印台区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

印台区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），

22

则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a|﹣a，且

函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（ ） A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤ C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2

2． 已知函数f(x)2alnxx22x（aR）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ） A．

11 B． C． D． 423． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（ ）

A．0° B．45° C．60° D．90°

4． 抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），若线段AF的中点B在抛物线上，则|BF|=（ ） A．

B．

C．

D．

5． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）

A． B． C． D．

6． 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ） A．﹣2 B．2

7． 曲线y=

C．﹣98 D．98

在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）

A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1

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8． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（ ）

A．2 B． C． D．3

=（ ）

9． 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则A．2

B．4

C．

D．

10．复数z=A．第一象限

在复平面上对应的点位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

11．已知e为自然对数的底数，若对任意的x[,1]，总存在唯一的y[1,1]，使得lnxx1ay2ey 成立，则实数a的取值范围是（ ）

A.[,e] B.(,e] C.(,) D.(,e)

【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．

12．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）

1e1e2e2e2e1e二、填空题

13．在复平面内，复数小值为 ．

15．已知直线l的参数方程是

（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到

与

对应的点关于虚轴对称，且

，则

____．

14．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最

直线l的距离为4的点个数有 个．

16．函数f(x)（xR）满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30，则不等式

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f(log3x)3log3x1的解集为 .

【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.

17．已知数列{an}中，a11，函数f(x)23an2xx3an1x4在x1处取得极值，则 32an_________.

18．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题

19．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金． （1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；

（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

20．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

2

（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e]上有两解，求实数m的取值范围；

（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+

．

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21．在等比数列{an}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．

22．（本题满分15分）

如图AB是圆O的直径，C是弧AB上一点，VC垂直圆O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点. （1）求证：DE平面VBC；

（2）若VCCA6，圆O的半径为5，求BE与平面BCD所成角的正弦值.

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

23．已知椭圆

点，且椭圆的离心率为

．

的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一

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（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（本小题满分16分）

在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量hx（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式hxfxgx（3x7，m为常数），其中fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求hx的表达式；

（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

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印台区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】 B

【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数， 当x≥0时， f（x）=|x﹣a2|﹣a2=

图象如图，

2

∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a，要满足f（x+l）≥f（x），

1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），

22

∴1≥3a﹣（﹣a），

∴﹣≤a≤ 故选B

【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．

2． 【答案】A 【解析】

2x22x2a2试题分析：由题意知函数定义域为(0,)，f(x)，因为函数f(x)2alnxx2xx'2（aR）在定义域上为单调递增函数f(x)0在定义域上恒成立，转化为h(x)2x2x2a在(0,)恒

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成立，0,a1，故选A. 1 4

考点：导数与函数的单调性． 3． 【答案】C

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

4． 【答案】D

【解析】解：依题意可知F坐标为（，0） ∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得∴抛物线准线方程为x=﹣

，

=．

， =1，解得p=

，

所以点B到抛物线准线的距离为则B到该抛物线焦点的距离为故选D．

5． 【答案】C

【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．

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故答案为：C 6． 【答案】A

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

2

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×1=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

7． 【答案】D

【解析】解：y′=（∴k=y′|x=1=﹣2．

l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1． 故选：D

8． 【答案】C

解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面． 则体积为故选：C． 9． 【答案】C

【解析】解：由于q=2， ∴∴

故选：C．

10．【答案】A

【解析】解：∵z=

；

=，解得x=． ）′=

，

=

=+i，

∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．

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故选A．

【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．

11．【答案】B 【

解

析】

12．【答案】C

【解析】解：∵f（x）=﹣log2x， ∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0， 满足f（2）f（4）＜0，

∴f（x）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C

二、填空题

13．【答案】-2

【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：

所以 故答案为：-2 14．【答案】 4+ ．

【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=

，

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球O的半径为3，球O1 的半径为1， 则∴

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+故答案为：4+

．

．

，

，

=

，

在Rt△OMO1中，OO1=4，

【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

15．【答案】 2

【解析】解：由

，消去t得：2x﹣y+5=0，

222

由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ=8ρcosθ+6ρsinθ，即x+y=8x+6y，

22

化为标准式得（x﹣4）+（y﹣3）=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．

又圆心到直线l的距离是

故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个， 故答案为：2．

，

【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．

16．【答案】(0,3)

【解析】构造函数F(x)f(x)3x，则F'(x)f'(x)30，说明F(x)在R上是增函数，且

F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(l3ox)g3lo3xg1，即

F(l3ox)gF(1)，∴log3x1，解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3).

17．【答案】23【解析】

n11

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考

点：1、利用导数求函数极值；2、根据数列的递推公式求通项公式.

【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，形如anqan1p(p0,q1)的递推数列求通项往往用构造法，利用待定系数法构造成anmq(an1m)的形式，再根据等比数例求出anm的通项，进而得出an的通项公式. 18．【答案】 {a|

2

或} ．

【解析】解：∵二次函数f（x）=x﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a﹣，

f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧， ∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或 a≤， 故答案为：{a|a≥，或 a≤}．

【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．

三、解答题

19．【答案】

3

【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C10=120，

奖金的可能取值是0，30，60，240， ∴一等奖的概率P（ξ=240）=P（ξ=60）=P（ξ=30）=P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξ

0 ξ 30

，

60 240 ，

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P ∴E ξ=

=20

（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互的 ∴中奖次数η～B（4，∴Dη=4×

）

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．

20．【答案】

【解析】解：（1）

．

因为x=2是函数f（x）的极值点， 所以a=2，则f（x）=

，

则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0； （2）当a=1时，

2

，其中x∈[，e]，

2

当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e]时，f'（x）＞0，

2

∴x=1是f（x）在[，e]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．

又，，

综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}； （3）

若a=1时，由（2）知f（x）=当n＞1时，令x=

等价于

，

在[1，+∞）上为增函数，

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，

即，∴．

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故即即

21．【答案】

【解析】解：由已知可得方程组

=， ．

，

，

第二式除以第一式得

2

整理可得q+4q+4=0，解得q=﹣2．

3146. 146【解析】（1）∵D，E分别为VA，VC的中点，∴DE//AC，…………2分

22．【答案】（1）详见解析；（2）

∵AB为圆O的直径，∴ACBC，…………4分 又∵VC圆O，∴VCAC，…………6分 ∴DEBC，DEVC，又∵VCBCC，∴DE面VBC；…………7分

11（2）设点E平面BCD的距离为d，由VDBCEVEBCD得DESBCEdSBCD，解得

3332，…………12分 设BE与平面BCD所成角为，∵BCAB2AC28， d2d3146.…………15分 BEBC2CE273，则sinBE14623．【答案】

【解析】解：（1）∵椭圆

P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为∴

=

，解得

．…

，

，

的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），

∴椭圆C的方程为

（2）①当l1，l2的斜率存在时，设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n）

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，

222222

△=0，m=1+2k，同理n=1+2km=n，m=﹣n，

设存在，

222222222

又m=1+2k，则|k（2﹣t）+1|=1+k，k（1﹣t）=0或k（t﹣3）=2（不恒成立，舍去） 2

∴t﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），

②当l1，l2的斜率不存在时，

点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1． 综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…

24．【答案】（1） hx

101324x7 （3x7）（2） x4.3 x33试

题解析：（1） 因为fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比， 所以可设：fx则hxfxgxk12 ，gxk2x7，.k10，k20，x3k12k2x7则 ………………………………………2分 x3因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 k14k221k1102所以，h521,h3.569，即，解得：， ……………6分

k44922kk691241024x7 （3x7） ………………………………………8分 所以，hxx3第 14 页，共 15 页

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（2） 由（1）可知，套题每日的销售量hx1024x7， x3

答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值

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