数学题目中的隐含条件

决的思路，冲破数学的边界，打通学生的解题道路,提高学生发现、处理、解决问题的能力，增强学生的联想与 想象能力，从而增强学生的数学学习兴趣，使学生体会到数学学习的美妙。关键词隐含条件数学解题挖掘所谓隐含条件，是指在数学问题中，除了直接 给出的已知条件外，还没直接给出需要人们去挖掘 的条件。这种条件一般隐含在定义、定理、公式、法

2.补充型补充型的隐含条件就是指在某些数学解题中，

对于某些存在着特殊性质的概念或定义，它对于整

则、图形之中，含而不露，容易被忽视，因而造成解 个题目的解决有隐藏的补充作用。补充型的条 件对于数学解题具有重要的价值和意义，如果我们 遇到一道题目却无从下手，那么就要再重新阅读观

题错误叭也就是说，隐含条件在解题时并未在数学 题目本身直接表示，但是通过利用已知条件、有关 条件或者已有的知识储备可以得出的解题条件。隐

察题目，尝试挖掘出其中隐藏的隐含条件，或许隐 含条件中有许多的补充关系。补充型隐含条件总是 在解题的全过程中对我们实施一定的干扰，让我们

含条件的内容十分丰富,没有特别一成不变的模式 可循，它是以抽象广泛的普遍性与实际问题的特殊 性为基础，针对具体问题的特点而采取的相应的解

始终以为忽略了某些条件。因此，要密切观察每一 道数学题目中的隐藏关系，以免做题时存在过多不 必要的麻烦和困扰。决办法叫在解题过程中，如果按照习惯的思维定势

探求解题途径比较困难的话，可以根据题目的特

点，展开丰富的联想,找到最佳的解题途径,这对培 养学生的创新意识和提高解题能力有很大的帮助。例2计算孕寮22+32

2x3 32+423x4+・•・+一、数学题目中隐含条件的基本类型1.制约型制约型的隐含条件是指其仅仅对于数学解题 中的结果或者结论有一定的作用，而对于解题 过程而言并没有过多影响。这种制约型的隐含条件 多数出现在数学题目所涉及的数学公式或者概念

20002+200122000x2001在本题中，一般项

(^=1,2--2000)就是补充性隐含条件，如果我们没能将这个一般项找

到，并且加以变形简化处理,这道题将无从着手。3.导向型导向型的隐含条件和制约型的隐含条件恰好

相反，导向型并不会影响最终的解题结果,却会对

中，是由于这些公式、概念本身的性质而产生了这 种制约条件。解题方式产生一定的作用。如果不能深刻剖析岀数 学题目中隐藏的导向型隐含条件，那么就会影响学 习者的解题方式，阻碍其解题过程。而导向型的隐

例 1 解方程 1Og2X+log2( X+2 )=3在本题中，隐含条件就是x>0, x+2>0，这是由于

log2x的性质决定的,这个隐含条件对于解题的最终

含条件往往存在于题目结构或是题目涉及到的定 义、概念中。例 3 已知 k>a>b>c>0,求证：/-(8+6+结果有作用，而并不会影响到解题步骤和过

程，这就是型隐含条件。*该文为教育部人文社会科学研究项目\"数学质疑式教学模式创新与实效研究\"(17YJA880020)、山东省2018年度教学

改革研究项目\"专业认证理念下数学教师教育课程改革\"(M2018X254).山东师范大学关于第四批实验教学改革殳项“基于师范

生教学能力提升的数学实验教学课程体系改革与实践研究”餉成果之一贾炳麟 傅海伦王 悦：数学题目中的隐含条件・45・找出问题解决的思路，让问题解决变得更加简便。bc+ca>0这道题目如果直接观察题意会感到非常的迷 茫,不知道该如何下手,但是结合条件和结论,再进

例 5 证明:设 a,b,ce l?+;a+b+c=—+-^-+-=3,

a b c则 a£>c=l本题中由二元均值不等式:a+b=2M2V页，推

行大胆的猜想和假设，得出0<(k-a)(k-b)(k-c)就 抓住了本题的关键。因此，解题时不仅应该仔细审 题并且要观察题目结构,从各种渠道寻找解题的最

佳方案。出 abW 1,由(—-•卜\\/-i—，推岀 abM 1,既有

a b V ababWl,又有 ab>l,故 ab=lo4.综合型数学本身就是一门逻辑学科,其是以逻辑为链 条的形式化符号系统，数学的形式化决定了数学能

类比三元不等式:a+b+c=3^33V^,推出3够对纯粹的量进行地、理想化地、系统地、深入 地研究，从而推动其自身的发展。数学概念、定义、 定理之间并不是孤立存在的,而是一个相互联系的

^1,由所以 3

\\/abc M1,所以 abc=l o逻辑系统，因此，在数学题目中,许多数字和条件也 是息息相关的,综合型隐含条件就是同时具有

这道题，要兼顾丄+寻+丄与均值不等式的关

a b c系，重点是对于均值不等式内涵的理解。性、补充性、导向性的隐含条件。例 4 如果{xCaj^+C2-ab)x-b>0} [x<-2 或 x>3},

2.利用数形结合挖掘隐含条件数形结合就是指将数字和图形二者相结合,通

过二者间的相互辅助，来解决数学问题，开拓解题 思路。在日常的教学和学习生活中，教师应该对于

求实数a,b的范围。本题中由题设可知：设Ax) =2a^+ (2-ah)x-h,

且f(x)>0,因此隐含条件是一元二次方程心)=0的

数形结合思想具有高度的敏感性，积极引导学生将 抽象的代数和具体的几何图形相结合，从而找到与 “数”相对应的“形”,找到几何图形中所隐含的代数 关系，从而达到化难为易、化零为整的目的,使学生 可以从新的角度来解决数学问题。两根必在数轴上以-2,3为端点的线段内。从这个隐 含条件出发，既对a的大小有所,也对题意有所

补充，使得题意中条件更加丰富充实，为数学解题

提供了便利。针对隐含条件的意义总结出以下几点：第一，

例6已知BC丄CD,点A为BD中点，Q在BC

提升学生的学习水平和思维严谨性。通过挖掘隐含 条件的学习，可以让学生学会更多的解题方式，使

上，并且AC=CQ。R在BQ上，并且BR=2RQO S在 CQ上，并且QS=RQ。求证：厶ASB=2厶DRC。学生在日常学习中更加便利，同时让学生学会使用 数学思维和方法来解决问题，进而提高学生的思维

水平和学习水平。第二，帮助学生形成良好的解题

习惯。通过不断挖掘隐含条件的锻炼，让学生形成 良好的解题习惯，学会如何正确解题，提升自己的

综合水平和素质。第三，增强学生的创新能力和水 平。探究学习中，鼓励学生主动探究挖掘隐含条件 的方式，培养其创造性的解决问题的能力，从而发 展其创造水平和能力。我们仔细研究这道题目可以发现,这个题目都 是通过将几何直观(见图1)和代数抽象直接联系，

将这道代数题目转化为几何问题，挖掘出题目中的 隐含条件，使这道题的解决更加简便快捷,这种方

二、数学题目中挖掘隐含条件的途径1.运用类比挖掘隐含条件某些数学问题在解决的过程中，往往需要我们

法在数学解题中经常可以用到。3.利用概念、定义挖掘隐含条件在数学解题过程中，总是离不开概念、定义的 综合运用，在这一过程中教师应该让学生深入了解 概念以及定义的根本属性，使其具有充分的知识储

与一些熟悉的问题或者特殊情况进行对比，通过相 似情况来寻求二者间的相似之处,从而找出数学问 题解决的方式，顺利解决数学问题。类比法是在相

备,可以深刻地挖掘出隐含条件的存在，以防出现 思维的固定化，开辟新的解题方式，为今后的学习

似情况下，寻找类似的挖掘隐含条件的方法,从而

・46・和问题解决提供全新的思路。只要善于归纳总结并

且灵活运用。我们就可以轻易挖掘出隐含条件，掌 握解题技巧。例7 m取什么值时，方程2x2-(3m+2)x+12=0 与 4x2-(9m-2)x+36=0 有同一个根？这道题目如果用分别解两个方程的方法再加 以比较,那真的是耗时耗力了，其实这道题的本质 就是解方程组：2^-( 3m+2)x+12=04疋-(9m-2 )x+36=0在这道题中，方程的根的概念就是隐含条件,如 果学生清楚认识到方程的根就是让等式成立的数

字,就很容易想到用联立方程组来解决这道题目。4.运用条件和结论的因果关系挖掘隐含条件数学题目的类型千变万化,解题方式也各有不

同，但在许多情况下需要通过从结论和已知条件两 个首尾端点向中间靠拢的方式，来寻找其中所隐藏

的条件。因此,我们可以从不同的方面来思考数学 问题，利用概念与定义、条件与结论之间的关系，来

挖掘隐含条件，这样才能避免不必要的麻烦，给自 己省下更多的时间和精力。例8已知a^b是方程x2+4x+l=0的两个根， 不解方程，求士厂+£-的值。这道题目的难度不大，但是对于本题首先从结 论出发，整理式子：]+ ] _ a+b+2 _ a+b+2a+1 b+1 (a+1)(B+1) ab+a+b+1然后去题中寻找已知条件，在这一步骤中，我

们就用到了隐含条件:韦达定理。借助韦达定理求 出：a+b和ab的值，再代入整理过的式子中,从而解 题完成。此题通过分析题目结构,从条件和结论两个方 面出发，发现可以利用韦达定理进行求解，运用结

论与已知条件的因果关系发现题中隐藏题意，通过

结论和条件分别从两端向中靠近,从而实现解题条 件的简单化、便捷化。因此如果当解题陷入困境时，

也可以尝试寻找条件和结论的关系来寻找思路，或 许会有些许启发,使得整个解题过程豁然开朗。三、隐含条件在数学解题中的运用1.优化解题的途径有些数学问题虽然不用挖掘隐含条件也可以 解决，但求解的过程繁琐，如果可以合理运用其中

贾炳麟傅海伦王悦:数学题目中的隐含条件的隐含条件，往往可以简化复杂的讨论和运算，避

免大量不必要的运算，使复杂的数学问题得到快速

而准确的解答。如例6,若想通过直接求出角的代数 值来证明,不仅过程繁琐，更重要的是条件不足。通

过挖掘隐含条件，找到题目中的隐藏条件,将角的 问题轻松转化为函数问题，从而运用辅助函数c2= a2+b2将题中所涉及线段用基本量表示岀来,解题过

程清晰简便，思路完整有效,使得如此复杂的数学

问题迎刃而解。2. 清晰沟通条件和结论的关系许多数学问题利用题中既定的已知条件很难 直接计算出结果，还要沿着一定的方向去寻找新的

思路，以该思路模型为桥梁，沟通条件和结论之间 的严密逻辑关系，才能推导出问题的正确结论。如

例5,仅运用已知条件很难直接得出结果，但如果可

以适当的对已知条件进行转化拓展，由已学的三元

均值不等式类比推论出具有某些独特性质的二元

不等式，这样解题过程中就可以有效运用这些特有 性质,从而更加便捷地解决问题。3. 丰富原有知识储备在解答数学问题时,经常会遇到各种各样的问

题，这些问题中包含着各种各样的知识点，也并不

排除某些知识点存在着有效相关关系的现象,通过

解决这些问题可以推动数学相关知识的相互转化、

渗透和吸收。如例6可以将代数问题转化为几何问 题来解决，这就实现了数学知识之间的转化，达到融

会贯通的效果，因此，挖掘隐含条件可以促进数学 知识的实践和运用，增强知识的吸收和渗透。总之，隐含条件有的内含于定义中，有的内含

于图形之中。有效而合理的挖掘隐含条件，可以变 隐晦为直观、变复杂为简明、变生疏为熟悉、变抽象

为具体，往往使问题得到巧妙解决。挖掘隐含条件 解题是一种极具有创造性的思维活动，运用自己的

联想能力和充足的知识储备，拓宽问题解决的思 路，冲破数学的边界，打通学生的问题解题道路，可 以提高学生发现、处理、解决问题的能力，增强学生 的联想与想象，从而增强学生的数学学习兴趣，提

高学生的学习情绪，体会到数学学习的美妙叫参考文献[1] 邹锦程.数学解题应重视隐含条件的挖掘[JJ.天府数学,1998(05).[2] 赵志明.谈数学题目隐含条件餉挖掘[J].课程教材教学研究：教育

研究版,2009(02).[3] 孙伟奇.如何挖掘数学题中的[J]•数学教学研究,2007(04).【责任编辑郭振玲】