《易错题》七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项知识点总结(含答案)

一、解答题

1．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．

解析：120° 【分析】

此题可以设∠AOC=x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算． 【详解】

解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x． ∴∠AOB＝3x． 又OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝1.5x．

∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°． ∴x＝40° ∴∠AOB＝120°． 【点睛】

此题考查角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解题的关键．

2．如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点．

(1)若DE=9cm，求AB的长. (2)若CE=5cm，求DB的长． 解析：（1）AB=18；（2）DB=15. 【分析】

（1）由线段中点的定义可得CD=

111AC，CE=BC，根据线段的和差关系可得DE=AB，进222而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案. 【详解】

（1）∵D是AC的中点，E是BC的中点．

11AC，CE=BC， 22∵DE=CD+CE=9，

∴CD=

111AC+BC=(AC+BC)=9， 222∵AC+BC=AB， ∴AB=18.

∴

（2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点，

11BC，，AD=CD=AC， 22∴AD=CD=CE=BE， ∴DB=CD+CE+BE=3CE， ∵CE=5， ∴DB=15. 【点睛】

∴AC=BC，CE=BE=

本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键． 3．已知点C是线段AB的中点

（1）如图，若点D在线段CB上，且BD＝1.5厘米，AD＝6.5厘米，求线段CD的长度；

（2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在线段CB的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度． 解析：（1）CD=2.5厘米；（2）CD=4厘米. 【分析】

根据BD+AD=AB可求出AB的长，利用中点的定义可求出BC的长，根据CD=BC-BD求出CD的长即可；（2）根据题意画出图形，利用线段中点的定义及线段的和差关系求出CD的长即可. 【详解】

（1）∵BD=1.5厘米，AD=6.5厘米， ∴AB=BD+AD=8(厘米)， ∵点C是线段AB的中点， ∴BC=

1AB=4(厘米) 2∴CD=BC-BD=2.5(厘米).

（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图所示： ∵BD=1.5厘米，AD=6.5厘米， ∴AB=AD-BD=5(厘米)， ∵点C是线段AB的中点，

1AB=2.5(厘米) 2∴CD=BC+BD=4(厘米)

∴BC=

【点睛】

本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．

4．古时候，传说捷克的公主柳布莎曾出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取余下的一半又两个给第二个人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？” 解析：34个 【分析】

在最后一次送了一半加三个，篮子的李子没有剩余，可以知道最后一次的一半就是三个，所以上一次剩余6个，6个加上送的2个合计8个，为第二次的一半，可以知道第一次送出后还有16个，16在加上第一次送的1个为17个，所以最初一共有34个. 【详解】 用逆推法：

解： 32221234（个） 【点睛】

送出一半又3个的时候，剩余为0，直接可以知道一半就是3个. 5．已知A，B，C三点，他们所表示的数分别是5，3，a. (1)求线段AB的长度AB； (2)若AC=6，求a的值；

(3)若d=a3+a5，求d的最小值，并判定d与AB. 解析：（1）8；（2）a=11或－1；（3）8，d=AB． 【分析】

（1）线段AB的长等于A点表示的数减去B点表示的数； （2）AC=|A点表示的数－C点表示的数|，然后解方程即可； （3）要想使d的最小，点C一定在A、B两点之间，且最小值为8． 【详解】

（1）AB=5－（－3）=8；

（2）AC=a5=6，解得：a=11或－1；

即在数轴上，若 C点在A点左边，则a=－1，若C点在A点右边，则a=11； （3）要想使d的最小，点C一定在A、B两点之间，且最小值为8，所以d=AB． 【点睛】

本题考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴上求线段长度的方法，找出等量关系，解决问题．

6．如图，点B、C在线段AD上，且AB:BC:CD2:3:4，点M是线段AC的中点，点N是线段CD上的一点，且MN9．

（1）若点N是线段CD的中点，求BD的长； （2）若点N是线段CD的三等分点，求BD的长．

378378. 或

2331解析：（1）14；（2）【分析】

（1）设AB=2x，则BC=3x，CD=4x．根据线段中点的性质求出MC、CN，列出方程求出x，计算即可；

（2）分两种情况：①当N在CD的第一个三等分点时，根据MN=9，求出x的值，再根据BD=BC+CD求出结果即可；②当N在CD的第二个三等分点时，方法同①. 【详解】

设AB=2x，则BC=3x，CD=4x． ∴AC=AB+BC=5x， ∵点M是线段AC的中点， ∴MC=2.5x，

∵点N是线段CD的中点， ∴CN=2x，

∴MN=MC+CN=2.5x+2x=4.5x ∵MN=9，

∴4.5x=9，解得x=2， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=14.

4（2）情形1：当N在CD的第一个三等分点时，CN=x，

3∴MN=MC+CN= 解得，x5423xxx9 23654， 23378; 23∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=

情形2：当当N在CD的第二个三等分点时，CN=x， ∴MN=MC+CN= 解得，x835831xxx9 23654， 31378; 31∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=

故BD 的长为【点睛】

378378. 或

2331本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点和三等分点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．

7．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使AOC70，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处.（注：DOE90）

（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，那么COE的度数为______；

（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按顺时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分AOE，求COD的度数；

（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在AOC的内部，请直接用等式表示AOD和COE之间的数量关系.

解析：（1）20；（2）20；（3）COEAOD20或COE20AOD. 【分析】

（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，则∠COE=20°； （2）由角平分线可得COEAOC70，再利用角的和差进行计算即可； （3）分别用∠COE及∠AOD的式子表达∠COD，进行列式即可． 【详解】

解：（1）∵DOE90，AOC70

∴∠COEDOEAOC907020 故答案为：20

（2）∵OC平分AOE，AOC70， ∴COEAOC70， ∵DOE90，

∴CODDOECOE907020． （3）∵∠CODDOECOE90COE，

∠CODAOCAOD70AOD ∴90COE70AOD

∴COEAOD20或COE20AOD．

故答案为：COEAOD20或COE20AOD． 【点睛】

本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键． 8．[阅读理解]射线OC是AOB内部的一条射线，若COA1BOC,则我们称射线2OC是射线OA的伴随线．

例如，如图1，AOB60， AOCCODBOD20，则

11AOCBOC，称射线OC是射线OA的伴随线：同时，由于BODAOD，

22称射线OD是射线OB的伴随线． [知识运用]

（1）如图2，AOB120，射线OM是射线OA的伴随线，则AOM ，若

AOB的度数是，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是AOB的平分线，则NOC的度数是 ．（用含的代数式表示）

（2）如图，如AOB180，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．

①是否存在某个时刻t（秒），使得COD的度数是20，若存在，求出t的值，若不存

在，请说明理由；

②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 解析：（1）40，；（2）①存在，当t20秒或25秒时，∠COD的度数是20；②当t随线． 【分析】

（1）根据伴随线定义即可求解；

（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】

（1）∵AOB120，射线OM是射线OA的伴随线， 根据题意，AOM1690360180，，，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴7197111BOM，则AOMAOB12040； 233∵AOB的度数是，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是AOB的平分线， ∴BON11111AONAOB，BOCAOB， 23322∴NOCBOCBON故答案为：40，；

111； 2361618036（秒）， 5①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：

（2）射线OD与OA重合时，t若在相遇之前，则1805t3t20， ∴t20；

若在相遇之后，则5t3t18020， ∴t25；

所以，综上所述，当t20秒或25秒时，∠COD的度数是20°； ②相遇之前： （i）如图1，

OC是OA的伴随线时，则AOC1COD， 2即3t∴t11805t3t， 290； 7（ii）如图2，

OC是OD的伴随线时， 则COD1AOC， 213t， 2即1805t3t360； 19相遇之后：

∴t（iii）如图3，

OD是OC的伴随线时， 则COD1AOD， 211805t， 2即5t3t180∴t180； 7（iv）如图4，

OD是OA的伴随线时，则AOD1COD， 2即1805t∴t30；

13t5t180， 2所以，综上所述，当t余两条射线的伴随线． 【点睛】

90360180，，，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其7197本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．

9．（1）已知一个角的补角比它的余角的3倍多10，求这个角的度数． （2）已知的余角是的补角的解析：（1）50°；（2）150° 【分析】

（1）设这个角为，则补角为（180°-），余角为（90°-），再由补角比它的余角的3倍多10°，可得方程，解出即可；

（2）根据互余和互补的定义，结合已知条件列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】

（1）设这个角为，根据题意，得

13，并且，试求a的度数．

231803(90a)10．

解得：50． 答：这个角的度数为50． （2）根据题意，得90∴60，90． ∴ 150． 【点睛】

本题考查的是余角和补角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键．

10．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.

（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；

（2）若图中的正方形边长为5cm，长方形的长为8cm，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.

13(180)且， 32

解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm2；体积为：200cm3． 【分析】

（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；

（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解． 【详解】

解：（1）多余一个正方形，如图所示：

22（2）表面积为：5285450160210(cm)，

体积为：58200(cm) 【点睛】

本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．

11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．

23

解析：120°，30° 【分析】

先根据角平分线，求得BOE的度数，再根据角的和差关系，求得BOF的度数，最后根据角平分线，求得BOC、AOC的度数． 【详解】

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90° ∴∠BOE=∠AOB =45° 又∵∠EOF=60°

∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15° 又∵OF平分∠BOC ∴∠BOC=2∠BOF=30° ∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120° 故∠AOC=120°，∠COB=30°． 【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键.注意：也可以根据AOC的度数是EOF度数的2倍进行求解．

12．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F，G在边CD上，连接EF，

EG．将BEG对折，点B落在直线BG上的点B处，得折痕EM；将AEF对折，点A落在直线EF上的点A处，得折痕EN．

（1）如图（1），若点F与点G重合，求MEN的度数；

（2）如图（2），若点G在点F的右侧，且FEG30，求MEN的度数； （3）若MEN，请直接用含的式子表示FEG的大小．

解析：（1）90；（2）105；（3）若点G在点F的右侧，FEG2180；若点

G在点F的左侧，FEG1802

【分析】

（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可． （2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题． （3）根据题意分点G在点F的右侧以及点G在点F的左侧两种情形分别求解即可． 【详解】

解：（1）因为EN平分AEF，EM平分BEF， 所以NEF所以

11AEF，MEFBEF， 221111MENNEFMEFAEFBEF(AEFBEF)AEB．

2222因为AEB180， 所以MEN118090． 211AEF，MEGBEG， 22（2）因为EN平分AEF，EM平分BEG， 所以NEF所以

1111NEFMEGAEFBEG(AEFBEG)(AEBFEG)．

2222因为AEB180，FEG30， 所以NEFMEG11803075， 2所以MENNEFFEGMEG7530105． （3）因为EN平分AEF，EM平分BEG，

11AEFAEN，MEGBEGBEM， 22若点G在点F的右侧，MENNEFFEGMEG，

所以NEFFEG(NEFMEG)(AENBEM)(180)2180；

若点G在点F的左侧，MENNEFMEGFEG

FEGNEFMEGAENBEM1801802．

【点睛】

本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

13．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点．

(1)用1个单位长度表示1cm，请你在数轴上表示出A，B， C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm.

(3)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索:CA−AB的值是否会随着t的变化而改变?请说明理由． 解析：（1）数轴见解析；（2）6；（3）CA−AB的值不会随着t的变化而改变，理由见解析； 【分析】

（1）在数轴上表示出A，B，C的位置即可； （2）求出CA的长即可；

（3）不变，理由如下：当移动时间为t秒时，表示出A，B，C表示的数，求出CA-AB的值即可做出判断． 【详解】 (1)如图:

(2)CA=4−(−2)=4+2=6cm， (3)不变，理由如下: 当移动时间为t秒时，

点A. B. C分别表示的数为−2+t、−5−2t、4+4t， 则CA=(4+4t)−(−2+t)=6+3t，AB=(−2+t)−(−5−2t)=3+3t， ∵CA−AB=(6+3t)−(3+3t)=3

∴CA−AB的值不会随着t的变化而改变. 【点睛】

此题考查数轴，两点间的距离，整式的加减，列代数式，解题关键在于结合数轴进行解答. 14．如图，直角三角形ABC的两条直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC为轴旋转一周．求所形成的立体图形的体积．

解析：6π立方厘米 【解析】

试题分析：先根据勾股定理求出斜边为5厘米，再用“3×4÷5=2.4厘米”求出斜边上的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可． 试题

过B作BD⊥AC，

∵直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，

∴AC=3242=5（厘米）， 斜边上的高为“3×4÷5=2.4（厘米）， 所形成的立体图形的体积：

132.425 =9.6π（立方厘米）．

15．线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF．

解析：【分析】

根据题意和图形可以求得线段EB、BC、CF的长，从而可以得到线段EF的长． 【详解】

∵E，F分别是线段AB，CD的中点， ∴AB=2EB=2AE，CD=2CF=2FD，

∵AD=AB+BC+CD=2EB+BC+2CF=6，AC=2EB+BC=4， ∴AC+2CF=6， 解得，CF=1， 同理可得：EB=1， ∴BC=2，

∴EF=EB+BC+CF=1+2+1=4． 【点睛】

此题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

16．如图所示，已知射线OC将∠AOB分成1∶3的两部分，射线OD将∠AOB分成5∶7的两部分，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数．

解析：90° 【分析】

设∠AOB的度数为x，根据题意用含x的式子表示出∠AOC，∠AOD，根据角的关键列出方程即可求解． 【详解】

解：设∠AOB的度数为x．

因为射线OC将∠AOB分成1∶3两部分， 所以∠AOC＝

1x． 45x． 12因为射线OD将∠AOB分成5∶7两部分， 所以∠AOD＝

又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，∠COD＝15°，

51x－x． 124解得x＝90°，

所以15°＝

即∠AOB的度数为90°．

【点睛】

本题考查了角的和差，设出未知数，表示出∠AOC，∠AOD，列出方程是解题关键． 17．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE=90°.

（1）如图1，若OC平分∠AOE,求∠AOD的度数；

（2）如图2，若∠BOC=4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度数. 解析：（1）135°；（2）54° 【分析】

（1）利用OC平分∠AOE，可得∠AOC＝∠AOC+∠AOD=180°，即可得出．

（2）由∠BOC=4∠FOB，设∠FOB=x°，∠BOC=4x°，可得∠COF=∠COB-∠BOF=3x°，根据OE平分∠COF，可得∠COE=∠EOF=【详解】

（1）∵∠AOE=90°，OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝

11∠AOE＝×90°＝45°，再利用2231∠COF=x°，即可得出． 2211∠AOE＝×90°＝45°， 22∵∠AOC+∠AOD=180°，

∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°， 即∠AOD的度数为135°． （2）∵∠BOC=4∠FOB， ∴设∠FOB=x°，∠BOC=4x° ∴∠COF=∠COB-∠BOF =4x°-x°=3x° ∵OE平分∠COF ∴∠COE=∠EOF=∵

31∠COF=x° 223x+x＝90° 2∴x=36，

33x°=×36°＝54° 22即∠EOF的度数为54°． 【点睛】

∴∠EOF=

本题考查了角平分线的性质、方程思想方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力．

18．如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点.

(1)若AM1,BC4，求MN的长度． (2)若AB6,求MN的长度． 解析：（1）3；（2）3. 【分析】

（1）由中点可得CN和MC的长，再由 MN=MC+CN可求得MN的长； （2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长，可求得MN的长度． 【详解】

解：(1)∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM1，BC4， ∴CN2，AMCM1， ∴MNMCCN3.

(2)∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB6， ∴NMMCCN【点睛】

本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．

19．已知AOB90，OC为一条射线，OE，OF分别平分AOC，BOC，求

1AB3. 2EOF的度数．

解析：45

【分析】

本题需要分类讨论，当OC在AOB内部时，根据OE，OF分别平分AOC和

11BOC，所以COEAOC，COFBOC，即可求出EOF的度数；当

22OC在AOB外部时，OE，OF分别平分AOC和BOC，所以

11EOCAOC，FOCBOC，所以

2211EOFFOCEOCBOCAOC，即可解决．

22【详解】

解：①如图，当OC在AOB内部时．

因为OE，OF分别平分AOC和BOC，所以COE1AOC，21COFBOC，

2所以COECOF11AOCBOC， 22即∠EOF∠AOB． 又因为AOB90， 所以EOF45．

②如图，当OC在AOB外部时．

12

因为OE，OF分别平分AOC和BOC， 所以EOC所以

11AOC，FOCBOC， 221111EOFFOCEOCBOCAOC(BOCAOC)AOB452222．

综上所述，EOF45． 【点睛】

本题主要考查了角度的计算和角平分线的定义，熟练分类讨论思想，并且画出图形是解决本题的关键．

20．一个锐角的补角比它的余角的4倍小30，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数．

解析：这个锐角的度数为50，这个角的余角的度数为40，补角的度数为130． 【分析】

设这个锐角为x度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】

设这个锐角为x度，由题意得：

180x490x30，

解得x50．

即这个锐角的度数为50．

905040，18050130．

答：这个锐角的度数为50，这个角的余角的度数为40，补角的度数为130． 【点睛】

本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 21．如图，射线ON，OE，OS，OW分别表示以点O为中心的北，东，南，西四个方向，点A在点O的北偏东45方向，点B在点O的北偏西30方向．

（1）画出射线OB，若BOC与AOB互余，请在图（1）或备用图中画出BOC； （2）若OP是AOC的平分线，直接写出AOP的度数．（不需要计算过程） 解析：（1）见解析；（2）45或30． 【分析】

（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】

（1）如图所示，BOC与BOC即为所求．

（2）AOP的度数为45或30．

∵∠AON=45°，∠BON=30°， ∴∠AOB=75°， ∵∠BOC与∠AOB互余， ∴∠BOC=∠BOC′=15°， ∴∠AOC=90°，∠AOC=60°， ∵OP是∠AOC的角平分线， ∴∠AOP=45°或30°． 【点睛】

本题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．

22．关于度、分、秒的换算． （1）5618用度表示； （2）123224用度表示； （3）12.31用度、分、秒表示．

解析：（1）56.3．（2）12.54．（3）121836． 【分析】

（1）将18转化为18(1)0.3即可得到答案； 6011)0.4，32.4转化为32.4()0.54即可得到答案； 6060（3）将0.31转化为0.316018.6，将0.6转化为0.66036即可得到答案． 【详解】

（2）将24转化为24(（1）561856185618(（2）123224

1)56.3； 60123224

123224(1) 601232.4

1232.4(1) 6012.54；

（3）12.31120.31 120.3160 1218.6 12180.6 12180.660 121836

121836． 【点睛】

本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． 23．如图，是一个几何体的表面展开图．

（1）该几何体是________；

A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥 （2）求该几何体的体积． 解析：（1）C；（2）4 【分析】

（1）本题根据展开图可直接得出答案． （2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可． 【详解】

（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C．

1（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积222；该几何体的高为2；

2故该几何体体积=底面积高=22=4． 【点睛】

本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．

24．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OE是射线OB的反向延长线. (1)求射线OC的方向角； (2)求∠COE的度数；

(3)若射线OD平分∠COE，求∠AOD的度数.

解析：(1)射线OC的方向是北偏东70°；(2)∠COE＝70°；(3)∠AOD＝90°. 【分析】

（1）先求出∠AOC=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；

（2）根据∠AOC=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COE的度数； （3）根据射线OD平分∠COE，即可求出∠COD=35°再利用∠AOC=55°求出答案即可． 【详解】

(1)∵射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40° 即∠NOA＝15°，∠NOB＝40°， ∴∠AOB＝∠NOA＋∠NOB＝55°， 又∵∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOC＝55°，

∴∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝15°+ 55°70°， ∴射线OC的方向是北偏东70°. (2)∵∠AOB＝55°，∠AOB＝∠AOC，

∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝55°+55°＝110°， 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOE＝180°，

∴∠COE＝180°－110°＝70°， (3)∵∠COE＝70°，OD平分∠COE， ∴∠COD＝35°，

∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝55°+35°＝90°. 【点睛】

此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．

25．已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，BC＝6cm，M为线段AB的中点，N为线段BC的中点，求线段MN的长． 解析：2cm或8cm 【分析】

分两种情况：（1）点C在线段AB上时，（2）点C在AB的延长线上时，分别求出线段MN的值，即可． 【详解】

解：（1）若为图1情形， ∵M为AB的中点， ∴MB＝MA＝5cm， ∵N为BC的中点， ∴NB＝NC＝3cm， ∴MN＝MB﹣NB＝2cm； （2）若为图2情形， ∵M为AB的中点， ∴MB＝AB＝5cm， ∵N为BC的中点， ∴NB＝NC＝3cm， ∴MN＝MB+BN＝8cm．

【点睛】

本题主要考查线段的和差倍分和线段的中点概念，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键．

26．如图，点C是AB的中点，D，E分别是线段AC，CB上的点，且AD＝

2AC，DE＝33AB，若AB＝24 cm，求线段CE的长． 5

解析：CE＝10.4cm．

【分析】

根据中点的定义，可得AC、BC的长，然后根据题已知求解CD、DE的长，再代入CE=DE-CD即可. 【详解】

113AB=12cm，CD=AC=4cm，DE=AB=14.4cm，

352∴CE=DE﹣CD=10.4cm.

27．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．

∵AC=BC=

（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ； （2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？ （3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．

解析：（1）180°；（2）180°；（3）60°． 【解析】

试题分析：（1）先根据OB平分∠COD得出∠BOC及∠AOC的度数，进而可得出结论； （2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；

（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC，根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论． 解：（1）∵OB平分∠COD， ∴∠BOC=∠BOD=45°． ∵∠AOC+∠BOC=45°， ∴∠AOC=45°，

∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°． 故答案为180°；

（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°， ∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°； （3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°， ∴∠AOD=180°﹣∠BOC． ∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC）， ∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC）， ∴∠BOC=60°．

考点：余角和补角；角平分线的定义． 28．如图，已知线段AB和CD的公共部分BDE、F之间的间距是10cm，求AB、CD的长．

11ABCD，线段AB、CD的中点34

解析：AB=12cm，CD=16cm 【分析】

先设BD=xcm，由题意得AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE=1.5xcm和CF=2xcm，再根据EF=AC-AE-CF=2.5xcm，且E、F之间距离是EF=10cm，所以2.5x=10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长． 【详解】

设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．

∵点E、点F分别为AB、CD的中点， ∴AE=

11AB=1.5xcm，CF=CD=2xcm． 22∴EF=AC－AE－CF=2.5xcm． ∵EF=10cm，

∴2.5x=10，解得：x=4． ∴AB=12cm，CD=16cm． 【点睛】

本题考查了线段中点的性质，设好未知数，用含x的式子表示出各线段的长度是解题关键．

29．如图，OC是∠AOB的平分线，∠AOD比∠BOD大30°，则∠COD的度数为________．

解析：15° 【分析】

设∠BOD＝x，分别表示出∠AOD＝x＋30°，∠AOC= x＋15°，即可求出∠COD． 【详解】

解：设∠BOD＝x，则∠AOD＝x＋30°， 所以∠AOB＝2x＋30°． 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠AOC＝

1∠AOB= x＋15°， 2所以∠COD=∠AOD-∠AOC＝15°． 故答案为：15° 【点睛】

本题考查了角平分线的定义，角的和差等知识，理解角平分线的定义，并用含x的式子表示是解题关键．

30．如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．

（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；

1∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数． 2解析：（1）见解析；（2）72° 【解析】

（2）若∠BOE=

【分析】

1∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x2度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法． 【详解】

（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，

（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=所以∠BOD=所以∠DOE=

11∠AOB，∠BOE=∠BOC， 2211（∠AOB+∠BOC）=∠AOC=90°； 22

（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，

1（180°–3x）， 2则∠BOE+∠BOD=∠DOE，

则∠BOD=

1（180°–3x）=72°， 2解得x=36°，

故∠EOC=2x=72°． 【点睛】

即x+

本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．