（含答案）
（时间：120分钟 分数：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．
﹣2的绝对值是（ ）
B．
C．
D．1
A．2
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ） A．a•a2＝a2 C．3a+2a＝5a2
B．（a2）2＝a4 D．（a2b）3＝a2•b3
4．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y
的值为（ ） A．3
B．﹣3
C．12
D．﹣12
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
7．在同一平面直角坐标系中，直线y＝2x+3与y＝2x﹣5的位置关系是（ ） A．平行
B．相交
C．重合
D．垂直
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G．当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．0）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，，且满足4a+2b+c＞0，有下列结论：①a+b＞0；②﹣a+b+c＞0；③b2﹣2ac＞5a2．其中，正确结论的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 11．不等式﹣9+3x≤0的非负整数解的和为 ． 12．如果3sinα＝
+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度）
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B，连接AB并延长与y轴交于点D（0，4），则k的值为 ．
14．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是 ．
三．解答题（共11小题，满分78分） 15．计算：
+|1﹣
|﹣2×
+（）﹣1
16．附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2． 求
的值．
17．如图，△ABC，AB＝AC＝10，BC＝16．
（1）作△ABC的外接圆O（用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） （2）求OA的长．
18．萧山区2014教师招聘有拉开序幕，这给很多有志于教育事业的人员很多机会．下面是今年报考人数统计表（数学）
招聘岗位
招聘计报考人划
高中教师1
研究生 高中 数
学
数 10
高中教师2 普通 高中 数
学
19
初中教师 普通 初中 数
学
12 55
小学教师1 普通 城区与数
八镇 学
18 83
小学教师2 普通 其他 数
学
21 93
（1）根据上表信息，请制作补完下面的扇形统计图和上述表格． （2）录取比例最小的是多少？最大的是多少？
（3）如果是你（本科毕业），仅从录取比例上看，你会选择报考哪个岗位？
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝∠AFE．
20．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶
D处．已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）．
sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732，【参考数据：＝1.414】
21．某校八年级举行英语演讲比赛，准备用1200元钱（全部用完）购买A，B两种笔记本作为奖品，已知A，B两种每本分别为12元和20元，设购入A种x本，B种y本． （1）求y关于x的函数表达式．
（2）若购进A种的数量不少于B种的数量． ①求至少购进A种多少本？
②根据①的购买，发现B种太多，在费用不变的情况下把一部分B种调换成另一种C，调换后C种的数量多于B种的数量，已知C种每本8元，则调换后C种至少有 本（直接写出答案） 22．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
23．已知，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在CD的延长线
上取一点P，PG与⊙O相切于点G，连接AG交CD于点F．
（Ⅰ）如图①，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小； （Ⅱ）如图②，若E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA＝2求PF的长．
24．已知抛物线y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣3，0），点（1，0） （1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点B作BD⊥AB，点C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圆⊙O于点E． （1）求证：∠CAB＝∠AEC． （2）若BC＝3．
①EC∥BD，求AE的长．
②若△BDC为直角三角形，求所有满足条件的BD的长． （3）若BC＝EC＝
，则
＝ ．（直接写出结果即可）
，
答 案 参与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案． 【解答】解：
﹣2的绝对值是2﹣
．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数． 2．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；
C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误； D、积的乘方等于乘方的积，故D错误； 故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F
＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°， ∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°， 故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
5．【分析】先利用待定系数法求出y＝﹣3x，然后计算x＝1对应的函数值．
【解答】解：设y＝kx， ∵当x＝2时，y＝﹣6， ∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3， ∴y＝﹣3x，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3． 故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可．
6．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠
ABC＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝
＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°， 故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
7．【分析】根据直线y＝2x+3与y＝2x﹣5中的k都等于2，于是得到结论．
【解答】解：∵直线y＝2x+3与y＝2x﹣5的k值相等， ∴直线y＝2x+3与y＝2x﹣5的位置关系是平行， 故选：A．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，知道两直线的k值相等时两直线平行是解题的关键．
8．【分析】根据全等三角形的性质得到BF＝DF，根据矩形的性质得到∠A＝90°，根据勾股定理得到AF＝4，连接OE，OD，则OE＝OD，过O作OH⊥AD于H，则HE＝HD＝4，根据相似三角形的性质得到OH＝，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF与△DFG全等， ∴BF＝DF， ∵AD＝9， ∴BF＝9﹣AF，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴AB2+AF2＝BF2， 即32+AF2＝（9﹣AF）2， 解得：AF＝4， ∵AE＝1， ∴EF＝3，DE＝8， 连接OE，OD， 则OE＝OD，
过O作OH⊥AD于H， 则HE＝HD＝4， ∴FH＝1，
∵∠A＝∠OHF＝90°，∠AFB＝∠OFH， ∴△ABF∽△HOF， ∴即
， ，
∴OH＝，
在Rt△ODH中，OD＝
＝
，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【解答】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
10．【分析】利用题意画出二次函数的大致图象，利用对称轴的位置得到﹣
＞，则可对①进行判断；利用a＜0，b＞0，c＞0可对
②进行判断；由a﹣b+c＝0，即b＝a+c，则4a+2（b+c）+c＞0，所以2a+c＞0，变形b2﹣2ac﹣5a2＝﹣（2a+c）（2a﹣c），则可对③进行判断．
【解答】解：如图，∵抛物线过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＞，
∴b＞﹣a，即a+b＞0，所以①正确； ∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴﹣a+b+c＞0，所以②正确； ∵a﹣b+c＝0，即b＝a+c， ∴4a+2（b+c）+c＞0， ∴2a+c＞0，
∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝﹣（2a+c）（2a﹣c）， 而2a+c＞0，2a﹣c＜0，
∴∴b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2．所以③正确． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛
物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的非负整数解相加即可． 【解答】解：﹣9+3x≤0， 3x≤9， ∴x≤3，
∴不等式﹣9+3x≤0的非负整数解有0，1，2，3， 即0+1+2+3＝6． 故答案为：6．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式的非负整数解是解此题的关键．
12．【分析】根据计算器可以计算出∠α的度数，从而可以解答本题． 【解答】解：∵3sinα＝∴sinα＝
，
+1，
解得，∠α≈65.5°， 故答案为：65.5°．
【点评】本题考查计算器﹣三角函数，解答本题的关键是会用计算器求三角函数的值．
13．【分析】根据“直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，
过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B”，得到BC的解析式，根据“OD＝4，OC＝2，BC∥AO”，得到△BCD～△AOD，结合点A和点B的坐标，根据点A和点B都在双曲线上，得到关于m的方程，解之，得到点A的坐标，即可得到k的值． 【解答】解：∵OA的解析式为：y＝
，
又∵AO∥BC，点C的坐标为：（0，2）， ∴BC的解析式为：y＝
，
设点B的坐标为：（m， m+2）， ∵OD＝4，OC＝2，BC∥AO， ∴△BCD～△AOD，
∴点A的坐标为：（2m， m）， ∵点A和点B都在y＝上， ∴m（
）＝2m•m，
解得：m＝2，
即点A的坐标为：（4，）， k＝4×＝故答案为：
， ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和三角形相似的判定定理是解题的关键．
14．【分析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．
【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，
当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短， ∴△ABC是等边三角形，
∴CE过点O，E为BD中点，则此时EO＝AB＝1， 故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝BCsin60°﹣×AB＝故答案为：
﹣1．
﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短是解题关键． 三．解答题（共11小题，满分78分）
15．【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝3+＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 16．【分析】先将已知条件化简，可得：（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0．因为x，y，z均为实数，所以x＝y＝z．将所求代数式中所有y和z都换成x，计算即可．
【解答】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
﹣1﹣
+3
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2＝0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）＝0， ∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝0， ∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0． ∵x，y，z均为实数， ∴x＝y＝z． ∴
＝
＝1．
【点评】本题中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，要仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．
17．【分析】（1）可按尺规作图的方法进行作图．（作其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆）；
（2）可通过构建直角三角形来求解．连接OA，OC，OA⊥BC．先在三角形ACD中求出AD的值，然后在三角形ODC中，用半径表示OD，OC，根据勾股定理求出半径． 【解答】解：（1）如图，点O即为所求的点．
（2）连接OA交BC于D，连接OC． 因为AB＝AC，
所以由垂径定理，得OA⊥BC于D，BD＝CD＝8． 在Rt△ADC中，AD＝
＝
＝6．
设OC＝OA＝R，则OD＝R﹣6． 在Rt△OCD中，由OC2＝OD2+CD2， 得R2＝（R﹣6）2+82，解得R＝∴OA＝
．
，
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理和垂径定理，要注意本题中外接圆的作法．
18．【分析】（1）根据初中教师的招聘计划和所占的百分比求出招聘总人数，再分别乘以所占的百分比求出高中教师1和高中教师2的人数，用各部分的招聘计划除以总招聘人数求出所占的百分比，然后补全统计图即可；
（2）根据招聘计划和所报人数解答； （3）根据各岗位的录取比例选择即可．
【解答】解：（1）招聘总计划为：12÷20%＝60， 高中教师1：60×5%＝3， 高中教师2：60×10%＝6， 小学教师1：小学教师2：
×100%＝30%， ×100%＝35%；
依次填入：3，6；
（2）高中教师1：高中教师2：初中教师：小学教师1：小学教师2，为
×100%＝30%，
×100%≈31.58%， ×100%≈21.82%， ×100%≈21.69%， ×100%≈22.58%；
所以，录取比例最小的是小学教师1， 最大的是高中教师2；
（3）高中教师2．
【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接
反映部分占总体的百分比大小．
19．【分析】由四边形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由EC＝FC知BE＝DF，根据SAS，即可证△ABE≌△ADF得AE＝AF，从而得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D， ∵EC＝FC， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）； ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE．
【点评】此题考查了菱形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的 关键是熟练掌握菱形的性质，注意菱形的四条边都相等，对角相等．20．【分析】在R△ABC中，求出BC＝AB•cos75°≈800×0.26＝208m，在Rt△BDF中，求出DF的长，由四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠BFD＝90°，EF＝BC， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosα＝∴BC＝AB•cos75°＝80×0.259＝207.2． ∴EF＝BC＝207.2，
，
在Rt△BDF中，∠BFD＝90°，sinβ＝∴DF＝BD•sin45°＝800×
，
＝400×1.414＝565.6．
∴DE＝DF+EF＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）． ∴山高DE约为773米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）根据A种的费用+B种的费用＝1200元，可求y关于x的函数表达式；
（2）①根据购进A种的数量不少于B种的数量，列出不等式，可求解；
②设B种的数量m本，C种的数量n本，根据题意找出m，n的关系式，再根据调换后C种的数量多于B种的数量，列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）∵12x+20y＝1200， ∴y＝
，
（2）①∵购进A种的数量不少于B种的数量， ∴x≥y， ∴x≥∴x≥
，
，
∵x，y为正整数， ∴至少购进A种40本，
②设A种的数量为x本，B种的数量y本，C种的数量c本， 根据题意得：12x+20y+8c＝1200 ∴y＝
∵C种的数量多于B种的数量 ∴c＞y ∴c＞∴c＞
，
∵购进A种的数量不少于B种的数量， ∴x≥y ∴x≥∴c≥150﹣4x ∴c＞
，
且x，y，c为正整数， ∴C种至少有30本 故答案为30本．
【点评】本题考查一次函数的应用，不等式组等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型． 22．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图即可得到结论．
【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝， 故答案为：；
（2）设两辆车为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果， ∴选择不同通道通过的概率＝
＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
23．【分析】（Ⅰ）连接OG，在Rt△AEF中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因为OA＝OG，所以∠OGA＝∠A＝20°，因为PG与⊙O相切于点G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝90°﹣20°＝70°．；
（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，证明△OAD为等边三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD＝30°，因为DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在Rt△AGB中可求得AG＝6，在Rt△AEF中可求得AF＝2，再证明△GFP为等边三角形，所以PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．
【解答】解：（Ⅰ）连接OG， ∵CD⊥AB于E， ∴∠AEF＝90°， ∵∠A＝20°，
∴∠EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°， ∴∠GFP＝∠EFA＝70°， ∵OA＝OG，
∴∠OGA＝∠A＝20°， ∵PG与⊙O相切于点G， ∴∠OGP＝90°，
∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD， ∵E为半径OA的中点，CD⊥AB， ∴OD＝AD＝OA， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°，
∴∠AGD＝∠AOD＝30°， ∵DG∥AB，
∴∠BAG＝∠AGD＝30°， ∵AB为⊙O的直径，OA＝2，
∴∠AGB＝90°，AB＝4
，
∴AG＝AB•cos30°＝6，． ∵OG＝OA，
∴∠OGA＝∠BAG＝30°，
∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°， ∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AEF＝90°，AE＝，∠BAG＝30°，
∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60， ∴△GFP为等边三角形， ∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．
【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．解题的关键是掌握圆的切线的性质．
24．【分析】（1）利用待定系数法把（﹣3，0），（1，0）代入二次函数y＝x2+mx+n中，即可算出m、n的值，进而得到函数解析式； （2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+mx+n过点（﹣3，0），C（1，0）， ∴解得：
，
二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为：（﹣1，﹣4）． 【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
25．【分析】（1）利用圆的内接四边形的性质以及等角的余角相等的性质易证明出结论成立；
（2）延长AC交BD于点F，利用平行线等分线段和相似三角形对应边成比例求解即可；
（3）利用勾股定理和相似三角形分别求出AE和BD的长，依据对应边等高三角形的面积比是对应边之比，进而求解；
【解答】
证明：（1）∵四边形BCED内接于⊙O ∴∠AEC＝∠DBC
又∵DB⊥AB
∴∠ABC+∠DBC＝90° 又∵∠ACB＝90°
∴在Rt△ABC中，∠CAB+∠ABC＝90° ∴∠DBC＝∠CAB ∴∠CAB＝∠AEC
（2）①如图1延长AC交BD于点F，延长∵在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3 ∴由勾股定理得，AC＝4 又∵BC⊥AF，AB⊥BF ∠AFB＝∠BFC ∴Rt△AFB∽Rt△BFC ∴
＝
∴BC2＝CF•AC
即9＝CF•4，解得，CF＝ 又∵EC∥BD ∴CG⊥AB ∴AB•CG＝AC•BC
即5CG＝4×3，解得，CG＝
又∵在Rt△ACG中，AG＝
∴AG＝＝
又∵EC∥DB
EC交AB于点G． ∴∠AEC＝∠ADB
由（1）得，∠CAB＝∠AEC ∴∠ADB＝∠CAB 又∵∠ACB＝∠DBA＝90° ∴Rt△ABC∽Rt△DBA ∴
＝
，解得AD＝
即＝
又∵EG∥BD ∴即
＝＝
，解得AE＝
②当△BDC是直角三角形时，如图二所示 ∵∠BCD＝90° ∴BD为⊙O直径 又∵∠ACB＝90° ∴A、C、D三点共线
即BC⊥AD时垂足为C，此时C点与E点重合． 又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90° ∴Rt△ACB∽Rt△ABD ∴
＝
，解得AD＝
即＝
又∵在Rt△ABD中，BD＝
∴BD＝＝
③如图三，由B、C、E都在⊙O上，且BC＝CE＝
∴＝
∴∠ADC＝∠BDC 即DC平分∠ADB
过C作CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB垂足分别为M、N．，∵在Rt△ACB中AB＝5，BC＝
∴AC＝2
又∵在Rt△ACB中CH⊥AB ∴AB•CH＝AC•BC 即5CH＝2
×
解得，CH＝2 ∴MB＝2
又∵DC平分∠ADB ∴CM＝CN
又∵在Rt△CHB中BC＝5，CH＝2 ∴HB＝1 ∴CM＝CN＝1
又∵在△DCN与△DCM中
∴△DCN与△DCM（AAS） ∴DN＝DM
H． 设DN＝DM＝x 则BD＝x+2，AD＝x+
在Rt△ABD中由AB2+BD2＝AD2得， 25+（x+2）2＝（x+解得，x＝
＝
）2
∴BD＝BM+MD＝2+
又由（1）得∠CAB＝∠AEC，且∠ENC＝∠ACB ∴△ENC∽△ACB ∴
＝
＝
＝2
∴NE＝2
又∵在Rt△CAN中CN＝1，AC＝2∴AN＝
∴AE＝AN+NE＝
＝+2
＝
又∵S△BCD＝BD•CM，S△ACE＝AE•CN，CM＝CN ∴故
＝＝
＝
＝
【点评】本题综合考察了圆内接四边形的性质，以及等弧对等弦，等弧所对的圆周角相等与相似三角形的判定，勾股定理的运用，全等三角形的证明等多个知识点，需要认真分析，属于偏难题型．
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