圆的知识点

《圆》的知识点

一、有关概念：圆、弦、弦心距、弧、优弧、劣弧、圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆的切

线、三角形的外心、内心

二、位置关系：

1、点与圆的位置关系：

OP>R 点P在圆O外； OP=R 点P在圆O上； OPd>R 直线与圆相离 直线与圆无交点 d＝R 直线与圆相切 直线与圆有一个交点

dd=R+r 圆与圆外切 ； d=R-r 圆与圆内切；d>R+r 圆与圆外离 d其中d是两个圆心之间的距离（即圆心距）

从交点个数判断：

无交点 外离或内含 ；一个交点 外切或内切 ；两个交点 相交 三、本章主要定理： 1、垂经定理及其推论：

若一条直线满足以下五条中的任意两条：（1）过圆心（2）垂直弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧， 则这条直线一定满足其它三条 （知二推三） 注：由（1）（3） （2）（4）（5）时，弦不能是直径 2、关系定理：

在同圆或等圆中，（1）两个圆心角（2）两个圆周角（3）两条弦（4）两条弦心距（5）两条弧；以上五组量中，只要有一组量相等，则其它四组量也分别相等 （注：这个定理是计算或证明圆中有关线段、 角相等的重要定理） 3、圆心角、圆周角、弧的度数定理：

在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

4、直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 5、圆内接四边形定理及其推论：

圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角 6、平行弦定理：平行弦所夹的弧相等（逆定理也成立） 7、切线的性质定理：

若一条直线满足以下三条中的任意两条：（1）过圆心（2）过切点（3）垂直切线， 则这条直线一定满足另外一条。 （ 即：知二推一） 8、切线的判定方法： （1）定义：

与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线

（2）d=R 直线是圆的切线 （d是圆心到直线的距离） 注：这种方法一般在不知切点时运用。

方法是：过圆心做直线的垂线段，证明垂线段等于半径 （3）判定定理：

经过半径外端且垂直半径的直线是圆的切线

ADP注：这种方法一般在已知切点时运用 A方法是：连接圆心与切点，证明直线与半径垂直

OCO9、弦切角定理：

（弦切角：圆的切线与过切点的弦组成的角）

BB弦切角等于它所夹弧所对的圆周角

B如图，AD是圆O的切线，A是切点，则∠DAC=∠ABC AO10、切线长定理：

C从圆外引圆的两条切线，切线长相等

D如图，PA与PB都是圆O 的切线，A、B是切点，则PA=PB

11、割线定理： A 如图，PAB、PCD都是圆O的割线，则有 PA·PB=PC·PD

O12、切割线定理：

如图，PA是圆O的切线，PBC是圆O的割线，则有PAPBPC

2PPBC13、相交弦定理：

A 如图，AB、CD是圆O的两条相交弦，则有PA·PB=PC·PD O四、有关计算： Pn 1、弧长公式： L R

B180C

其中n是弧对的圆心角，R是弧所在圆的半径

n 2 12、扇形的面积公式: SRLR 3602其中n是扇形的圆心角，R是扇形的半径，L是扇形的弧长 3、圆锥的侧面积：

圆锥的侧面积等于它的展开扇形的面积。S侧 =∏r l

其中r是圆锥底面半径，l是圆锥的母线长 （圆锥的母线就是展开扇形的半径）

nl2r注：圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长。即：

180（这个公式是解决有关圆锥侧面积的重要公式，必须熟练掌握。n、r、l三个量中，已知其中两个，就可以求出另外一个。即：知二求一） 五、几个重要结论：

1、确定圆的条件： （1）圆心与半径 （2）不在同一直线上的三点 2、三角形的外心、内心：

外心：三角形三条边中垂线的交点 （外心的性质：外心到三个顶点的距离相等） 内心：三角形三条内角平分线的交点 （内心的性质：内心到三条边的距离相等）

注：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心 在斜边的中点，钝角三角形的外心在外部。

所有三角形的内心都在三角形的内部

3、若直角边为a、b，斜边为c的直角三角形的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r,

cabcA则 R= r=

122O4、如图，三角形的内心为O, 则∠BOC=90°+ AC2B

1A 若P为两个外角平分线的交点，则∠BPC=90°- 

D2

P