人教版高中数学教案-任意角的三角函数

【教學目標】

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；

（2）理解任意角的三角函數不同的定義方法；

（3）瞭解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線、餘弦線、正切線表示出來； （4）掌握並能初步運用公式一；

（5）樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為引數的函數. 【教學重難點】

重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）.

難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；三角函數線的正確理解. 【教學過程】 一、【創設情境】

提問：銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示？ 借助右圖直角三角形，複習回顧.

y P（a，b） r  O M 引入：銳角三角函數就是以銳角為引數，以比值為函數值的函數。 數,你能用直角坐標系中角的終邊上點的座標來表示銳角三角函數嗎?

如圖,設銳角的頂點與原點O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那 麼它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點

y P(a,b),它與原點的距離rab0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段

22a的終邊 P(x,y) MPbMP的長度為b.則sin;

OPrOMaMPbcos; tan.

OPrOMa思考：對於確定的角，這三個比值是否會隨點

O x P在的終邊上的位置的改變而改變呢？

1

顯然，我們可以將點取在使線段OP的長r1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內的點的座標表示銳角三角函數：

sinMPOMMPbb; cosa; tan. OPOPOMa思考：上述銳角的三角函數值可以用終邊上一點的座標表示.那麼,角的概念推廣以後，我們應該如何對初中的三角函數的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節課就研究這個問題――任意角的三角函數.

二、【探究新知】

1.探究:結合上述銳角的三角函數值的求法,我們應如何求解任意角的三角函數值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然後就可以類似銳角求得該角的三角函數值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓.

2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義?

如圖,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交於點P(x,y),那麼: (1)y叫做的正弦(sine),記做sin,即siny； （2）x叫做的余弦(cossine),記做cos,即cosx； （3）

yy叫做的正切(tangent),記做tan,即tan(x0).

xx注意:當α是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當α不是銳角時，也能夠找出三角函數，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P(x,y)，從而就必然能夠最終算出三角函數值.

3.思考:如果知道角終邊上一點,而這個點不是終邊與單位圓的交點,該如何求它的三角函數值呢?

前面我們已經知道,三角函數的值與點P在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關.我們只需計算點到原點的距離rx2y2,那麼sinyxy22,cosxxy22,

tany.所以，三角函數是以為引數,以單位圓上點的座標或座標的比值為函數值的函x 2

數，又因為角的集合與實數集之間可以建立一一對應關係，故三角函數也可以看成實數為引數的函數.

4.探究:請根據任意角的三角函數定義,將正弦、余弦和正切函數的定義域填入下表；再將這三種函數的值在各個象限的符號填入表格中：

定義域 三角函數 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin cos tan

5.思考:根據三角函數的定義,終邊相同的角的同一三角函數值有和關係? 終邊相同的角的同一三角函數值相等.即有公式一:

sin(2k)sin

cos(2k)cos (其中kZ) tan(2k)tan

6.三角函數線

設任意角的頂點在原點O，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點 P(x,y)，過P作x軸的垂線，垂足為M；過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點T.

y P M y P T o A x T （Ⅱ）

A o M x （Ⅰ）

y T A x 3

y M A M

o o x P P T

（Ⅲ）

（Ⅳ）

由四個圖看出：

當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段OMx,MPy，於是有

sinyyMPyMPr1yMPATtanAT

xOMOA

cosxxxOMr1OM

我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、餘弦線、正切線。

我們把這三條與單位圓有關的有向線段MP、OM、AT,分別叫做角的正弦線、餘弦線、正切線，統稱為三角函數線.

7.例題講解

例1．已知角α的終邊經過點P(2,3)，求α的三個函數制值。 解：

P(2,3)r4913 3313

1313 sin3322tancos13 22 13130(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值. 變式訓練1：已知角的終邊過點P解：sin

y4x3y4,cos,tan. r5r5x3 例2．求下列各角的三個三角函數值：

（1）0； （2）； （3） 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0 （2）sin0,cos1,tan0

3． 2 4

331,cos022 5求的正弦、余弦和正切值. 變式訓練2：3 （3）sin

例3．已知角α的終邊過點(a,2a)(a0)，求α的三個三角函數值. 解析：計算點到原點的距離時應該討論a的正負. 變式訓練3： 求函數y解析：分四個象限討論. 答案：{2，-2，0}

例4．.利用三角函數線比較下列各組數的大小： 1.sin

三、【學習小結】

(1)本章的三角函數定義與初中時的定義有何異同? (2)你能準確判斷三角函數值在各象限內的符號嗎? (3)請寫出各三角函數的定義域；

(4)終邊相同的角的同一三角函數值有什麼關係?你在解題時會準確熟練應用公式一嗎? (5)三角函數線的做法. 四、【作業佈置】

作業：習題1.2 A組第1,2題． 五、【板書設計】

cosxcosxtanx的值域. tanx2424與sin 2.tan與tan 3535 5

1.2.1任意角的三角函數 （一）複習引入 （二） 概念形成 1.三角函數定義 2.三角函數線 （三）例題講解 小結：

6

1.21任意角的三角函數

課前預習學案

一、預習目標：

1.瞭解三角函數的兩種定義方法； 2.知道三角函數線的基本做法.

二、預習內容：

根據課本本節內容，完成預習目標，完成以下各個概念的填空.

三、提出疑惑

同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點

課內探究學案

一、學習目標

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；

（2）理解任意角的三角函數不同的定義方法；

（3）瞭解如何利用與單位圓有關的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線、餘弦線、正切線表示出來； （4）掌握並能初步運用公式一；

（5）樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為引數的函數. 二、重點、難點

重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）.

難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；三角函數線的正確理解.

三、學習過程 （一）複習：

1

、

初

中

銳

角

的

三

角

函

數

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­______________________________________________________

疑惑內容 7

2、在Rt△ABC中，設A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為_______________________________________________

（二）新課：

1．三角函數定義

在直角坐標系中，設α是一個任意角，α終邊上任意一點P（除了原點）的座標為

(x,y)，它與原點的距離為r(r|x|2|y|2x2y20)，那麼

（1）比值_______叫做α的正弦，記作_______，即________ （2）比值_______叫做α的余弦，記作_______，即_________ （3）比值_______叫做α的正切，記作_______，即_________； 2．三角函數的定義域、值域 函 數 定 義 域 值 域

ysin ycos ytan

3．三角函數的符號

由三角函數的定義，以及各象限內點的座標的符號，我們可以得知： ①正弦值

y對於第一、二象限為_____（y0,r0），對於第三、四象限為____r（y0,r0）；

②余弦值

x對於第一、四象限為_____（x0,r0），對於第二、三象限為____ry對於第一、三象限為_______（x,y同號），對於第二、四象限為______（x,yx（x0,r0）；

③正切值異號）．

4．誘導公式

由三角函數的定義，就可知道：__________________________

即有：_________________________ _________________________ _________________________

5．當角的終邊上一點P(x,y)的座標滿足_______________時，有三角函數正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數線。

設任意角的頂點在原點O，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P(x,y)過P作x軸的垂線，垂足為M；過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點T.

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y P M y P A x T （Ⅱ）

T o A o M x （Ⅰ）

y T A x y M A M o o x P P T （Ⅲ）

（Ⅳ）

由四個圖看出：

當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段OMx,MPy，於是有

sinyyxxy，MPOM_______ cosx，________ r1r1yMPATtan．AT_________

xOMOA我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、餘弦線、正切線。

（三）例題

例1．已知角α的終邊經過點P(2,3)，求α的三個函數制值。

0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值. 變式訓練1：已知角的終邊過點P

例2．求下列各角的三個三角函數值：

9

（1）0； （2）； （3）

變式訓練2：求3的正弦、余弦和正切值.

3． 25 例3．已知角α的終邊過點(a,2a)(a0)，求α的三個三角函數值。

變式訓練3： 求函數y

例4．.利用三角函數線比較下列各組數的大小： 1. sin

（四）、小結

cosxcosxtanx的值域 tanx2424與sin 2. tan與tan 3535 10

課後練習與提高

一、選擇題

1. 是第二象限角，P（x，5）為其終邊上一點，且（ ）

cos2x4，則sin的值為

1062104 A. 4 B. 4 C. 4 D.

2. 是第二象限角，且

cos2cos2，則2是（ ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

,2那麼下列各式中正確的是（ ） 3、如果4A. costansin B. sincostan

C. tansincos D. cossintan

二、填空題

4. 已知的終邊過（3a9，a2）且cos0，sin0，則的取值範圍是 。 5. 函數ysinxtanx的定義域為 。

6. sin2cos3tan4的值為 （正數，負數，0，不存在） 三、解答題

7.已知角α的終邊上一點P的座標為（3,y）（y0），且

sin2y4，求

cos和tan

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