几何综合题（10）
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全等三角形的构造方法
全等三角形是初中几何的重要内容，它是证明线段相等、角相等的重要依据。构造全等三角形，技巧性强，难度大，在实际问题中，如何迅速地找到解题思路呢？具体问题具体分析，每个题目都有自己的最有特色的最具关键性的条件，利用这个关键性条件构造全等三角形，常可达到事半功倍的效果。 1．截长补短法
(1)已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2。求证：AB=AC+CD。
A
截长: 1 2
B D C
补短:
练习;
已知：AD平分BAC，ACABBD。求证：B2C。
A B D
C
2.倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 A 如图，AD是△ABC的中线， 求证：AB+AC>2AD
B D C
3．平行线法（或垂直法）
在ABC中，AB = AC， E是AB上任意一点， 延长AC到F，使BE = CF，连接EF交BC于M。 求证：EM = FM。
A
E B M
C F
如图，∠AOB＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线上的任意一点P，使三 角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试证PE＝PF
A
EP OF B
4. 利用中点、中线，构造全等三角形
如图1，在Rt△ACB中，AC=BC,点O是斜边AB的中点，，将一个直角的顶点放在点O处，两直角边分别交AC、BC于M、N。
（1）求证：CM+CN=AC。
C
M
N AB
O（2）如图2， 若点M、N分别在AC、CB的延长线上，其它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明理由。 M C
B
AON
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．
5*.利用全等变换，构造全等三角形
1．旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
例1．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，
A 求∠APB的度数．
分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5， D 联想到构造直角三角形．
略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△ACD，连接PD，
P 则△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°，
B C
又∵PC=5，PD2+DC2=PC2 图（6） ∴△PDC为Rt△, ∠PDC=90º∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90º=150º．
练习：如图，已知E、F分别在正方形ABCD的边BC和DC上，且∠EAF＝45°,AK为自A向EF所引的垂线，K为垂足，求证AK＝AB。
AD F KG BEC
2.翻折法
若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例2．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，
求：△ABC的面积．
解：以AB为轴将△ABD翻转180º，得到与它全等
A 的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180º，得到 与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证 四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG
E F B D C =x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）2+（x-2）2=52． G
解得x=6，则AD=6，∴S1△ABC=
2×5×6=15． 图（8）
如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD＝2,BC＝8 求(1)BE的长，(2) ∠CDE的正切值
ADFBEC