立体几何-高三二轮复习

第一讲空间几何体

知识点

一、多面体

●1. 多面体——由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体有几个面就称为几面体。

定 义 棱柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体。 (1) 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形； (1) 底面是多边形； (2) 平行于底面的截面与底面相似； 棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体。 棱台 棱锥被一个平行于底面的平面所截后，截面和底面之间的部分。 (1) 两个底面是相似多边形； (2) 两个底面以及平行于底面的截面是对应边互相平行的相似多边形； (3) 侧面都是梯形。 性 (2) 侧面都是平行四边形， (3) 侧面是有一个公共顶点质 侧棱都相等； 的三角形。 (3) 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 ●2.

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是平 行四边形 侧棱与 底面垂直 底面 是矩形 棱长 相等

二、中心投影和平行投影

长方体

正方体

●1. 投影——是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。投射线交于一点的投影称为中心投影。投射线相互平行的投影称为平行投影。 平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。

●2. 视图——物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图。正视图、俯视图、左视图称为三视图；作图关键：按“长对正、高平齐、宽相等”。

●3. 空间几何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的直观图。三角形ABC的面积为S，用斜二测画法画得它的直观图三角形ABC的面积为S，则S2S。作图关键：倾斜45，横“等”纵“半”。

4

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三、平面基本性质：（三公理三推论）

名 称 内 容 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。 公理3 经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 推论2 经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 经过两条平行线，有且仅有一个平面。

四、空间两条不重合的直线的位置关系

●1. 空间两条直线有三种位置关系：(1)相交直线； (2)平行直线； (3)异面直线。 ●2. 若从有无公共点角度看，可分两类： 有且只有一个公共点——相交直线

平行直线 异面直线 相交直线 平行直线

没有公共点

●3. 若从是否共面的角度看, 可分为两类： 在同一平面内

不同在任一平面内——异面直线 ●4. 异面直线

(1) 定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 (2) 性质: 两条异面直线既不相交也不平行。

(3) 判定定理——连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。 (4) 异面直线所成的角——设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。

(5) 异面直线所成角的范围为。

(6) 求异面直线所成的角分两步：一是找角，通过平行移动找两直线所成的角；二是求角，通过解三角形求角。

两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.所以线线垂直包括两条相交直线互相垂直和两条异面直线互相垂直两种情况。 五、柱、锥、台、球的表面积和体积 ●1. 侧面积公式（注: 高）

公式 直棱柱 正棱锥 正棱台 c表示柱、锥、台的底面周长，c表示棱台上底面周长，h表示正棱锥或正棱台的斜

S直棱柱侧ch S正棱锥侧1ch 2S正棱台侧1(cc)h 2 2 / 24

●2. 体积公式 公式 棱柱 棱锥 棱台 V柱体Sh V锥体1Sh 3V台体1（hSSSS) 3 ●3. 球——与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。 球面——与定点距离等于定长的点的集合。

大圆——球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。

两点的球面距离——球面上两点之间的最短距离（就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）。 ●4. 球的截面性质

(1) 用一个平面截球，所得的截面是一个圆面； (2) 球心和截面圆心的连线截面；

(3) 球心到截面距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系：ra r d R R2d2。

2 ●5. 球面面积公式：S球面4R ●6. 球体积公式：V球

4R3

3题型一 三视图与直观图

【例1】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．20π B．24π C．28π D．32π

【例2】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )

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【过关练习】

1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )

2.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )

题型二 几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧． 【例1】(1)三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )

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111

A. B. C. D．1 632

【例2】如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为( )

【过关练习】

1.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

题型三多面体与球

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．

【例1】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为( ) A．4π C．16π

B．12π D．π

【例2】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

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500πA. cm3

31 372πC. cm3

3

866πB. cm3

32 048πD. cm3

3

2，2

【例3】在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为36，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________． 22

课后练习

【补救练习】

1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

12A.＋π 3312C.＋π 3612B.＋π 33D．1＋2π 62．在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )

9π32π

A．4π B. C．6π D.

23

π

3．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周

2而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) 2π4π5π

A. B. C. D．2π 333

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4．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．16

C．22＋26＋8

B．82＋8 D．42＋46＋8

5．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为( ) A．6π C．32π 【巩固练习】

1．如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为( )

B．12π D．36π

2．下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为( )

A．2 4C. 3

2B. 38D. 3

3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )

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A．8－2π π

C．8－

2

B．8－π π

D．8－ 4

4．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝5，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．

5．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．

【拔高练习】

1．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )

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A．1 B．2 C．4 D．8

2．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )

A.C.3π 22π 3

B．3π D．2π

3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.

4．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于____________．

5．已知在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝PA＝2，且在△ABC中，∠BAC＝120°，则三棱锥P—ABC的外接球的体积为________．

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6．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S.

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第2讲 空间中的平行与垂直

知识点

一、空间的直线与平面

●1 线 定义 如果一条直线l与一aa,lal//a l//al//a,ll//a aa线面平行的判定定理 线面平行的性质定理 面 个平面a没有公共点，我平 们就说直线l与平面a平行 行。记作: l//a ●2 线 面 aa，有la 即：线线平行线面平行 即：线面平行线线平行 线面垂直的判定定理 la,lbabOla a,ba定义 线面垂直的性质定理 aa,baa//b 垂 记作: la 直 即：线面垂直线线平行 即：线线垂直线面垂直 证明线面平行，要抓住上述判定定理中的“内”“外”两关键字眼，“内应外合”。通过勾股定理的逆定理计算得出垂直也是常用手段。

●3. 点到平面的距离——过a外一点A向a作垂线，则A和垂足B之间的距离叫做点A到平面a的距离。

●4. 线面所成的角——平面a的一条斜线l与它在该平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角. la时称l与a所成的角为直角；l//a时称l与a所成的角为0角。线面角范围为[0,]。

2 ●5. 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 ●6. 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

二、空间的平面与平面

●1 面 面 平 行 定义 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时a 记为: a// 相交直线分别平行于另一个与第三个平面相交，那么它们平面，那么这两个平面平行 的交线平行。 即：线面平行面面平行 即：面面平行线线平行 11 / 24

●2 面 定义 如果两个平面所成面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一面面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它面 的二面角是直二面角, 个平面的一条垂线，那么这两们交线的直线垂直于另一个垂 我们就说这两个平面互个平面互相垂直。 直 相垂直。

●3. 二面角——从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。棱为l，两个半平面分别为a,的二面角记为al。二面角范围为[0,]。 ●4. 二面角平面角的作法：一是定义，在棱上取一点，分别在二面角的两个面作与棱垂直的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；二是利用线面垂直的判定和性质，在二面角的一个面内取一点P作另一个面的垂线，自垂足A作二面角的棱的垂线AO，AO与棱交于点O，则POA即为二面角的平面角或其补角；三是过空间一点作二面角的棱的垂面，垂面与二面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角。

即：线面垂直面面垂直 平面。 即：面面垂直线面垂直 题型一 空间平行、垂直关系的证明

【例1】三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.

(1)证明：BC∥平面PDA； (2)证明：BC⊥PD；

(3)求点C到平面PDA的距离．

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【过关练习】

1.如图，在四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.

(1)求证：平面PCD⊥平面PBC； (2)求证：PB∥平面AEC.

2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

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题型二平面图形的折叠问题

【例1】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝10.

(1)求证：BD⊥PA；

(2)求四棱锥P—BFED的体积．

【过关练习】

1.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B—AD—C，如图2.

(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；

(2)设点E为BC的中点，BD＝2，求异面直线AE和BD所成的角的大小．

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2.如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．

(1)求证：A1E⊥FP；

(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

课后练习

【补救练习】

1.设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是( ) A．若m⊂α，n∥α，则n∥m B．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β C．若n⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m⊂α，n⊥α，则m⊥n

2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )

A．平面ABD⊥平面ABC C．平面ABC⊥平面BDC

B．平面ADC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

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AMAN

3.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系

MBND是________．

4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．

求证：(1)AP∥平面C1MN； (2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.

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5.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论； (3)证明：直线DF⊥平面BEG.

【巩固练习】

1.如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：

①AB与DE所成角的正切值是2； ②AB∥CE； 1

③VB—ACE是a3；

6④平面ABC⊥平面ADC.

其中正确的是________．(填写你认为正确的序号)

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2.如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与点P重合)，使得∠PEB＝30°.

(1)求证：EF⊥PB；

(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．

【拔高练习】

1.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．

(1)求证：BC⊥平面ACEF；

(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．

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2.(17年高考真题1卷文)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,APD90,且四棱锥P-ABCD的体积为

3.(16年高考真题1卷文)如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正

投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G. （I）证明G是AB的中点；

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

8，求该四棱锥的侧面积. 3

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【高考真题】

1.（2012年新课标第7题）如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

(A)6 (B) 9 (C) (D)

2．（2012年新课标第11题）已知三棱锥SABC的所有顶点都 在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的 直径，且SC2；则此棱锥的体积为（ ） (A)3222 (B) (C) (D)

66323.（2013年新课标2第4题）已知m，n为异面直线，m⊥平面a，n⊥平面，直线l满足l⊥m，l⊥

n，la， l，则（ ）

（A） a∥且l∥a （B）a⊥且l⊥ （C）a与相交，且交线垂直于l （D）a与相交，且交线平行于l

4．（2013年新课标2第7题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） (0,1,1)，(0,0,0)，

(A) (B) (C) (D)

5.（2014年新课标2第18题）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3， 求三棱锥E-ACD的体积．

6.（2015年新课标2第6题）一个正方体被一个平面截

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去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

7．（2015年新课标2第9题）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）

A．36π B.π C.144π D.256π

8.（2016新课标1第6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

28,则它的表面积是（ ） 3（A）17 （B）18 （C）20 （D）28

9.（2016年新课标2第14题）

α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. （3）如果α∥β，mα，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）

10.（2016年新课标3第9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

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（A）18365 （B）54185 （C）90 （D）81 11.（2016年新课标3第10题）在封闭的直三棱柱

ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，

AB6，BC8，AA13，则V的最大值是（ ）

9（A）4π （B）2

32（C）6π （D）3

12.（2017年新课标1第7题）某多面体的三视图如图所示，学*科网其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A．10

B．12

C．14

D．16

13．（2017年新课标1第16题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的

中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．

14.（2017年新课标2第4题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画

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出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A．90 B．63 C．42 D．36

15.（2017年新课标3第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π

B．

3π 4 C．

π 2 D．

π 416．（2017年新课标3第16题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC

所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

17.（2018年新课标1第7题）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ） A．217

B．25

C．3

D．2

18．（2018年新课标1第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截

此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A．

B．23 3 C．32 4 D．3 27，SA与圆锥底面819.（2018年新课标2第16题）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

20.（2018年新课标3第3题）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

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21．（2018年新课标3第10题）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角

形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（ ） A．123

B．183

C．243

D．543

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