时应用较多．
(3)a2＝(a)2成立的条件是a≥0，否则不成立．
(4)(a)2＝a(a≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．
(5)在利用a2进行化简时，要先得出|a|，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．
思路分析： 根据a2＝|a|，首先去掉根号，然后利用绝对值的定义求解. (－1.5)2＝－1.5； 正解 (1)(－1.5)2＝|－1.5|＝1.5； (2)(a－3)2＝|a－3|＝3－a(a＜3)； 3(3)(2x－3)2＝|2x－3|＝3－2x(x＜)． 23．求二次根式中被开方数字母的取值范围
由二次根式的意义可知，a的取值范围是：a≥0.即当a≥0时，a有意义，是二次根式；当a＜0时，a无意义，不是二次根式．
(1)确定形如a的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子a有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．
(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．
求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a(a≥0)得被开方数必须
是非负数，即把问题转化为解不等式．
【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式． (1)a2＋b2； (2)－3x；
－31
(3)； (4).
2x2－x
分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．
解：(1)因为a，b为任意实数时，都有a2＋b2≥0， 所以当a，b为任意实数时，
a2＋b2是二次根式．
－3x是二次根式．
(2)－3x≥0，x≤0，即当x≤0时，1
(3)≥0，且x≠0，所以x＞0. 2x
1
当x＞0时，是二次根式．
2x－3
(4)≥0，故x－2≥0且x－2≠0，所以x＞2. 2－x当x＞2时，
是二次根式． 2－x－3
4．二次根式非负性的应用
(1)在实数范围内，我们知道式子a(a≥0)表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性：①a≥0；②a≥0.
运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．
巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式： ①|a|≥0；②a2≥0；③a≥0(a≥0)．
【例4－1】已知x，y都是实数，且满足y＝5－x＋x－5＋3，求x＋y的值．
分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x的不等式组．
5－x≥0，x≤5，
解：由题意知∴∴x＝5.
x－5≥0，x≥5，
当x＝5时，y＝∴x＋y＝5＋3＝8.
两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个
式子才能都有意义．
1
【例4－2】已知x，y为实数，且y＝＋8x－1＋1－8x，则x∶y＝__________.
2解析：因为y为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负
5－5＋
5－5＋3＝3.
8x－1≥0，
数．实际上，若a和－a都有意义，则a＝0.即依题意得
1－8x≥0.
111
解得x＝，于是y＝＋0＋0＝.故x∶y＝1∶4.
822
答案：1∶4,
5．式子(a)2的意义和运用
二次根式的一个性质是：(a)2＝a(a≥0)．
332
因为2＝(2)2，＝()，所以上面的性质又可以写成：a＝(a)2(a≥0)．可见，利
55
用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．
11
二次根式中的23表示2×3，这与带分数2表示2＋是不一样的，因
22
331
此，以后遇到×3应写成3，而不能写成13.
222
12
【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－2)；(3)(－5×3)2.
2
解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12. (2)(－2
12
)＝(－2)2×(2
12
)＝2. 2
(3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.
【例5－2】把多项式n5－6n3＋9n在实数范围内分解因式．
分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n5－6n3＋9n提取公因式，得n(n4－6n2
＋9)，再利用完全平方公式分解，得n(n2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．
解：n5－6n3＋9n＝n(n4－6n2＋9)＝n(n2－3)2＝n(n＋3)2(n－3)2.
6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用
(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．
(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a|≥0，b≥0(b≥0)，c2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．
即：|a|＋b＝0⇒a＝0，b＝0； |a|＋c2＝0⇒a＝0，c＝0； b＋c2＝0⇒b＝0，c＝0； |a|＋b＋c2＝0⇒a＝0， b＝0，c＝0.
【例6－1】若|a－b＋1|与a＋2b＋4互为相反数，则(a＋b)2 011＝______.
解析：|a－b＋1|与∴|a－b＋1|＋
a＋2b＋4互为相反数，
a＋2b＋4＝0.
a＋2b＋4≥0，
而|a－b＋1|≥0，a－b＋1＝0，a＝－2，∴∴ a＋2b＋4＝0.b＝－1.
∴(a＋b)2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011. 答案：－32 011
【例6－2】若a2＋b－2＝4a－4，求ab的值．
分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a－2)2＋
b－2＝
0，由二次根式的性质可知
解：由a2＋
b－2≥0，由完全平方数的意义可知(a－2)2≥0，而它们的和
b－2＝0，即(a－2)2＋
b－2＝0.
为零，则a－2＝0，b－2＝0，从而可求出a，b的值．
b－2＝4a－4，得a2－4a＋4＋b－2≥0且(a－2)2＋
b－2＝0，
∵(a－2)2≥0，
∴a－2＝0，b－2＝0，解得a＝2，b＝2. ∴ab＝2，即ab的值为2.
7．二次根式(a)2＝a(a≥0)与a2＝|a|的区别、运用
(a)2＝a(a≥0)与a2＝|a|是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．
(1)正确理解(a)2与a2的意义
学习了二次根式的定义以后，我们知道a≥0(a≥0)，即a是一个非负数，a是非负数a的算术平方根，那么(a)2就是非负数a的算术平方根的平方，但只有当a≥0时，a才能有意义．对于a2，则表示a2的算术平方根，由于a2中的被开方数是一个完全平方式，所以a无论取什么值，a2总是非负数，即a2总是有意义的．
(2)(a)2与a2的区别和联系
区别：①表示的意义不同．(a)2表示非负实数a的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根．
②运算的顺序不同．(a)2是先求非负实数a的算术平方根，然后再进行平方运算；而a2则是先求实数a的平方，再求a2的算术平方根．
③取值范围不同．在(a)2中，a只能取非负实数，即a≥0；而在a2中，a可以取一切实数．
④写法不同．在(a)2中，幂指数2在根号的外面；而在a2中，幂指数2在根号的里面．
a(a＞0)，
⑤结果不同．(a)2＝a(a≥0)，而a2＝0(a＝0)，
－a(a＜0).
联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．
②两式运算的结果都是非负数，即(a)2≥0，a2≥0. ③仅当a≥0时，有(a)2＝a2.
如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运
算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．
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【例7－1】已知x＜2，则化简x2－4x＋4的结果是( )． A．x－2 B．x＋2 C．－x－2 D．2－x 解析：x2－4x＋4＝
(x－2)2＝(2－x)2，
因为x＜2,2－x＞0，所以x2－4x＋4＝2－x. 答案：D
【例7－2】化简1－6x＋9x2－(2x－1)2得( )． A．－5x B．2－5x C．x D．－x
解析： 错解 原式＝故选B. 错因剖析： 本题错在忽视了二次根式成立的隐含条件．题目中2x－1有意义，说明隐含了1条件2x－1≥0，即x≥，可2(1)(1－3x)2－(2x－1)由正解 12x－1，知2x－1≥0，得x≥，从而有2(1－3x)2－(2x－1)＝(3x－1)2－(2x－1)＝(3x－1)－(2x－1)＝x.故选C. 思路分析： 本题主要应用二次根式的性质： a2＝|a|＝＝(1－3x)－(2x－1)＝2－5x，3x－1≥0，所以原式＝aa0, －aa＜0.(2)(a)2＝a(a≥0) . 正确应用二次根式的性质是解决本题的关键. 知3x－1≥0. 答案：C 【例7－3】若m满足关系式3x＋5y－2－m＋2x＋3y－m＝x－199＋y·199－x－y，试确定m的值．
分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．
解：由算术平方根的被开方数的非负性，得
x－199＋y≥0，x＋y≥199，
即∴x＋y＝199.
199－x－y≥0，x＋y≤199.
∴∴
x－199＋y·199－x－y＝0. 3x＋5y－2－m＋
2x＋3y－m＝0.
再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，
3x＋5y－2－m＝0，得2x＋3y－m＝0.
①②
由①－②，得x＋2y＝2.
x＋y＝199，x＝396，
解方程组得
x＋2y＝2，y＝－197.
∴m＝2x＋3y＝2×396＋3×(－197)＝201.
点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x≥a且x≤a，故有x＝a，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．
a≥0，(2)由b≥0，
a＋b＝0一．
推出a＝b＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之