阶为24的有限群的分类

第２８卷第３期　２０１１年６月　晋中学院学报　ＶｏＩ．２８　Ｎｏ．３　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｎｚｈｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎ．２０１１　阶为２４的有限群的分类　李志秀　（晋中学院数学学院，山西晋中０３０６００）　摘要：对于任意正整数　，决定ｎ阶群的所有互不同构的类型的关键是解决同构问题．　本文运用群的循环扩张理论，通过换位子计算，对阶为２４的有限群Ｇ做了完全分类．　关键词：Ｓｙｌｏｗ子群；群扩张；换位子计算　中图分类号：Ｏ１５２　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７３—１８０８（２０１１）０３—００ｌ１－０３　对于任意正整数ｎ，决定ｎ阶群的所有互不同构的类型，是有限群论最基本的问题之一．解决这一问题　的关键是解决同构问题．本文运用群的循环扩张理论，通过换位子计算，对阶为２４的有限群Ｇ做了完全分　类．　本文若无特别说明，所用的符号和概念均取自文后参考文献［１］、［２］。　下面给出本文的主要定理及证明．　定理１　设群Ｇ的阶为２４，则Ｇ为下述类型之一：　（１）Ｚ３ｘＺ２ｘＺｚｘＺ２，　（２）Ｚ３ｘＺ４ｘＺ２，　（３）Ｚ３×Ｚ８，　（４）Ｚ３×Ｄ８，　（５）Ｚ３ｘＱ８．　（６）Ｇ－－￣Ｓ４－．　（７）Ｇ＝（吗６　ｆ口　：１，ｂ２：１，　＞，　（８）Ｇ＝＜　６　ｌ　０　：１，ｂ２：ａ６．　：　）．　（９）Ｇ＝（　ｂ　Ｉ　：１，ｂ２＝１，　：　＞．　（１０）Ｇ：（吗ｂ　：１，ｂ　：　．ａ：ｎ＝ｓ）．　（１１）Ｇ：（　ｂ，ｃｌａ６：ｂ２＝ｃ２＝１ｂ：岛　：。－１，ａ，ｂｃ＝ｂ＞，　（１２）Ｇ：＜ａ，ｂ，ｃＩ　：ｂ２＝１２６，　：　：口－１，ｃ：，ｂｅ＝６），　（１３）Ｇ：（儡６，ｃｌａ６：ｂ２＝ｃ２＝１－１，　：　：０，Ｊ　：６），　（１４）Ｇ：＜ａ，ｂ，ｃＩ　：１，ｂＺ＝　３：，ｃＪ，　：　，　：ａｂ，６　：０＞．　（１５）Ｇ：（ａ，ｂ，ｃ，ｄ１　：ｂ２￣ｃ３　ｄ３　ｌ【吗６】：【吗。】，【６，　】：１，　：ｂ，６ｄ＝ｃｄ，，ｃ：口＞．　证明设群Ｇ的阶为２４，则可设Ｐ∈Ｓｙｌ：（Ｇ），Ｑ∈Ｓｙｌ，（Ｇ），下面我们分情况讨论．　情形１　ＰｑＧ，且Ｑ＜Ｇ，则Ｇ＝ＰｘＱ．由于Ｑ　ｚ，，Ｐ的阶为８，Ｐ有五种不同的类型，所以Ｇ有五种不同　［收稿日期］２０１０—０９—１５　［作者简介］李志秀（１９８２　，女，山西大宁人，晋中学院数学学院，助教，硕士，研究方向：群论　李志秀　阶为２４的有限群的分类　的类型：（１）Ｚ３ｘＺ２ｘＺ２ｘＺ２，（２）Ｚ３ｘＺ４ｘＺ２，（３）Ｚ３×Ｚ８，（４）Ｚ３ｘＤ８，（５）Ｚ３ｘＱ８．　情形２　Ｐ与Ｑ都不正规，则有：（６）Ｇ　ｓ　．　情形３　Ｑ＜Ｇ且Ｐ不正规，则可以对Ｑ用Ｎ／Ｃ定理：Ｇ／ＧＧ（Ｑ）＜￣Ａｕｔ（Ｑ）　ｚ２．当Ｇ／ＣＧ（Ｑ）＝ｌ时，Ｑ≤Ｚ（Ｇ），　故有Ｎ。（Ｑ）＝Ｃ　（Ｑ）＝Ｇ，由Ｂｕｒｎｓｉｄｅ定理可得：Ｇ有正规的Ｓｙｌｏｗ２一子群，与Ｐ不正规矛盾，所以ＩＣ。（Ｑ）Ｉ＝１２，　并且有ＣＧ（Ｑ）＝Ｑ￣Ｈ其中Ｈ为４阶子群，所以Ｃｃ（Ｑ）　ｚ，ｘｚ　，或者Ｃｃ（Ｑ）￣Ｚ　ｘＺ：故Ｇ是ｚ。：被ｚ　的扩张，　或ｚ　×ｚ　被ｚ　的扩张，下面分隋况讨论：　１）Ｇ是Ｋ＝（ａ）　ｚ，２被Ｈ＝＜ｂ）－￣Ｚ　的扩张　－－由霍尔特定理：其中Ｇ＝（０，ｂｌａ也＝ｌ，ｂ　＝　＝　＞，其中ｒ２；１（ｍｏｄ１２），ｔ（ｒ一１）０（ｍｏｄ１２），ｒ≠１（ｍｏｄ１２），解得　，＝：一１，５，一５，１２１ｔ（ｒ一１）．　当ｒ一１时，ｔ＝０，６．可得：　（７）Ｇ＝（ａ，ｂｌａ　２＝１，ｂ２＝ｌ，　＝旷　），　（８）Ｇ＝（ａ，ｂｌａ　２＝１，ｂＺ＝ａＳ，ａｂ＝ａ－　）．　在（７）中（口）外全为２阶元，（８）中（口）外全为４阶元，所以它们不同构．　当ｒ＝５时，ｔ＝３，６，９，１２．当ｔ＝６，１２时，同余式ｔ＋６ｊ－０（ｍｏｄｌ２）有解，可取适当的ｊ，令ｂｌ＝ｂｄ，则有ｂ　＝１，得　到：　（９）Ｇ＝（吗６ｌｌａ　＝１，ｂ　２＝１，ａｂ－＝　＞．　当ｔ＝３，９时，同余式ｔ＋６ｊ－－３（ｍｏｄ１２）有解，可取适当的ｊ，令ｂｌ＝ｂｄ，则有ｂ　＝　，得到：　（１０）Ｇ＝（　６１，ｌａ　２＝１，ｂ１２＿　，ａｂ　）．　当ｒ：：一５时，（　）　＝　，所以　∈Ｚ（Ｇ）．因为ａ４∈ｓｌｙ３（Ｇ），所以存在正规３一补，归到情形１中．　在（９）中（口）外有２阶和４阶元，（１０）中（０）外为８阶元，所以它们互不同构．在（７）和（８）中，ＩＧ　１＝６，而在（９）　和（１ｏ）中，ＩＧ　１＝３，所以它们互不同构．　（２）Ｇ是Ｋ＝（口）×（ｂ）￣Ｚ６ｘＺ２被Ｈ＝（ｃ）　ｚ２的扩张　Ｃ依共轭作用诱导Ｋ的２阶自同构，且３阶元ａ２∈Ｚ（Ｇ），计算可得，Ａｕｔ（Ｋ）有下列２阶自同构：　ｏｒｌ：　旷　，６—＇６；　２：　旷　，６　；　仃３：　口～ｂ，６—｝６；　Ｏ＇４＂－ｏ７－－￣ａ２ｂ．６—　０３．　令ａｌ＝ａ２ｂ，ｂ，＝　，则ａｌ，ｂ　生成　，且　嘶一　２６＾６厂　，所以ｃｒ２与０＂４给出相同的扩张　令ａｌ＝ａ２ｂ，ｂＦ　，则ａｌ，ｂ　生成Ｋ，且　对于∞得到ｃ。＝，，ｂ．　对于　Ｊ：　，６厂　，所以ｏｒ，与ｏｒ２给出相同的扩张．　．　所以只需考虑ｏｒ　和ｏｒ　因为ｃ。∈Ｋ，设ｃ２＝ｄｂｊ，故有（ｅｖ７＝ｅｖ．对于Ｏｒ　得到ｃ２＝１，ｂ，　Ｇ＝（　６，ｃｌａ６＝ｂ２＝ｃ２＝ｌ，　＝　＝ａ［＿　６　＝６＞，　Ｇ＝（吗６，ｃｌａ６＝ｂ。＝　，Ｃ　＝６，ａｂ＝ａ，ａ￣＝ａ－ｌ，ｂｃ－６），　Ｇ＝（吗６，ｃ　ｌａ６＝ｂ２＝ｌ，ｃ２－　ａｔ，＝ａ，ａＣ＝ａ－１，ｂ　６＞，　Ｇ＝（　６，ｃｌａ６＝ｂ。＝　，Ｃ。＝ｄｂ，ａｂ＝ａ，ａ￣＝ａ－　，ｂｃ＿６），　对于ｏｒＪ：　Ｇ＝（　６，ｃｌａ６＝ｂ２＝ｃ２＝ｌ，ａｂ＝ａ，ａ￣＝ａ－ｌｂ，ｂ　＝６），　Ｇ＝（　６，ｃｌａ６＝ｂ　＝Ｊ，Ｃ　＝６，　＝吗　＝　６，ｂ　＝６＞，　在第五个群中，令ｃ，：ｃ　则ｃ１２＝ｂ，　旷，６，６ｃ，．ｂ，此群同构于第六个群．　在第四个群中，令ｂｌ＝ａ￣ｂ，则６　＝Ｊ，ｃ　＝６　，与第二个群同构．　在第三个群中，令ａｌ＝ａｂ，则ａｌ６－６２－　，ｃ。＝口　，ａｌｃ＝ａｌ－ｌ￣同构于第四个群．所以我们得到　（１　１）Ｇ＝＜　６，ｃＩ　６　＝：ｃ。＝Ｊ，ａ％ａ，ａ＊＝ａ－　，ｂ　＝６），　・１２．　李志秀　阶为２４的有限群的分类　（１ｅ）Ｇ＝＜ｏ，ｂ，Ｉ：ｌａ％ｂ２＝１，ｃ　６，ａｅ＝ａ，ａＹ＝ａ－　ｂ，ｂ　６），　（１３）Ｇ＝（ａ，ｂ，・ｄａ６＝．ｂ。－Ｃ　＝１，ａ￣＝ａ，ａＣ＝ａ－　ｂ，ｂ　６），　在（１１）中，Ｓｙｌｏｗ２一子群为　，０２）中Ｓｙｌｏｗ２～子群为Ｚ４￣Ｚｅ，（１３）中Ｓｙｌｏｗ２一子群为Ｄ。，所以它们互不同构．　情形４　Ｐ＜３Ｇ且Ｑ不正规，则Ｇ＝ＰＱ且Ｇ是Ｐ与Ｑ的半直积．ＩＰｌ＝８，所以Ｇ是８阶群Ｐ被Ｑ＝（ｃ）　ｚ，　的扩张，ｃ依共轭作用诱导Ｐ的３阶自同构，所以Ｐ＝Ｚ２３，或Ｐ＝Ｑ。．　当Ｐ＝Ｑ　时，Ａｕｔ（Ｑｓ）￣Ｓ　，取ｏｒ∈　－所以　与ｃｒ２得到同构的群　Ｇ＝（吗６，ｃｌａ４＝１，ｂ２＝ｄ，ｃ　，ａ￣＝ａ４，ａｃ＝ａｂ，ｂ　＝口＞，　因为　的Ｓｙｌｏｗ３一子群均为３阶且是共轭的，所以不同的Ｓｙｌｏｗ３一子群给出同构的群，我们得到：　ｆ１４）Ｃ＝（ａ，ｂ，ｃｌａ％ｌ，ｂ２＝ａ￣，ｃＳ＝ｌ，ａｂ＝ａ－ｌ，ａＣ＝ａｂ，ｂｅ＝ａ），　当Ｐ＝Ｚ２３时，Ａｕｔ（　）　Ｇ　（３，２）取ｏｒ∈ＧＬ（３，２），Ｍ＝Ｉ，有　叮：　ｂ　—　ｃ　ｃ—’％　：旷　ｃ’ｂ—　％ｃ—　．　＝　．则　：口　口Ｉｂ｜，ｂ　＆【．　：旷＋Ⅱｂ，ｂ＿÷％ｃｒ２：（广＋ｂ＇ｂ　ａｂ．令ａｊ＝ｂ，ｂ　ｌ：呜　可以得到　Ｇ＝（　６，ｃ，ｄｌａｅ＝ｂ　＝：ｃ　＝３３３１，［吗６】＝［　ｃ】＝［６，ｃ】＝＿７，　６，ｂｄ＝ｃ，Ｃ　＝口），　Ｇ＝（吗６，Ｃ，ｄｌａ２＝ｂ　－－Ｃ　ｄ　，，［吗６】：【　ｃ】＝【６，ｃ］＝』，ａｄ＝ｃ，ｂ　＝ｎ，ｃ　＝６），　在第二个群中令ｄ产ｄ　，则与第一个群同构，由于ＧＬ（３，２）的Ｓｙｌｏｗ３一子群为３阶且是共轭的，所以不同的　Ｓｙｌｏｗ３一子群给出同构的群，我们得到：　（１５）Ｃ＝（ａ，ｂ，Ｃ，ｄｌａＺ＝ｂ。＝：ｃ。＝ｄ３＝ｌ，　６】＝　ｃ】：　ｃ］＝』，ａｄ＝ｂ，６ｄ＿ｃ，ｃｄ＝ａ＞，　参考文献　［１］徐明曜．有限群导引：上册［Ｍ］．第二版．北京：科学出版社，２００７．　［２］徐明曜．有限群导引：下册．［Ｍ］．北京：科学出版｝土，１９９９．　［３］［德］贝・胡佩特．有限群论：中译本第一分册［Ｍ］．福州：福建人民出版社，１９９２　［４］闵嗣鹤，严士健．初等数论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　Ａ　Ｃｌａｓｓｉｉｃａｔｆｉｏｎ　ｏｆ　ＦｉＩｌｉｔｅ　Ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　Ｏｒｄｅｒ　２４　ＬＩ　ＺｌＩｉ—ｘｉｕ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｎｚｈｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｚｈｏｎｇ　０３０６００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐ　ｔｈｅｏｒｙ　ｉｓ　ｔｏ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ａｌｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ｆｉｎｉｔｅ　ｏｒｄｅｒ．Ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｄｉｉｃｕｌｔｆｙ　ｏｆ　ｃｌａｓｓｉｆｙｉｎｇ　ｓｕｃｈ　ｇｒｏｕｐｓ　ｉｓ　ｈｏｗ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｕｔｅｒｓ，ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｇａｖｅ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　２４．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｙｌｏｗ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ；ｇｒｏｕｐ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ；Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｕｔｅｒｓ　（编辑郭继荣）　・１３・