雅江县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．
2． 在等差数列{an}中，a1=1，公差d0，Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)， 且m?n0，则
B．
C．
或 D．3
+
取得最小值时，实数a的值是（ ）
2Sn+16的最小值为（ ）
an+39 2A．4 B．3 C．23-2 D．
【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力． 2＋2z
3． 复数满足＝iz，则z等于（ ）
1－iA．1＋i C．1－i
B．－1＋i D．－1－i
4． 已知α∈（0，π），且sinα+cosα=，则tanα=（ ） A．
B．
C．，b=0.8
D．
5． 设a=0.5A．c＜b＜a
，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（ ）
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
B．c＜a＜b
6． 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ） A．1
B．
C．
D．
7． 已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 8． “x≠0”是“x＞0”是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9． 设x，y∈R，且满足
，则x+y=（ ）
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A．1 A．48
B．2
B．±48 C．96
D．±96
C．3 D．4
10．在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（ ）
11．设x，y满足线性约束条件的值为（ ） A．2
B．
C．
D．3
，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a
12．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁UN=﹛2，4﹜，则N=（ ） A．{1，2，3}
B．{1，3，5}
C．{1，4，5}
D．{2，3，4}
二、填空题
13．二项式
展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．
14．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是 ．
f′x15．定义在R上的可导函数f(x)，已知ye的图象如图所示，则yf(x)的增区间是 ▲ ． y 16．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为 ． 1 x 0的解集为(1,2)，则关于的不等式bx2ax10的解集 O 1 2 x2axb17．已知关于的不等式为___________. 18．已知函数f(x)lnxa1，x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒 x2成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若△ABC的面积为
，b=2求a，c的值．
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20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．
（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y122,，求实数m的值；
a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． 2y
21．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b． （1）求证：a＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．
22．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
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（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
18 19 20 21 22 周需求量n 频数 1 2 3 3 1 X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）
x2t,x2y21，直线l:已知曲线C:（为参数）. 49y22t,（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值.
24．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=如图所示的几何体σ． （1）求几何体σ的表面积；
（2）点M时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD的体积为
，试判断M点的轨迹是否为2个菱形．
，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD为旋转轴旋转一周得到
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雅江县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0， ∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0． ①当0＜a＜3时，f′（a）=当减． ∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=当递减． ∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
2． 【答案】A
【
解
析
】
+
取得最小值．
+
取得最小值．
﹣
+ +
取得最小值． =﹣（=﹣
）=﹣（
+，
时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调
）=f（a），
+
+
==
=
+
=f（a），
，
时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递
时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当
时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当
或时，
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3． 【答案】
2＋2z
【解析】解析：选D.法一：由＝iz得
1－i2＋2z＝iz＋z， 即（1－i）z＝－2，
－2－2（1＋i）∴z＝＝＝－1－i.
21－i法二：设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi）， 即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，
2＋2a＝a－b
∴， 2b＝a＋b
∴a＝b＝－1，故z＝－1－i. 4． 【答案】D
2
【解析】解：将sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）=1+2sinαcosα=
，即2sinαcosα=﹣＜0，
∵0＜α＜π，∴＜α＜π，
∴sinα﹣cosα＞0，
2
∴（sinα﹣cosα）=1﹣2sinαcosα=
，即sinα﹣cosα=②，
联立①②解得：sinα=，cosα=﹣， 则tanα=﹣． 故选：D．
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5． 【答案】B 【解析】解：∵a=0.5∴0＜a＜b， ∵c=log20.5＜0， ∴c＜a＜b， 故选B．
，b=0.8
，
【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．
6． 【答案】C 为
．
．
＜1，故C不可能．
是解题的关键．
【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为
因此可知：A，B，D皆有可能，而故选C．
【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为
7． 【答案】C
+
【解析】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R上单调递增． 可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点． 故选C．
8． 【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．
9． 【答案】D
因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．
3
【解析】解：∵（x﹣2）+2x+sin（x﹣2）=2， 3
∴（x﹣2）+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
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3
∵（y﹣2）+2y+sin（y﹣2）=6，
3
∴（y﹣2）+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2， 3
设f（t）=t+2t+sint，
2
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0， 即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y）， ∵函数f（t）单调递增 ∴x﹣2=2﹣y， 即x+y=4， 故选：D． 质．
10．【答案】B ∴a2=3×2=6，
=384，
∴a2和a8的等比中项为故选：B．
11．【答案】B
=±48．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性
【解析】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，公比q=2，
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z， ∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0． 平移直线y=ax﹣z，
由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件． 此时a=． 故选：B．
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12．【答案】B
【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M，N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B
二、填空题
13．【答案】 70 ． 【解析】解：根据题意二项式则n=8， 所以二项式
Tr+1=（﹣1）rC8rx8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 故答案为70．
4
则其常数项为C8=70
展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
=
展开式的通项为
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．
14．【答案】 4 ．
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【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有： {2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}， 故共有4个，
故答案为：4．
15．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由x2时ef′x1f(x)0，x2时ef′x1f(x)0，所以yf(x)的
增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间
16．【答案】 300 ．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等， 所以总体中的个体的个数为15÷故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
17．【答案】(,)(1,) 【
解
析
】
=300．
12考
点：一元二次不等式的解法. 18．【答案】a【解析】
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1a12，因为x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒成立，xx21a111112，x(0,3]，ax2x，x(0,3]恒成立，由x2x,a．1
2xx2222试题分析：f(x)'考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得： 2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC， 整理得：2cosBsinC﹣sinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosB=， 则B=60°；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为
=acsinB=
ac，解得：ac=4，①
22222
又∵b=2，由余弦定理可得：2=a+c﹣ac=（a+c）﹣3ac=（a+c）﹣12，
∴解得：a+c=4，② ∴联立①②解得：a=c=2．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
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21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣， ∴3a+2b+2c=0． 又3a＞2c＞2b， 故3a＞0，2b＜0， 从而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b ∵a＞0，∴3＞﹣3﹣即﹣3＜＜﹣．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c． 下面对c的正负情况进行讨论： ①当c＞0时，∵a＞0， ∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
＞2，
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所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点； ②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点； 综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点 ∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根． 故x1+x2=﹣，x1x2==从而|x1﹣x2|=∵﹣3＜＜﹣， ∴
|x1﹣x2|
．
=
=
=
．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000， 当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000， ∴
．
（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400， ∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1， X的分布列为
X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．
23．【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C方程写出曲线C的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）
10400 0.1 x2cos22525，y2x6；（2），.
55y3sin第 14 页，共 15 页
由曲线C的参数方程设曲线上C任意一点P的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P直线的距离，利用正弦函数求出PA，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA的最大值与最小值.
x2cos试题解析：（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为y2x6.
y3sin5（2）曲线C上任意一点P(2cos,3sin)到的距离为d|4cos3sin6|．
54d25则|PA||5sin()6|，其中为锐角，且tan，当sin()1时，|PA|取
3sin30522525得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为. 55考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 24．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得； 该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体， 其表面积为S=或S=
×4π×2
+×
×2=8×（4π×2
π， ﹣2π×
）+
×2π×
=8
π；
×4π×2
（2）由已知S△ABD=
×2×sin135°=1，
，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因而要使四面体MABD的体积为
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
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