2004年高考数学试题——全国卷I.理科

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

参考公式： 如果事件A、B互斥，那么

球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B） S=4R2

如果事件A、B相互，那么

其中R表示球的半P（A·B）=P（A）·P（B） 径，

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 球的体积公式

n次重复试验中恰好发生k次的概率

V=4

R3

P3

，

n(k)=Ckk(1－P)n－knP

其中R表示球的半径

一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60 1．(1i)2i （

A．2－2i

B．2+2i

C．－2

D．2 2．已知函数f(x)lg1x1x.若f(a)b.则f(a) （

A．b

B．－b C．1D．－

1b

b 3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=

（

A．7

B．10

C．13 D．4 4．函数yx11(x1)的反函数是

（ A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)

C．y=x2－2x (x<1)

D．y=x2－2x (x≥1) 5．(2x317x)的展开式中常数项是

（

A．14

B．－14

C．42

D．－42 ）

）

）

）

）

6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是 ．．

A．(CIA)∪B=I C．A∩(CIB)=

B．(CIA)∪(CIB)=I D．(CIA)(CIB)= CIB

（ ）

x2y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交7．椭圆4点为P，则|PF2|=

A．

（ ）

3 2B．3

C．

7 2D．4

8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

A．[－

C．[－1，1]

D．[－4，4]

（ ） （ ）

11，] 22B．[－2，2]

9．为了得到函数ysin(2x

A．向右平移

6)的图象，可以将函数ycos2x的图象

个单位长度 6C．向左平移个单位长度

6T等于 S4B．

9个单位长度 3D．向左平移个单位长度

3B．向右平移

10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH

的表面积为T，则

A．

C．

（ ）

1 91 4D．

1 3（ ）

11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位

数字之和等于9的概率为

A．

2 C．

2

13 125222B．

16 125218 125D．

19 125（ ）

12．ab1,bc2,ca2,则abbcca的最小值为

2

A．3－

1 2B．

1－3 2C．－

1－3 2D．

1+3 2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x+2|≥|x|的解集是 .

14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P

的轨迹方程为 .

15．已知数列{an}，满足a11,ana12a23a3 an(n1)an1(n≥2)，则{an}的通项

n11

___n216．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .

①两条平行直线 ③同一条直线

②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

sin4xcos4xsin2xcos2x求函数f(x)的最小正周期、最大值和最小值.

2sin2x

18．（本小题满分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）

已知aR,求函数f(x)xe的单调区间. 20．（本小题满分12分）

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2ax如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

x22设双曲线C：2y1(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点A、B.

a（I）求双曲线C的离心率e的取值范围： （II）设直线l与y轴的交点为P，且PA 22．（本小题满分14分）

已知数列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5；

（II）求{ an}的通项公式.

5PB.求a的值. 122004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）

(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)

4

参

一、选择题

DBCBABCCBADB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x|x≥－1} 14．x2+y2=4 15．

n! 16．①②④ 2三、解答题

17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.

(sin2xcos2x)2sin2xcos2x解：f(x)

22sinxcosx1sin2xcos2x2(1sinxcosx)1 (1sinxcosx)

211sin2x42所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是

31，最小值是. 4418．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问

题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.

P(ξ=1)=C2 ×0.52×0.62+C2 ×0.52×0.4×0.6=0.3

22 P(ξ=2)= C2 ×0.52×0.62+C2C2×0.52×0.4×0.6+C2 ×0.52×0.42=0.37. 22 P(ξ=3)= C2C2×0.52×0.4×0.6+C2C2×0.52×0.42=0.2

111111 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

ξ P 0 0.09 1 0.3 2 0.37 3 0.2 4 0.04 所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数

学思想.满分12分. 解：函数f(x)的导数：

f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.

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（I）当a=0时，若x<0，则f(x)<0，若x>0,则f(x)>0.

所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II）当a0时，由2xax0，解得x 由2xax0，解得222或x0， a2x0. a所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0－

22）内为增函数，在区间（－，0）内为aa2, a2. a2）内为增函a所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－数，在区间（－

2，+∞）内为减函数. a20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、

运算能力.满分12分.

（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点

E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=3

∴PO=PE·sin60°=333， 22即点P到平面ABCD的距离为

3. 2（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

333333P(0,0,),B(0,,0)，PB中点G的坐标为(0,,).连结AG.

2244 6

又知A(1,333,0),C(2,,0).由此得到： 22GA(1,33,),44 333PB(0,,),BC(2,0,0).22于是有GAPB0,BCPB0 所以GAPBBCPB.GA,BC的夹角 为

等于所求二面角的平面角， 于是cos

GABC27,

7|GA||BC|27 . 7所以所求二面角的大小为arccos解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=

1BC. 2∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=3. 2

1在Rt△PEG中，EG=AD=1.

2于是tan∠GAE=

3EG=, AE2又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小为π－arctan

3. 221．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想

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和综合解题能力.满分12分. 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

x222y1, axy1.有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①

21a0.所以4 224a8a(1a)0.解得0a2且a1.

双曲线的离心率

1a21e1. 2aa0a2且a1, e6且e2 26,2)(2,). 2即离心率e的取值范围为(（II）设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1)

PA5PB,125(x2,y21).12

(x1,y11)由此得x15x2. 12由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

172a2x2. 所以121a2 8

522a2x2. 121a22a22消去x2，得 21a60由a0，所以a17 13

22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推

理能力.满分14分. 解：（I）a2=a1+(－1)1=0,

1

a3=a2+3=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k

kk

= a2k－1+(－1)+3,

kk

所以a2k+1－a2k－1=3+(－1),

－－

同理a2k－1－a2k－3=3k1+(－1)k1, ……

a3－a1=3+(－1).

所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)

－－

=(3k+3k1+…+3)+[(－1)k+(－1)k1+…+(－1)], 由此得a2k+1－a1=

3k1(3－1)+[(－1)k－1], 223k11(1)k1. 于是a2k+1=22k3k11k－1k3(－1)－1+(－1)=(－1)k=1. a2k= a2k－1+(－1)=

2222k

{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an=3n122n2(1)n1211; 2 当n为偶数时，an3(1)211.

22

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