自动化车床管理的数学模型

1问题重述

1.1需要解决的问题

一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附录表一。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。 问题：假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

2模型的假设及符号说明

2.1模型的假设

假设1：假设在生产任一零件时出现故障的机会均相等。假设3：假设生产任一零件时所需的时间相同。假设4：假设提供的刀具故障记录数据是同分布的.假设5：假设提供的刀具故障记录数据是同分布的。2.2符号说明

符号μσTcTT(c)f(x)

说明刀具平均寿命样本方差

检查零件的单位时间间隔定期换刀的单位时间间隔

以检测时间间隔为Tc时，系统工序合格零件的单位期望损失系统的失效概率密度

F(x)累积失效概率密度，即寿命分布函数

3问题分析

在自动化车床生产流程中，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障，工序故障的出现是完全随机的。工作人员通过检验零件来确定是否出现故障，并且决定在刀具加工一定的零件后更换刀具。当发生故障时要及时维修，如果检修周期太长，故障不能及时发现，会给生产带来损失；检查周期太短又会增加费用。在理论上我们首先将问题转化为概率模型。通过分析题目所给的100次刀具故障记录，我们通过绘图分析假设刀具的寿命服从正态分布。再通过假设检验，我们决定接受这一假设。

问题中我们建立离散型随机事件模型I。我们选择一个周期T。目标函数

总要求目标函数取最小值的情况下求解检查间T=C系统工序产生的合格零件数系统工序的期望总损失U隔和道具更换策略。U总分为两种情况：故障发生在换刀之前与故障发生在换刀之后。我们分别求解这两种情况。

4数据处理及分析

4.1刀具故障完成零件个数的数据统计分析

我们将刀具寿命统计数据绘图如下，再通过分布拟合检验法可以证明刀具故障

数据近似服从正态分布。(编程见附录二)

1815个个个个个个个个个个个个105001002003004005006007008009001,00011001,200个个个4.1.2正态分布拟合度检验：

函数 lillietest

H = lillietest(X) 表示对输入向量X进行Lilliefors测试，显著性水平为0.05。H = lillietest(X,alpha) 0.2之间。

[H,P,LSTAT,CV] = lillietest(X,alpha)

P为接受假设的概率值，P越接近于0，则越应该拒

表示在水平alpha而非5%下施行Lilliefors测试，alpha在0.01和

绝正态分布的原假设；LSTAT为测试统计量的值，CV为是否拒绝原假设的临界值。说明: H为测试结果，若H=0，则可以认为X是服从正态分布的；若H=1，则可以否定X服从正态分布。

运用matlab计算可得(见附录一)

h = 0 p = 0.5000

cv = 0.00

h=0表示接受正态分布的假设；p=0.5000表示服从正态分布的概率很大；统计

量的值l=0.421小于接受假设的临界值cv=0.00，因而接受假设(测试水平为0.05)

通过以上4个指标，可以得出结论：样本中所给的数据与正态分布函数拟合得很好，我们接受这一假设。

l = 0.0421

4.1.3概率密度函数求解

(x)222,x\\* MERGEFORMAT (1.1)

f(x)12enxixi1600ns绘制正态分布函数图象如下

2.221.81.61.41.210.80.60.40.2200300400500x 10-3n(xix)196.6296n1i116007008009001000则累计失效概率密度函数(寿命分布函数)为：

2tF(x)FN(x,,x)0f(x)dx5问题的解答

5.1模型I的建立5.1.1确定目标函数

以合格零件单位期望为目标函数的目标函数：

总Tc=系统工序产生的合格零件数5.1.2问题的求解

系统工序的期望总损失UI如果故障发生在换刀之后：

换刀间隔T尚未出现故障时一次更新所消耗费用S1：

(1)检查费用：检查费用等于检查的次数乘以单次检查所需的费用，即g1t一次换刀前未出现故障的过程的检查次数，等于固定换刀间隔T除以检查周期Tc所得的整数部分(2)换刀费用：k(3)不合格零件损失费用：0

S1=g1t+k+0其中g1=[TTC]换刀前未出现故障的情况下总的损失费用为U1:

换刀间隔T前尚未出现故障发生这种情况时的更新间隔均为T出现的次数等于刀具更新的总次数乘以以T为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率，即N[1-F(T)],因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失U1等于这种情况下的刀具更新次数N[1-F(T)]乘以单位更新过程的损失费用S1即有：

U1=N[1-F(T)]S1所以：

U1=N[1-F(T)][g1t+k+0]II如果故障发生在换刀之前更新过程所消耗的费用S2

(1)发生故障时的维修换刀费用：d

(2)故障维修前所有的损失费用：由于故障发生的随机性，因此可以发生在T内的任何位置因此这部分的损失费用等于对于周期T内任意点x处发生故障所

造成的损失与在x处可能发生故障的概率的乘积进行积分的结果，即

其中

T0Wf(x)dxxF(T)f(x)表示在一个换刀周期T内任意的x处发生故障概率。F(T)任意位置发生故障的损失费Wx=检查费用+零件损失费

a检查费用等于检查次数乘以单次检查费用，即[g+1]t (g2为发生故障x前的

2检查次数，等于x/Tc所得的整数部分)

b零件损失费用等于从发生故障到维修检查之间产生的不合格零件数乘以单个零件的损失费用，即[Tc-H]f (H为发生故障的检查间隔内产生的合格零件数，即发生故障前的所有合格零件数除以检查间隔所得的余数)所以

f(x)TS2=0[g2+1]t+[Tc-H]fdx+dF(T)换刀前已出现故障的情况下的损失总费用U2：

定期换刀前出现故障的情况下的总损失U2等于这种情况下的刀具更新次数

N*F(T)乘以单位更新过程的损失费用S2,即：U2NF(t)S2U2Tf(x)=NF(T)0[g2+1]t+[Tc-H]fdx+dF(T)换刀间隔T前就出现故障这时在故障发生后进行检查并进行维修换刀，从而完成一个更新过程这种情况下总的发生次数等于总的更换次数乘以系统中发生这种情况的概率，即N*F(T) ，F(T)是为以T为更新周期的情况下工序出现

t故障的概率，即为前面的数据处理中的累计失效概率密度函数F(t)=f(x)dx，

0当t=T情况下F(T)的结果。

总损失费用U总：

U总=U1+U2合格零件总数：

Txf(x)dxN[1-F(T)]T+NF(T)0F(T)

系统工序合格零件的单位期望损失：

U1+U2N[1F(T)]TNF(T)TC=T0xf(x)F(T)dx5.1.3综上所述，我们对问题(1)建立离散型随机事件模型目标函数：

T=CU1+U2Tf(x)N[1F(T)]TNF(T)0xdxF(T)U1N[1F(T)][g1tk0]f(x)UNF(T)T[g1]t[TH]fdxdF(T)02c2tF(t)f(x)dx0(x)212e2,xf(x)2Tg[1T]取整cxg[2T]取整c 其中N表示：N次更新过程(每次换刀或维修换刀为一次更新过程)。

5.1.4问题的求解结果及分析运用matlab求解得失期望Tc每隔18个零件就该检查一次，每隔368个零件换一次刀具。合格零件的平均损

5.17结果分析：

我们知道刀具的平均寿命为600.即每平均生产600个零件刀具就不能再使用。368<600这是合理的，刀具在寿命末端生产不合格品的概率大大提高，我们在刀具寿命之前换刀。这样可以大大减少不合格零件。而检查费用较少，检查因而要密集些。

参考文献

[1]《现代质量管理统计方法 现代质量管理统计方法组编 学术期刊出本社1988.

[2]《概率论与数理统计》浙江大学 谢式千 主编高等教育出版社1979年3月

版

[3]《数学建模导论》 陈理荣 主编 北京邮电大学出版社1999年版 [4]《数学建模简明教材》 张兴永编著 中国矿业大学出版社[5]《数学分析（第三版）》 华东师大数学系编 高等教育出版社[6]《数学建模方法及其应用》 韩中庚编著

高等教育出版社

[7]《数学建模案例精选》 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003.

附录一

表 一:100次刀具故障记录(完成的零件数)

4596129265277754026994476217

362452653552859960634654724558

62443415137558855555531378

5429824877819610570339512765

509073447469729284280577666

5847426083885158374162496763

433565428824628473606687468217

748706115353546771062539499715

815593593862771358484790544310

5056808446596096381205815851

用matlab求解期望μ和方差σ并进行拟合和假设检验clear

>> a=[4593626245425095844337488155056124524349820742565

70659368092665314877346084281153

593844527552513781

484

4743888245388626597758597559697515625477160940296088561029283747367735863869963455557084416606106212044765453392802466875397905816217245315125774968

49954457558378765666763217715310851]; u=sum(a)/100 %求期望值

>> b=[600600600600600600600600600600600600600600600600600

600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600

附录二

600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600600]; sum((a-b).*(a-b))/(100-1)

o=sqrt(sum((a-b).*(a-b))/(100-1)) %求标准差

[h,p,l,cv]=lillietest(a) %拟合度测试

绘制正态分布函数图象clear

x=[200:0.1:1000];

f=exp(-(x-600).^2./(2*(196.6292^2))).*(1/(sqrt(2*pi)*196.6296)); plot(x,f,'+r')

问题的程序

syms x Ta0=100;for T=368:402 for Tc=15:19 g1=ceil(T/Tc); g2=11;%ceil(x/Tc);

f=exp(-(x-600).^2./(2*(196.6292^2)))*(1/(sqrt(2*pi)*196.6296)); F=int(f,'x','0','T');F=subs(F);

h=rem(F,Tc);k1=int(10*(g2+1).*f./F,'x','0','T')+int(200*(Tc-

h).*f./F,'x','0','T');

f1=(10*g1+1000).*(1-F)+F*(3000+subs(k1,T)); a=taylor(x.*f/F,x,0,6);

f2=(1-F)*T+F*int(a,'x','0','T');f2=subs(f2,T); Ta=f1/f2; Ta=simplify(Ta); if (Ta;Tc1