阜宁县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

阜宁县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（ x1≠x2），下列结论正确的是（ ） ①f（x）＜0恒成立；

②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0； ③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0； ④⑤

； ．

A．①③ B．①③④ C．②④ D．②⑤

D．a＞0，△＞0

2． 不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（ ） A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0

C．a＞0，△≥0

3． 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

4． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

5． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A．33% B．49% C．62% D．88%

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6． 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A．3

B．

C．

D．

7． 函数f（x﹣）=x2+A．8

B．9

C．11

，则f（3）=（ ） D．10

8． 若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0x2，x3， （a∈R）有三个实根x1，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（ ）A．a＞

9． 设a＞0，b＞0，若A．8

B．4

C．1

ab

是5与5的等比中项，则+的最小值为（ ）

B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1

D．

10．已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（ ） A．﹣1 B．0 A．x﹣2y+7=0 点位于（ ）

A．点A处 B．线段AD的中点处 C．线段AB的中点处 D．点D处

C．1

D．2

C．x﹣2y﹣5=0

D．2x+y﹣5=0

11．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ）

B．2x+y﹣1=0

12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E

二、填空题

13．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）

15．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是 ． 的最小值是 ．

17．已知tan()3，tan(

14．三角形ABC中，AB23,BC2,C60，则三角形ABC的面积为 .

16．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n

4)2，那么tan . 22

18．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x+y=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为 ．

三、解答题

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19．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．

（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；

（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

20．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：

+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依

次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示． （Ⅰ） 若点A横坐标为

，且BD∥AE，求m的值；

+y2=（

2

）上．

（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆

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21．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC． （Ⅰ）求证：EDFP；

（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

22．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；

（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；

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（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．

23．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

24．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}， （1）求a，b；

2

（2）解不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0．

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阜宁县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数， 并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示． f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；

②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确； ③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确， ④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值， 右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边， 故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤． 故选D．

2． 【答案】A

2

【解析】解：∵不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，

∴a＜0，

2

且△=b﹣4ac＜0，

2

综上，不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．

故选A．

3． 【答案】B

2

【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，10）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，

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∵P（95≤ξ≤105）=0.32，

∴P（ξ≥115）=（1﹣0.）=0.18，

∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B．

【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．

4． 【答案】B

【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d， 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1， 则a﹣2d=a﹣2×故选：B．

5． 【答案】B 【

解

析

】

=

．

6． 【答案】B 则F（，0），

【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，

．

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|， 则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PM|≥|MF|=

=

．

即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B． 想．

【点评】本题主要考查抛物线的定题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思

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7． 【答案】C

【解析】解：∵函数故选C．

8． 【答案】B

3232

【解析】解：由x﹣x﹣x+a=0得﹣a=x﹣x﹣x， 322

设f（x）=x﹣x﹣x，则函数的导数f′（x）=3x﹣2x﹣1，

=2

，∴f（3）=3+2=11．

由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减， 即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，

32

在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）﹣（﹣）﹣（﹣）=32

要使方程x﹣x﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，

，

则﹣1＜﹣a＜即﹣

，

＜a＜1，

故选：B．

【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．

9． 【答案】B 【解析】解：∵

ab

∴5•5=（

ab

是5与5的等比中项， 2

）=5，

即5a+b=5， 则a+b=1，

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则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，

当且仅当=，即a=b=时，取等号， 即

+的最小值为4，

故选：B

【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．

10．【答案】D

【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1． 下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2． 故选；D．

11．【答案】A ∵过点（﹣1，3） ∴x﹣2y+7=0 故选A．

【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7

【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．

12．【答案】A

【解析】解：如图，

E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E， 对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置， 面BCD1 的面积为定值，

要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大， 而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，

∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大． 故选：A．

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【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

二、填空题

13．【答案】 （0，2）

0

【解析】解：令x=0，得y=a+1=2 故答案为：（0，2）． 函数的图象必过的定点

14．【答案】23 【解析】

试题分析：因为ABC中，AB23,BC2,C60，由正弦定理得

x

∴函数y=a+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （0，2）

【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求

BCAB，即AC，所以C30，∴B90，ABBC，SABC考点：正弦定理，三角形的面积．

1232，sinA，又23sinA21ABBC23． 2【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正

22弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式15．【答案】 （﹣4，

） ．

111abcabsinC，ah，(abc)r，等等． 2224R

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2

【解析】解：∵抛物线方程为y=﹣8x，可得2p=8， =2．

∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2． 设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，

根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离， 即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，

2

∴n=8m=32，可得n=±4

）．

， ）．

因此，点P的坐标为（﹣4，故答案为：（﹣4，

【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识，属于基础题．

16．【答案】 2 ．

【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=loga（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），故2m+n=1．

mn

∴4+2≥2

=2=2．

mn

当且仅当4=2，即2m=n，

即n=，m=时取等号．

mn

∴4+2的最小值为2

．

故答案为：2

17．【答案】【解析】

4 3试题分析：由tan(4)1tan1tan()tan2得tan， tantan[()]

1tan31tan()tan134． 131333考点：两角和与差的正切公式． 18．【答案】 （

，

） ．

22

【解析】解：设C（a，b）．则a+b=1，①

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∵点A（2，0），点B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．

如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短． 则CF=∴a=

，②

≥ ，b=，，

， ）． ）．

，当且仅当2a=3b时，取“=”，

联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（

【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励， ∴0＜x≤8时，y=0.15x；x＞8时，y=1.2+log5（2x﹣15） ∴奖金y关于销售利润x的关系式y=

（2）由题意知1.2+log5（2x﹣15）=3.2，解得x=20． 所以，小江的销售利润是20万元．

【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．

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20．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC， ∴BD⊥AC，可知A（故

，m=2；

），

（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形， 设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则

，

由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0， 显然x1≠x0，从而

∵AE⊥AC，∴kAE•kAC=﹣1，

=

，

∴，

解得，

代入椭圆方程，知．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）∵DE2EFEC,DEFDEF ∴DEF∽CED,∴EDFC……………………2分 又∵CD//AP,∴PC, ∴EDFP．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得EDFP，又DEFPEA，∴EDF∽EPA，

EAEP，∴EAEDEFEP，又∵EAEDCEEB，∴CEEBEFEP． EFED279∵DE2EFEC,DE3,EF2，∴ EC，∵CE:BE3:2，∴BE3，解得EP.

42∴

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15．∵PA是⊙O的切线，∴PA2PBPC 415279153()，解得PA∴PA2．……………………10分 4424∴BPEPEB22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：

分数在[50，60）之间的频数为2， ∴全班人数为

．

（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3； 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，

其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是

．

．

（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得

，解得

故函数v（x）的表达式为

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得

．

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时，

当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．

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所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为

．

，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式

（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

24．【答案】

【解析】解：（1）因为不等式ax﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax﹣3x+2=0

2

2

的两个实数根，

，解得

，所以得

．

且b＞1．由根与系的关系得

2

（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0，

即x﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．

2

①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}； ②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}； ③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．

2

2

当c＜2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}； 2

当c=2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．

综上所述：当c＞2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．

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