新人教版九年级上册数学[待定系数法求二次函数的解析式—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册初中数学

重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；

2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】

要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

(1)一般式：yaxbxc(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：ya(xh)k(a，h，k为常数，a≠0)；

(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如yaxbxc或ya(xh)k，

或ya(xx1)(xx2)，其中a≠0；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为yaxbxc；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为ya(xh)k；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为ya(xx1)(xx2)．

【典型例题】

222222类型一、用待定系数法求二次函数解析式

1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.

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【答案与解析】

本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax+bx+c(a≠0)，由题意得：

2

abc9a1解得abc3b3 c59a3bc5∴所求的二次函数的解析式为y=-x+3x-5.

2

【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax+bx+c (a≠0). 举一反三：

【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例1】

【变式】（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．

【答案与解析】

2

解：设二次函数的解析式为y=ax+bx+c，

把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得

2

解得，

2

∴抛物线解析式为y=2x+x； ∴抛物线的对称轴x=﹣

=﹣

=﹣．

2．（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

【答案与解析】

解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），

2

设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a﹣2=3，即a=5，

∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：

【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例2】

2

，4)，且过点B(3，0). 【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平

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移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.

【答案】（1）yx2x3．

2（2）令y0，得x2x30，解方程，得x13，x21．

2∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(1，0)． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4，0).

3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是 ．当x

时，y＞0．

【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值．

2

【答案】y=x﹣4x+3．x＜1，或x＞3 【解析】

解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a（0﹣1）（0﹣3）， 解得a=1．

2

故函数表达式为y=x﹣4x+3．

由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．

【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 类型二、用待定系数法解题

4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．

(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【答案与解析】

(1)设抛物线解析式为ya(x2)(x4)(a≠0)，将(3，5)代入得5a(32)∴ a1．

∴ y(x2)(x4)．

(34)，

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即yx2x8．

(2)由(1)知C(0，8)， ∴ S△ABC21(42)824． 2【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．

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