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信号与系统
第一章
1.1 连续时间与离散时间信号
确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数
连续时间信号在[t1,t2]区间的能量定义为：
连续时间信号在[t1,t2]区间的平均功率定义为：
离散时间信号在[n1,n2]区间的能量定义为
离散时间信号在[n1,n2]区间的平均功率为在无限区间上也可以定义信号的总能量：
连续时间情况下:
离散时间情况下:
在无限区间内的平均功率可定义为： T T
1PlimT2Tx(t)2dt.
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能量信号——信号具有有限的总能量，即：
E,P0
功率信号——信号有无限的总能量，但平均功率有限。即：
信号的总能量和平均功率都是无限的。即：
如果信号是周期信号，则
E,P
或
这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征
或
或
如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。
1.2 自变量的变换
1.时移变换
当
时，信号向右平移
时，信号向左平移
当时，信号向右平移时，信号向左平移
.
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2. 反转变换
信号以t=0为轴呈镜像对称。
3. 尺度变换
与连续时间的情况相同。
时,是将在时间上压缩a倍，
时,是将在时间上扩展1/a倍。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
周期信号与非周期信号: 周期信号：
满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称为信号的基波周期（ ）。
可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。 可以视为周期信号，其基波周期
奇信号与偶信号:
对实信号而言： 如果有
。
和
则称该信号是偶信号。（镜像偶对称）
如果有
和和
则称该信号为奇信号.（镜像奇对称） 对复信号而言：
如果有则称该信号为共轭偶信号。
.
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如果有
和
则称为共轭奇信号。
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。 对实信号有：
其中
其中
对复信号有：
其中：
其中：
1.3 复指数信号与正弦信号
一. 连续时间复指数信号与正弦信号
其中 C, a 为复数
.
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1. 实指数信号： C，a 为实数
呈单调指数上升 呈单调指数下降。
是常数。
2. 周期性复指数信号与正弦信号:
取
,
显然是周期的，其基波周期为：
其基波周期为 基波频率为
当时,通常称为直流信号。
对来说,
它在一个周期内的能量为
它的平均功率为：
成谐波关系的复指数信号集:
该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率分别为因而称它们是成谐波关系的 信号集中信号的基波频率为
，基波周期为
，各次谐波的周期分别为
，
k
，都是的整数倍，
.
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它们的公共周期是T0=2π/w0。
当k取任何整数时，该信号集中的每个信号都是彼此的。只有该信号集中的所有信号才能构成一个完备的正交函数集。 一般复指数信号:
令则
,
该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。
r>0时，是指数增长的正弦振荡。 r<0时，是指数衰减的正弦振荡。 r=0时，是等幅的正弦振荡。
r>0 r<0
r=0
二.离散时间复指数信号与正弦信号
一般为复数
均为实数
1. 实指数信号：
.
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时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减
10时，呈摆动指数衰减
时，呈摆动指数增长
2. 正弦信号：
其中为实数。
离散时间信号的频率表示为，其量纲是弧度。
离散时间正弦信号不一定是周期的，这是与连续时间正弦信号的重大区别。 3. 一般复指数信号：
令
则
其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。
当时幅度呈指数增长，时幅度呈指数衰减。
.
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三.离散时间复指数序列的周期性
离散时间复指数序列件。 设周期为N,
不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条
即
表明只有在
于是有
与2π的比值是一个有理数时，才具有周期性。
对，当 时，对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。
当变化时，并非所有的都是互相的.
离散时间信号的有效频率范围只有2π区间.因为
处都对应最低频率,k为整数
处都对应最高频率。k为整数
在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数 m, N 使得：
（m与N无公因子）
即为该信号的周期, 也称为基波周期,因此该信号的基波频率为
此时
离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。
.
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该信号集中的每一个信号都是以N为周期的, N是它们的基波周期。
称为直流分量.
称为基波分量.
称为二次谐波分量等等,
每个谐波分量的频率都是的整数倍。
特别值得指出的是：该信号集中的所有信号并不是全部的。
显然有：
这表明：该信号集中只有N个信号是的。即当k 取相连的N个整数时所对应的各个谐波才是彼此的。因此，由N个的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集。
信号和的比较
❖ ❖ 1.
不同，信号不同
信号都是周期的
❖ 2. 对任何
❖ 3. 基波频率
❖ 4. 基波周期：T0
❖
:
1. 频差
的整数倍时，信号相同
2. 仅当
时，信号是周期的
.
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3. 基波频率
4. 基波周期：N
1.4 单位冲激与单位阶跃
一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃
1. 单位脉冲序列
2. 单位阶跃序列
,,
;
,
,
与之间的关系:
,一次差分
具有提取信号
中某一点的样值的作用。
.
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二. 连续时间单位阶跃与单位冲激
1. 单位阶跃
,
2. 单位冲激
,
定义的不严密性，由于
在
不连续，因而在该处不可导。
可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度趋于零时的极限。
矩形面积称为冲激强度。
也具有提取连续时间信号样本的作用。
用阶跃表示矩形脉冲
.
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1.5 连续时间与离散时间系统
一. 系统
连续时间系统：输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。
离散时间系统：输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。
系统分析的基本思想：
1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为描述输入－输出关系的方程。 2. 建立求解这些数学模型的方法。
二. 系统的互联
可以通过对简单系统（子系统）的分析并通过子系统互联而达到分析复杂系统的目的 也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统 这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。
1. 级联
2. 并联
.
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工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：
3. 反馈联结
1.6 系统的基本性质
1. 记忆系统与无记忆系统
在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是无记忆系统。否则就是记忆系统
如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系统是记忆的。
在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同，即
或
这样的无记忆系统称为恒等系统
2. 可逆性与逆系统
如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统是可逆系统
如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为不可逆系统
如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统，则称后者是前者的逆系统 如:
.
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例子:
是可逆系统，其逆系统是:
是可逆系统，其逆系统是:
是不可逆系统，因为有两个不同的输入能产生相同的输出。 也是不可逆系统。
是不可逆系统,
因为无法从还原为
调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调器或解码器。
3. 因果性
如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是因果的。否则就是非因果的。 一般说来，非因果系统是物理不可实现的。
时
决定于以后时刻的输入。
是非因果系统。
RLC电路,
都是因果系统。
,
4. 稳定性
如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是稳定系统。否则，就是不稳定系统.
单摆、RC电路都是稳定系统;
也是稳定系统。
.
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都是不稳定系统。
5. 时不变性
如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是时不变的。否则就是时变的。 即：若
则系统是时不变的。
检验一个系统时不变性的步骤:
1.令输入为，根据系统的描述，确定此时的输出。
2. 将输入信号变为，再根据系统的描述确定输出
3. 令根据自变量变换，检验是否等于
。
例子:
当当
时,时,
令,则有
由于
系统是时变的
.
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6线性
若
其中a,b是常数（包括复数），满足
此关系的系统是线性的。
例如:
部变为虚部，虚部变为实部。
,满足可加性，但不满足齐次性。当时其实
满足齐次性但不满足可加性。
因为，若输入为 ,则
如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号
分解成若干个简单信号的线性组合
时，只要能得到该系统对每一个简单信号所产生的响应，就可以很方便的根据线性特性，通过线性组合而得到系统对
的输出响应。即
若,且,
则
在工程实际中，有一类系统并不满足线性系统的要求。但是这类系统的输出响应的增量与
输入信号的增量之间满足线性特性。这类系统称为增量线性系统.
如:,显然有
.
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该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但当考查输入的增量与输出的增量之间的关系
时，有
可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关系的，它是一个增量线性系统。 任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统再加上一部分与输入无关的响应。
当增量线性系统的时，。此时系统的输出响应完全由
决定。此时系统处于零初始状态，故将称为系统的零状态响应。
根据线性系统的齐次性，可得出：线性系统当输入为零（即根本没有输入）时，系统的输出响应为零（即没有输出响应）。这就是所谓线性系统的零输入—零输出特性。 增量线性系统当
时，有
，因此将
称为系统的零输入响应。
可见，增量线性系统的响应包括零输入响应和零状态响应两部分。
第二章
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 ,我们已经看到可以由它的线性组合构成
即
对任何离散时间信号
,如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次
取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
.
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于是有：表明：任何信号
都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。
二. 卷积和
如果一个线性系统对的响应是，由线性特性就有系统对任何输入
的响应为：
若系统具有时不变性，即： 若
，则
的响应的响应：
--------单位脉冲响应,
因此，只要得到了LTI系统对LTI系统对任何输入信号
就可以得到
这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积和.
三. 卷积和的计算
计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）. 运算过程： 一个信号
不动，另一个信号经反转后成为
与。
,再随参变量
移位。在每个
值的情况下，将到例1：
时刻的
对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得
.
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例2：
① 时，
② 时，
③ 时，
④ 时，
.
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⑤ 时， 例3. 列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： ①
与
的所有各点都要遍乘一次；
②在遍乘后，各点相加时，根据
点都具有与的宗量之和为优点：计算非常简单。
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和； ② 一般情况下，无法写出
的封闭表达式.
的特点。
，参与相加的各
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
一. 用冲激信号表示连续时间信号
连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃
与单位冲激之间有这种关系：对一般信号
，可以将其分成很多
宽度的区段，用一个阶梯信号
近似
表示。当时，有
引用，即：
.
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则有：第
个矩形可表示为：
，
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号
即：当
时，
于是：
表明：任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。
二. 卷积积分
如果一个线性系统对的响应为，则该系统对的响应可表示
为：
若系统是时不变的，即：若，则有:
于是系统对任意输入 的响应可表示为：
(式子n换
成t,k换成)
.
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表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应称为卷积积分
来表征。这种求得系统响应的运算关系
三. 卷积积分的计算
卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法。
运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量对每一个
的值，将
和
移动。
对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面
积。
通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。
例1:
例2 :
.
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① 当时，
② 当时,
③ 当时,
④ 当时,
⑤ 当时,
.
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2.3 线性时不变系统的性质
一. 卷积积分与卷积和的性质
1. 交换律：
结论：
一个单位冲激响应是激响应是2. 分配律：
的LTI系统对输入信号
所产生的响应，与一个单位冲
的LTI系统对输入信号所产生的响应相同。
.
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结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。 3.结合律:
结论：
• 两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲)响应等于各子系统单位冲激(脉冲)响
应的卷积。
• 由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。
产生以上结论的前提条件：
① 系统必须是LTI系统；
② 所有涉及到的卷积运算必须收敛。
.
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若交换级联次序，即成为：
显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。 又如：若
时，如果交换级联次序，则由于
许的。
，虽然系统都是LTI系统。当
不收敛，因而也是不允
4. 卷积运算还有如下性质：
卷积积分满足微分、积分及时移特性：
卷积和满足差分、求和及时移特性：
.
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例如：2.2 中的例2
根据微分特性有:
利用积分特性即可得:
.
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二.LTI系统的性质
LTI 系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。 1. 记忆性：
如果LTI系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要求，则系统是记忆的。 2. 可逆性：
如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。
.
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但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。 3. 因果性：
4. 稳定性：
.
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这是LTI系统稳定的充分必要条件。 5. LTI系统的单位阶跃响应：
LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。
2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统
一.线性常系数微分方程
1.
分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。
2.3.
.
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4.
5.也就是要求确定待定系数所需的一组附加条件的值必须全部为零，因此， LCCDE具有一组零附加条件时，才能描述线性系统。
可以证明：当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不变的。
在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始条件。 6.结论：
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述一个因果的LTI系统。这组条件是：
如果一个因果的LTI系统由LCCDE描述，且方程具有零初始条件，就称该系统初始是静止的或最初是松弛的。
如果LCCDE具有一组不全为零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是增量线性的。
.
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二.线性常系数差分方程:
1.
2. 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条件。同样地，当LCCDE具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。 3.对于差分方程，还可以将其改写为：
若将差分方程改写为：
.
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4.FIR系统与IIR系统是离散时间LTI系统中两类很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。
5.由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有与输入信号相同的函数形式，即特解完全是由输入信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为受迫响应或强迫响应。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应。 6.增量线性系统的响应分为零状态响应和零输入响应。零输入响应由于与输入信号无关，因此它属于自然响应。零状态响应既与输入信号有关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。
三.由微分和差分方程描述的LTI系统的方框图表示
1.由差分方程描述的LTI系统的方框图表示：
.
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据此可得方框图：
将其级联起来,就成为LCCDE描述的系统，它具有与差分方程完全相同的运算功能。显然, 它可以看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序, 并将移位单元合并，于是得到：
.
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2. 由微分方程描述的LTI系统的方框图表示：
对此积分方程完全按照差分方程的办法有：
通过交换级联次序，合并积分器可得直接Ⅱ型：
直接Ⅰ型
.
2.5 奇异函数
一.
1.
.
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