一元二次方程提高培优

1、常用变形：

八年级数学培优卷

11x1x2， (x1x2)2(x1x2)24x1x2， x1x2x1x2

x12x22(x1x2)22x1x2，

|x1x2|(x1x2)24x1x2， x1x22x12x2x1x2(x1x2)，x2x1x12x22(x1x2)24x1x2 等 x1x2x1x2x1x22、在一元二次方程axbxc0(a0)中，有一根为0，则c ；有一根为1，则

2abc ；有一根为1，则abc ；若两根互为倒数,则c ；若两根互为相反数，则b 。

3、二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax2bxc的因式时，如果可用公式求出方程axbxc0(a0)的两个根

2x1和x2，那么ax2bxca(xx1)(xx2)．如果方程ax2bxc0(a0)无根,则此二次三项式

ax2bxc不能分解。

4、换元法 例：(xx)5(xx)60

解：令yxx 则原方程可化为：y5y60 解得：y12 y23 ①当x2x2时，求得：x11,x22 ②当x2x3时，求得：x3,422222113（原方程共有4个解） 2221、当k 时，关于x的方程kx2xx3是一元二次方程。 2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

223、关于x的一元二次方程a2xxa40的一个根为0，则a的值为 。 4、已知关于x的一元二次方程axbxc0a0的系数满足acb，则此方程

2必有一根为 。

5、已知a,b是方程x4xm0的两个根，b,c是方程y8y5m0的两个根，

22则m的值为 。

6、若9x116x2，则x的值为 。

22

7、若4xy34xy40，则4x+y的值为 。

2变式1：ab222a2b260,则a2b2 。

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。

变式3：若xxyy14，yxyx28，则x+y的值为 。

228、已知2x3xy2y0,则

222xy的值为 。 xy9、方程1999x19982000x10的较大根为r，方程

2007x22008x10的较小根为s，则s-r的值为 。

10、已知x、y为实数，求代数式xy2x4y7的最小值。

22

11、已知x2111，则x40x . 2xxx212、若t23x12x9，则t的最大值为 ，最小值为 。 13、已知x

23x1x21的值。 3x20，求代数式

x1a32a25a114、已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。

a212

15、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22x5xy6y0.

(1)(2)

⑴“碰面”； “复利率”；几何”； “最值”； “图表”类问题 注意：设未知数，列方程即可，不需求解

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放

市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少年减少

1，第三年比第二 31，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资 21金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结

3果精确到0.1，133.61）

4、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后， 甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

x2y210,xy10,(2)5.解方程(1)

xy24;xy2.

16、设x1,x2是方程2x－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

22

(1)x1x2+x1x2 11(2) －

x1x2

17、已知m、n是方程x1999x70的两个根，则(m1998m6)(n2000n8)（ ）

2222

A、1990 B、1992 C、-1992 D、1999 18、阅读下面的例题：请参照例题解方程xx110

2例：xx20

2解：（1）当x0时，原方程化为xx20

2

解得x12，x21（不合题意，舍去）

2（2）当x0时，原方程化为xx20

解得x11（不合题意，舍去），x22

原方程的根是x12，x22

219、求证：无论m取何值，方程x(m5)xm80一定有两个不同的实根

20、已知整数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx－(2m1)x＋m2＝0有有理根，求m的值及方程的根。

21、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于

245%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且x65时，y55；

x75时，y45．

（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．