2024届湖北省名校联盟高三数学第一学期期末监测模拟试题含解析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数fx2x3ax21在0,内有且只有一个零点，则a的值为（ ） A．3

B．－3

C．2

D．－2

2．已知a3b3，且(2ab)(a4b)，则2ab在a方向上的投影为（ ） A．

7 3B．14

C．

20 3D．7

P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，3．在三棱锥PABC中，且AD2CD，AC6，ABBC5，PD4.设三棱锥PABC的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ） A．

6 8B．

6 6C．

526 8D．

526 ．函数f(x)2sin(x)(0,0)的部分图像如图所示，若AB5，点A的坐标为(1,2)，若将函数f(x)向右平移m(m0)个单位后函数图像关于y轴对称，则m的最小值为（ ）

A．

1 2B．1 C．

 3D．

 25．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A．

B．

C．

D．

内；

6．在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DFAC1，则下述结论：①AC1BC；②AFFC1；③平面DAC1平面ACC1A1：④异面直线AC1与CD所成角为60其中正确命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3

2，则sin(2)（ ）

23D．4

7．已知cos(2019)A．

7 9B．

5 9C．5 9D．7 98．已知复数z满足zi20201i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ） A．1

B．1

C．i

D．i

9．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22列联表，由计算得K27.218,参照下表:

P(K2k0) 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 得到正确结论是( )

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”

C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”

D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”

10．把满足条件（1）xR，fxfx，（2）x1R，x2R，使得fx1fx2的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ）

①yx2|x| ②yx3 ③yexex ④ycosx ⑤yxsinx A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

x2y211．存在点Mx0,y0在椭圆221(ab0)上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线

abbx0xy0y0,1垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 222ab20,A． 22B．2,1

30,C． 33D．3,1

kx,x012．记f(x)x[x]其中[x]表示不大于x的最大整数g(x)1，若方程在f(x)g(x)在[5,5]有7个不

,x0x同的实数根，则实数k的取值范围( ) A．,

65

11

B．11, 65C．,11 54D．,11 54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知在等差数列an中，a717，a1a3a515，前n项和为Sn，则S6________. 14．已知ab2，a2bab2，则a与b的夹角为 .

15．在三棱锥PABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PBPA1,PAPC4，则三棱锥PABC外接球的表面积的最小值为________.

16．设f(x)是定义在0,上的函数，且f(x)0，对任意a0,b0，若经过点a,f(a),b,f(b)的一次函数与x轴的交点为c,0，且a、b、c互不相等，则称c为a,b关于函数f(x)的平均数，记为Mfa,b.当

f(x)_________x0时，Mfa,b为a,b的几何平均数ab.（只需写出一个符合要求的函数即可）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn2an1(nN*)． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：14． 2a3k1knx2y2218．（12分）已知椭圆221ab0，点A1,0,B0,1，点P满足OAOBOP（其中O为坐标原

ab2点），点B,P在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为F，若不经过点F的直线l:ykxm k0,m0与椭圆C交于M,N两点.且与圆

x2y21相切.MNF的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

19．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.

订单：（单位：万件） 频数 订单：（单位：万件） 频数 3,5 1 5,7 2 7,9 2 9,11 3 11,13 40 13,15 20 15,17 20 17,19 10 19,21 2 （1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. 外卖甲 业绩突出城市 业绩不突出城市 总计 外卖乙 总计 （2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z（单位：万件）近似地服从正态分布

N(,2)，其中近似为样本平均数x（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.，现把频

率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X为外卖甲在今年3月订单数位于区间(4.88,15.8)的城市个数，求X的数学期望；

②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？

2n(adbc)2附：①参考公式：K，其中nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)参考数据：

P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 2②若ZN(,)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.

20．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：

（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；

（2）根据统计数据建立一个22列联表；

（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.

n(adbc)2 附：K(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2)k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 k0

7.879 21．（12分）如图1，在等腰RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，F为CD的中点，G在线段BC上，且BG3CG。将ADE沿DE折起，使点A到A1的位置（如图2所示），且A1FCD。

（1）证明：BE//平面A1FG；

（2）求平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值

x222．（10分）已知椭圆C:y21的右焦点为F，直线l：x2被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上(异于

2椭圆左、右顶点)，过点P作直线m:ykxt与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q. （1）求证：PFQF.

（2）若点P在x轴的上方，当△PQF的面积最小时，求直线m的斜率k. 附：多项式因式分解公式：t3t5t1t1t4t1

2242

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【解题分析】

求出f(x)6x2ax，对a分类讨论，求出(0,)单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.

2【题目详解】

af(x)6x22ax6x(x)，

3若a0，x(0,),f(x)0，

f(x)在0,单调递增，且f(0)10， f(x)在0,不存在零点；

a若a0，x(0,),f(x)0,x(0,),f(x)0，

3fx2x3ax21在

0,内有且只有一个零点，

a13f()a10,a3. 327故选:A. 【题目点拨】

本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题. 2、C 【解题分析】

由向量垂直的向量表示求出ab，再由投影的定义计算． 【题目详解】 由(2ab)(a4b)

可得(2ab)(a4b)2a27ab4b20，因为|a|3|b|3，所以ab2．故2ab在a方向上的投影

(2ab)a2a2ab18220为．

|a||a|33故选：C． 【题目点拨】

本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．

3、A 【解题分析】

设AC的中点为O先求出ABC外接圆的半径，设QMa，利用QM平面ABC，得QM∥PD ，在MBQ 及

DMQ中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可

【题目详解】

设AC的中点为O,因为ABBC，所以ABC外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r. 因为BO4，所以(4r)3r，解得r22225. 8113. 8因为ODOCCD321，所以DM12(4r)2设QMa，易知QM平面ABC，则QM∥PD. 因为QPQB，所以(PDa)2DM2即(4a)故选：A

2a2r2，

1136256a2. ，解得a1.所以球Q的半径RQBa2r28

【题目点拨】

本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 4、B 【解题分析】

根据图象以及题中所给的条件，求出A,和，即可求得fx的解析式，再通过平移变换函数图象关于y轴对称，求得m的最小值. 【题目详解】

由于AB5，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数fx的半个周期

T23，所以T6， 23又A1,2，0，则有2sin152，可得， 365fx2sinx所以632sinx2cosx1， 3233将函数fx向右平移m个单位后函数图像关于y轴对称，即平移后为偶函数， 所以m的最小值为1， 故选：B. 【题目点拨】

该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目. 5、C 【解题分析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【题目详解】

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高

分，平均成绩为低于

分，①错误；

内，②正确；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C． 【题目点拨】

本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 6、B 【解题分析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F是AC1的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线AC1与CD所成角判断④的正误． 【题目详解】

解：不妨设棱长为：2，对于①连结AB1，则AB1AC122，AC1B190即AC1与B1C1不垂直，又BC//B1C1，

①不正确；

对于②，连结AD，DC1，在ADC1中，ADDC15，而DFAC1，F是AC1的中点，所以AFFC1，②正确；

对于③由②可知，在ADC1中，连结CF，易知CFDF3， 而在RtCBD中，CD5，DF2CF2CD2，2，即DFCF，又DFAC1，∴DF面ACC1A1，平面DAC1平面ACC1A1，③正确；

以A1为坐标原点，平面A1B1C1上过A1点垂直于A1C1的直线为x轴，A1C1所在的直线为y轴，A1A所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系；

A10,0,0， B13,1,0，C10,2,0， A0,0,2， C0,2,2， D3,1,1；

AC10,2,2， CD3,1,1；

异面直线AC1与CD所成角为，cos故选：B．

AC1CD|AC1||CD|0，故90．④不正确．

【题目点拨】

本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 7、C 【解题分析】

利用诱导公式得cos(2019)cos，sin(【题目详解】 由cos(2019)22)cos2，再利用倍角公式，即可得答案.

222可得cos()，∴cos，

333∴sin(252)cos22cos2121. 299故选：C. 【题目点拨】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号. 8、A 【解题分析】

由虚数单位i的运算性质可得z1i，则答案可求. 【题目详解】 解：∵i41，

∴i2020i45051，i2019i45043i， 则zi20201i2019化为z1i， ∴z的虚部为1. 故选：A. 【题目点拨】

本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题. 9、B 【解题分析】

通过K27.218与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【题目详解】

解:K27.2186.635，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【题目点拨】

本题考查了性检验的应用问题，属于基础题. 10、B 【解题分析】

满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【题目详解】

满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.

故选：B. 【题目点拨】

本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 11、D 【解题分析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【题目详解】

b2x0x0xy0y因为过点M椭圆的切线方程为221,所以切线的斜率为2,

ay0aby0b32b2bx01,解得y02b,即b22c2,所以a2c22c2, 22cx0ay0由

所以

c3. a3故选：D 【题目点拨】

本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 12、D 【解题分析】

做出函数f(x),g(x)的图象，问题转化为函数f(x),g(x)的图象在[5,5]有7个交点，而函数f(x),g(x)在[5,0]上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【题目详解】

作出函数f(x),g(x)的图象如图所示，由图可知

方程f(x)g(x)在[5,0]上有3个不同的实数根，

则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线ykx经过(4,1)时，k当直线ykx经过(5,1)时，k可知当

1； 41， 511k时，直线ykx与f(x)的图象在[0,5]上有4个交点， 54即方程f(x)g(x)，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【题目点拨】

本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、39 【解题分析】

设等差数列公差为d,首项为a1,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得S6即可. 【题目详解】

设等差数列公差为d,首项为a1,根据题意可得a7a16d17a11,解得,所以

aa2da4d15111d31S61665339.

2故答案为：39 【题目点拨】

本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题. 14、60 【解题分析】

根据已知条件(a2b)(ab)2，去括号得：

aab2b422cos242，

221cos,60

215、14 【解题分析】

设PAx，可表示出PB,PC，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得

外接球表面积． 【题目详解】

设PAx则PCx1,PC4x，由PA,PB,PC两两垂直知三棱锥PABC的三条棱PA,PB,PC的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r， ∴2rx2x14x3x26x17 22当x1时，2rmin14,rmin故答案为：14． 【题目点拨】

1414,S表=4214． 22本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和． 16、x 【解题分析】

由定义可知a,fa,b,fb,c,0三点共线，即而可求出正确答案. 【题目详解】

解：根据题意Mfa,bcab，由定义可知：a,fa,b,fb,c,0三点共线.

faaabfbabb，通过整理可得fxtxt0，继

fafbfafbfafb故可得：，即，整理得：， abaababbaccb故可以选择f(x)故答案为:

x,x0,f(x)2xx0等.

x. 【题目点拨】

本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）an【解题分析】

2n1，nN*．（Ⅱ）见解析

S1,n1（1）由an，分n1和n2两种情况，即可求得数列an的通项公式；

SS,n2n1n1111n1()，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. （2）由题，得2an(2n1)24n14【题目详解】 （Ⅰ）解：由题，得

当n1时，a1S12a11，得a11；

当n2时，anSnSn12an12an11，整理，得an2an1．

数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，

an12n12n1，nN；

1111n1()， （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，2an(2n1)24n14故1111222 a12a2ank1akn1111()1()2()n1

44411()n4 114441n4()． 3343故得证． 【题目点拨】

本题主要考查根据an,Sn的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.

x218、（1）y21（2）是，22 2【解题分析】

（1）设Px,y,根据条件可求出P的坐标，再利用B，P在椭圆上，代入椭圆方程求出a，b即可;

（2）设Mx1,y1,Nx2,y2x10, x20运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出MQ，NQ,再利用焦半径公式

NF,进而求出周长为定值． 表示出MF，【题目详解】

(1)设Px,y,因为OA2OBOP, 22221,,即P, 即(1,0)(0,1)(x,y),则x1,y2221012bx222,解得a2,b1,所以椭圆C的方程为y21; 因为B,P均在C上,代入得1212221ab (2)由(1)得F(1,0),e2,a2,作出示意图, 2设切点为Q,Mx1,y1,Nx2,y2x10,x20, 则|MQ||OM||OQ|x1y112222212x1, 2同理NQx2y2122212x2 2即|MQ|222x1,|NQ|x2,所以|MN|(x1x2), 222222x1，NFaex22x2, 22222x1x22x12x222, 222又MFaex1则MNF的周长MN|MF||NF|所以周长为定值22. 【题目点拨】

标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.

19、（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元. 【解题分析】

（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算K2的观测值，即可结合临界值作出判断.

（2）①先根据所给数据求得样本平均值x，根据所给今年3月订单数区间，并由x及求得24.88，

15.8.结合正态分布曲线性质可求得P(4.88Z15.8)，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7

万件的城市有3,5和5,7两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解. 【题目详解】

（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为1000.10.050.040.01240， 对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为202010252. 由以上数据完善列联表如下图， 外卖甲 外卖乙 总计 业绩突出城市 40 52 92 业绩不突出城市 60 48 108 总计 100 100 200 且K2的观测值为

200(40486052)2k2.92.706，

10010092108∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. （2）①样本平均数

x40.0460.0680.10100.10120.30140.20160.10180.08200.0212.16212.1623.4.88，

12.163.15.8

故P(4.88Z15.8)P(2Z)

11P(2Z2)P(Z) 221=(0.68260.9544)0.8185， 2=

X~B(6,0.8185)，

X的数学期望E(x)60.81854.911，

5内的有100②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间3，7内的有100每月订单数在区间6，240（个）， 5360（个）， 5若不开展营销活动，则一个月的利润为404560652600（万元）， 若开展营销活动，则一个月的利润为1009522700（万元）， 这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元. 【题目点拨】

本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算K2的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题.

20、（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系 【解题分析】

（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系； （2）填写22列联表即可；

（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论． 【题目详解】

解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系. （2）22列联表如下： 女性 男性 合计 戴口罩 不戴口罩 合计 42 28 30 70 20 50 120 62 58 120(42302028)2（3）由（2）中数据可得：k4.6723.841.

62585070所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系. 【题目点拨】

本题考查了列联表与性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题． 21、（1）证明见解析 （2）

10 5【解题分析】

（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取BC的中点M，连接DM，根据条件证明DM//BE,DM//FG，即

BE//FG；

（2）以F为原点，FC所在直线为x轴，过F作平行于CB的直线为y轴，FA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Fxyz，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. 【题目详解】

（1）证明：取BC的中点M，连接DM. ∵BG3CG，∴G为CM的中点. 又F为CD的中点，∴FG//DM.

依题意可知DE//BM，则四边形DMBE为平行四边形， ∴BE//DM，从而BE//FG.

又FG平面A1FG，BE平面A1FG， ∴BE//平面A1FG. （2）

DEAD1,DEDC，且A1DDCD，

DE平面ADC，A1F平面ADC， DEA1F，

A1FDC，且DEDCD， A1F平面BCDE，

以F为原点，FC所在直线为x轴，过F作平行于CB的直线为y轴，FA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

Fxyz，不妨设CD2，

则F0,0,0，A10,0,3，B1,4,0，E1,2,0，G1,1,0，

FA10,0,3，FG1,1,0，A1E1,2,3，EB2,2,0.

设平面A1FG的法向量为n1x1,y1,z1，

nFA103z10则，即，

xy0nFG011令x11，得n1,1,0.

设平面A1BE的法向量为mx2,y2,z2，

mA1E0x22y23z20则，即，

2x2y0mEB022令x21，得m1,1,3. 从而cosm,n1110， 52510. 5故平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为

【题目点拨】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法. 22、（1）证明见解析（2）【解题分析】

51 2x2y212k122222P,，同理2k1x4ktx2t201（）由2得令0可得t2k1，进而得到ttykxtQ(2,2kt)，利用数量积坐标计算FPFQ即可；

（2）SPQF【题目详解】

3t12k，分k0，k0两种情况讨论即可. 22t，0). （1）证明：点F的坐标为(1x2y21222联立方程2，消去y后整理为2k1x4ktx2t20

ykxt有16kt42k12t20，可得t22k21，x22222kt2kt2k，222k1tt2k2tt1y2t2.

2k12k1t可得点P的坐标为2k1,. tt当x2时，可求得点Q的坐标为(2,2kt)，

12kt12kFP1,,，FQ(1,2kt).

tttt有FPFQ2kt2kt0, tt故有PFQF.

（2）若点P在x轴上方，因为t22k21，所以有t1，

22(2kt)21(2kt)1(2kt)1由（1）知|FP|2；|FQ|(2kt)21 22ttttSPQF1(2kt)214k24ktt21(2t22)4ktt21 |FP||FQ|22t2t2t3t24kt13t12k

2t22t3t1t21S2①因为k0时.由（1）知k，PQF2t1

22t2由函数f(t)3t12t21(t1)单调递增，可得此时SPQFf(1)1. 22tt213t1②当k0时，由（1）知k,SPQF2t21

222t3t132t13t212t22t1(t1),g(t)2 令g(t)22222t22t2tt1t123t21t218t6t63t45t213t12t3t12t2 由224424222t4tt14tt14tt1t122222t21t44t214t4(t21)t22t2(25)1t(25)，故当

t25时， 424tt1g'(t)0，此时函数g(t)单调递增：当1t25时，g(t)＜0，此时函数g(t)单

调递减，又由g(1)1，故函数g(t)的最小值g(25)1，函数g(t)取最小值时

2k2125，可求得k51. 251. 2由①②知，若点P在x轴上方，当PQF的面积最小时，直线m的斜率为【题目点拨】

本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.