电磁感应中的四类综合问题
电磁感应中的电路问题 1.分析思路 在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，若回路闭合，则产生感应电流，感应电流将引起热效应等，所以电磁感应问题常与电路知识综合考查，解决该类问题的基本方法是：
2．回路中电荷量的求解
电磁感应现象中通过闭合电路某截面的电荷量q＝IΔt，而I＝
－
－
－
EΔΦ
＝n，则q＝RΔtRnΔΦ
R，所以q只和线圈匝数、磁通量变化量及总电阻有关，与完成该过程需要的时间无关。
[特别提醒]
(1)求解电路问题首先要找出电源，确定内、外电路，解题时考虑是否能忽略内阻。 (2)求解电路中电荷量时，一定要用平均电动势和平均电流计算。
[例1] 如图1，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中。一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
图1
A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大 C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 [思路点拨]
[解析] 设PQ左侧金属线框的电阻为r，则右侧电阻为3R－r；PQ相当于电源，其电
3R23R2－r－＋22rR－r3R3
阻为R，则电路的外电阻为R外＝＝，当r＝时，R外max＝R，
r＋R－r3R24
此时PQ处于矩形线框的中心位置，即PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中外电阻先增大后减小。PQ中的电流为干路电流I＝
ER外＋R内
，可知干路电流先减小后增大，选项A错误。PQ两
端的电压为路端电压U＝E－U内，因E＝Blv不变，U内＝IR先减小后增大，所以路端电压先增大后减小，选项B错误。拉力的功率大小等于安培力的功率大小，P＝F安v＝BIlv，可知因干路电流先减小后增大，PQ上拉力的功率也先减小后增大，选项C正确。线框消耗的电3
功率即为外电阻消耗的功率，因外电阻最大值为R，小于内阻R；根据电源的输出功率与外
4电阻大小的变化关系，外电阻越接近内阻时，输出功率越大，可知线框消耗的电功率先增大后减小，选项D错误。
[答案] C
电磁感应中的图像问题 电磁感应的很多问题与图像相结合，如B t、Φ t、Et和I t图像等。
常见的两种题型：一种是已知图像，根据物理规律求解相应的物理量， 这类问题是根据图像所提供的信息，建立物理模型、分析物理情景和物理过程，找出所遵循的物理规律来求解，基本方法如下：
另一种是根据所提供的物理情景作出相应的图像，解决这类问题的方法是根据物理情景和物理过程，分析所遵循的规律，通过规律求解所要表达的物理量，画图像的基本方法如下：
[例2] 如图2(a)，线圈ab、cd绕在同一软铁芯上，在ab线圈中通以变化的电流，用
示波器测得线圈cd间电压如图(b)所示，已知线圈内部的磁场与流经线圈的电流成正比，则下列描述线圈ab中电流随时间变化关系的图中，可能正确的是( )
图2
[解析] 根据题图(b)可知：cd两端在0～0.5产生恒定的电压，根据法拉第电磁感应Δi定律，穿过线圈的磁通量均匀变化，即为恒定不变，故选项C正确，A、B、D错误。
Δt[答案] C
电磁感应中的动力学问题 1.通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起，解决这类问题的基本方法是：
2．电磁感应中力学问题，常常以导体在滑轨上运动的形式出现，要对其受力情况、运动情况进行动态分析。根据导体的运动情况，解决问题的具体思路如下：
(1)导体静止或匀速运动时的力电综合问题分析思路
①利用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向。
⇓
②由闭合电路欧姆定律确定回路中的电流。 ⇓
③分析导体的受力情况。 ⇓
④由平衡条件列方程求解。
(2)导体变加速运动过程的力电综合问题分析思路 ①做好受力分析和运动情况分析。
导体受力分析→速度变化→产生变化的感应电动势→产生变化的感应电流→导体受变化的安培力作用→合外力变化→加速度变化→
速度变化……最终加速度等于零，导体达到稳定运动状态。
②导体达到稳定状态往往是这类问题的突破口，进而列出平衡方程解决问题。 [例3] 如图3所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的A、C端连接一个阻值为R的电阻。一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度。已知ab棒与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和ab棒的电阻都不计。
图3
[思路点拨] ab棒沿导轨下滑的过程中受四个力作用，即重力mg、支持力N、摩擦力f和安培力F安
。ab棒由静止开始下滑后，各相关量的变化情况为v↑→E↑→I↑→F安
↑→a↓(↑表示增大，↓表示减小)，所以这是一个变加速过程，当加速度减小到a＝0时，其速度增大到最大值vm，此时ab棒处于平衡状态，以后将以vm匀速下滑。
[解析] ab棒下滑时切割磁感线，产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律得
E＝BLv ①
根据闭合电路欧姆定律，闭合电路ACba中产生的感应电流I＝ ②
根据右手定则可判定感应电流的方向为aACba，由左手定则可知ab棒受到的安培力F安
的方向沿导轨向上，其大小为F安＝BIL ③
ER
B2L2v由①②③式可得F安＝
R对ab棒进行受力分析，如图所示，由牛顿第二定律得
mgsin θ－f－F安＝ma
B2L2vB2L2v又f＝μN，N＝mgcos θ，F安＝，则mgsin θ－μmgcos θ－＝ma
RRab棒做加速度逐渐减小的变加速运动，当a＝0时速度达到最大，此时有 B2L2vm
mgsin θ－μmgcos θ－＝0 ④
R由④式可解得vm＝[答案] vm＝
mgθ－μcos θRBLBL22
22。
mgθ－μcos θR
电磁感应中的能量问题 1.电磁感应过程的实质是不同形式的能量之间转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程。
2．能量转化及焦耳热的求法 (1)能量转化
其他形式克服安培力做功电电流做功焦耳热或其他
――→――→
的能量能形式的能量
(2)求解焦耳热Q的三种方法 ①焦耳定律：Q＝IRt。 ②功能关系：Q＝W克服安培力。 ③能量转化：Q＝ΔE其他能的减少量。 3．解决此类问题的步骤
2
[特别提醒]
在利用能量的转化和守恒解决电磁感应问题时，第一要准确把握参与转化的能量的形式和种类，第二要确定哪种能量增加，哪种能量减少。
[例4] 如图4所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，
导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
图4
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ； (2)导体棒匀速运动的速度大小v； (3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。 [思路点拨]
(1)导体棒在有绝缘涂层段受摩擦力，而不受安培力，在无涂层段不受摩擦力，而受安 培力。
(2)隐含条件，匀速运动意味着摩擦力与安培力平衡。 [解析] (1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡有
mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝tan θ。 (2)在光滑导轨上 感应电动势E＝BLv 感应电流I＝ 安培力F安＝BIL
导体棒受力平衡有F安＝mgsin θ 解得v＝
ERmgRsin θ
。
B2L2
(3)摩擦生热QT＝μmgdcos θ
12
由能量守恒定律有3mgdsin θ＝Q＋QT＋mv
2
m3g2R2sin2θ
解得Q＝2mgdsin θ－。 44
2BL[答案] (1)tan θ (2)
mgRsin θ
B2L2m3g2R2sin2θ
(3)2mgdsin θ－ 44
2BL
1.如图1所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则( )
图1
A．Q1>Q2，q1＝q2 C．Q1＝Q2，q1＝q2
B．Q1>Q2，q1>q2 D．Q1＝Q2，q1>q2
解析：选A 第一次ab边是电源，第二次bc边是电源。设线框ab、bc边长分别为l1、
Bl1v2l2Bl1l2vBl1l2vl2，第一次时线框中产生的热量Q1＝I1Rt＝·R·＝＝l1，同理第二次vRRR
2
222
B2l1l2v时线框中产生的热量Q2＝l2，由于l1>l2，所以Q1>Q2。通过线框导体横截面的电荷量qRΔΦBl1l2＝n＝，故q1＝q2，A选项正确。
RR2.英国物理学家麦克斯韦认为，磁场变化时会在空间激发感生电场。如图2所示，一个半径为r的绝缘细圆环水平放置，环内存在竖直向上的匀强磁场B，环上套一带电荷量为＋
q的小球。已知磁感应强度B随时间均匀增加，其变化率为k，若小球在环上运动一周，则
感生电场对小球的作用力所做功的大小是( )
图2
A．0 C．2πrqk
2
12
B.rqk
2 D．πrqk
2
ΔB22
解析：选D 变化的磁场产生的感生电动势为E＝πr＝kπr，小球在环上运动一周
Δt感生电场对其所做的功W＝qE＝qkπr，D项正确，A、B、C项错误。
2
3.如图3所示，在匀强磁场中放一电阻不计的平行光滑金属导轨，导轨跟大线圈M相接，小闭合线圈N在大线圈M包围中，导轨上放一根光滑的金属杆ab，磁感线垂直于导轨所在平面。最初一小段时间t0内，金属杆ab向右做匀减速直线运动时，小闭合线圈N中的电流按下列图中哪一种图线方式变化( )
图3
解析：选A 当金属杆ab向右做匀减速直线运动时，在ab中产生由a到b的均匀减小的电流，由楞次定律可知，由于穿过线圈N的磁通量均匀减小，故在N中产生恒定不变的顺时针方向的感应电流，故选项A正确。
4．如图4甲，R0为定值电阻，两金属圆环固定在同一绝缘平面内。左端连接在一周期为T0的正弦交流电源上，经二极管整流后，通过R0的电流i始终向左，其大小按图乙所示规律变化。规定内圆环a端电势高于b端时，a、b间的电压uab为正，下列uabt图像可能正确的是( )
图4
Δi解析：选C 由题图乙知，0～0.25T0，外圆环电流逐渐增大且逐渐减小，根据安培
Δt
ΔB定则，外圆环内部磁场方向垂直纸面向里，磁场逐渐增强且逐渐减小，根据楞次定律知ΔtΔΦΔBS内圆环a端电势高，所以uab＞0，根据法拉第电磁感应定律uab＝＝知，uab逐渐减
ΔtΔtΔiΔB小；t＝0.25T0时，＝0，所以＝0，uab＝0；同理可知0.25T0＜t＜0.5T0时，uab＜0，
ΔtΔt且|uab|逐渐增大；0.5T0～T0内重复0～0.5T0的变化规律。故选项C正确。
5.如图5所示，abcd为水平放置的平行“
”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有
垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨电阻不计，已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)。则( )
图5
A．电路中感应电动势的大小为
sin θB．电路中感应电流的大小为
BlvBvsin θ
rB2lvsin θ
C．金属杆所受安培力的大小为
rD．金属杆的热功率为B2lv2
rsin θ
解析：选B 金属杆的运动方向与金属杆不垂直，电路中感应电动势的大小为E＝Blv(l为切割磁感线的有效长度)，选项A错误；电路中感应电流的大小为I＝＝
ERBlvlsin θ
＝ rBvsin θBvsin θlB2lv′
，选项B正确；金属杆所受安培力的大小为F＝BIl＝B··＝，rrsin θrB2v2sin2θlrB2lv2sin θ选项C错误；金属杆的热功率为P＝IR＝·＝，选项D错误。
r2sin θr2
6.如图6所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆内有垂直于圆平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速率v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑到右端，回路的固定电阻为R，其余电阻不计，试求：
图6
(1)MN从圆环左端滑到右端的过程中，电阻R上的电流的平均值及通过的电荷量。 (2)MN从圆环左端滑到右端的过程中，电阻R上的电流的最大值。 解析：(1)从左端到右端磁通量的变化量 ΔΦ＝BΔS＝Bπr 从左端到右端的时间：Δt＝
2r2
v
根据法拉第电磁感应定律，平均感应电动势 ΔΦBπrBπvrE＝＝＝
Δt2r2
2
vE所以，回路中平均感应电流I＝
＝
RBπvr 2RBπvr2rBπr2
通过R的电荷量q＝IΔt＝·＝。
2RvR(2)当导线运动到圆环的圆心处时，切割磁感线的有效长度最大，产生的感应电动势也就最大，电阻R上的电流也就最大，此时Em＝B·2r·v，所以Im＝，由以上两式，得Im2Brv＝。
Em
RRBπvrBπr22Brv答案：(1) (2)
2RRR7．如图7所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4 m。导轨右端接有阻值R＝1 Ω的电阻。导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨电阻均不计，导轨间正方形区域abcd内有方向竖直向下的匀强磁场，bd连线与导轨垂直，长度也为L。从0时刻开始，磁感应强度B的大小随时间t变化，规律如图8所示；同一时刻，棒从导轨左端开始向右匀速运动，1 s后刚好进入磁场，若使棒在导轨上始终以速度v＝1 m/s做直线运动，求：
(1)棒进入磁场前，回路中的电动势E；
(2)棒在运动过程中受到的最大安培力F，以及棒通过三角形abd区域时电流i与时间t的关系式。
图7 图8
解析：(1)正方形磁场的面积为S，则S＝＝0.08 m。在棒进入磁场前，回路中的感应
2电动势是由于磁场的变化而产生的。由Bt图像可知
ΔBΔΦ＝0.5 T/s，根据E＝n，得回ΔtΔtL2
2
ΔB路中的感应电动势E＝S＝0.5×0.08 V＝0.04 V。
Δt(2)当导体棒通过bd位置时感应电动势、感应电流最大，导体棒受到的安培力最大。此时感应电动势E′＝BLv＝0.5×0.4×1 V＝0.2 V
回路中感应电流I′＝
E′0.2
＝ A＝0.2 A R1
导体棒受到的安培力F＝BI′L＝0.5×0.2×0.4 N＝0.04 N 当导体棒通过三角形abd区域时，导体棒切割磁感线的有效长度
l＝2v(t－1)(1 s≤t≤1.2 s)
感应电动势e＝Blv＝2Bv(t－1)＝(t－1)V 感应电流i＝＝(t－1)A(1 s≤t≤1.2 s)。 答案：(1)0.04 V
(2)0.04 N i＝(t－1)A(1 s≤t≤1.2 s)
8.如图9所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T。在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s。问：
2
2
eR
图9
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向； (2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中
ab上产生的热量Q是多少。
解析：(1)由a流向b。
(2)开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax，有Fmax＝
m1gsin θ①
设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有
E＝BLv②
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有
EI＝③ R1＋R2
设ab所受安培力为F安，有F安＝ILB④
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有
F安＝m1gsin θ＋Fmax⑤
综合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5 m/s。⑥
(3)设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒有
m2gxsin θ＝Q总＋m2v2⑦
又Q＝
12
Q总⑧ R1＋R2
R1
解得Q＝1.3 J。⑨
答案：(1)由a流向b (2)5 m/s (3)1.3 J