巧用隐含条件,成功解题

广东省台山市鹏权中学 （529200）

除开概念题外，几乎所有数学题的求解都是从条件到结论的正确、有效的转化过程。而且要求几个值（结论），就会给出几个条件，即一个条件求一个值（结论），可是有一类题目的条件不直接给出,称之为隐含条件.设置有隐含条件的题目，往往短小精悍，干净利落，难度可大可小。求解这类题的关键是能否快速找到隐含条件。本文探究教师在教学中如何培养学生善于观察和发现的能力，以便巧用隐含条件, 实现成功解题。

一、教学中，注重数学概念的内涵与外延

准确理解和把握数学概念是学好数学的基础，也常受命题者的青睐，命题者往往在此设置隐含条件。

例题1 填空：A3n2n2n3Cn3的值为 .

本题所给条件非常隐蔽,若平时不进行训练,或者没有对隐含条件的挖掘意识,必然造成手忙脚乱,无从下手.原来条件就隐

含在排列数Ammn和组合数Cn的概念

中,nm且n 和m 都是自然数.

解析：由题意得：

03n2n30n2n3解得n 2. n,m所以,原式=A4C055=120+1=121.

例题2 若函数ymx1mx24mx3的定义域为R,则实数m的取值范围是

（ ）.

A.0m34 B.0m34

C.0m34 D.0m34 本题典型错解：题意等价于xR时,mx24mx3000m34,故选答案A. 解析：错误原因在于忽略了一元二次不等式ax2bxc0中a0的隐含条件,故选答案B. 点评：这两道例题说明了我们应该准确理解概念的外延,找出隐含条件,发现解题思路,提高解题效率.

二、教学中要关注公式定理的“形”， 例题3 （湛江市2013年高中毕业班第一次调研测试第10题）函数

f(x)sinxcosx2的值域是（ ）.

A.[2,2] B.[112,2]

C.[33,33] D.[3,3] 本题的代数法求解：把

f(x)sinxcosx2变形为

sinxycosx2y再用辅助角公式变形

为

1y2sin(x)2y,再利用

ysinx()的有界性可以求出

y[33,33],故选答案C. y 点评：本题这样求解,不仅运 1 P 算量大,变形复杂,而且还要用到超纲公式——辅助角公式,辅助角M 公式在广东高考考试说明里面是O 1 2 x 没有提及的.如果我们注意

f(x)sinx图 1

cosx2的结构,就可以挖掘出一个简单实用的隐含条件,因为

sinx0cosx,sinx和点表示过点 cosx2也是点P到直线2xy20的距离的平方.因此我们要熟悉公式的结构形式,才能快速发现其隐含条件,找到解题思路,提高解题效率.

三、推敲数学问题条件中各变量的相互制约关系,从中挖掘隐含条件,提高解题准确率

例题5 （2010辽宁文数）已知

2,0的直线的斜率,而点 cosx,sinx又 在单位圆上,问题转化为过单位圆上的一个

cosx,sinx与点M 2,0的直线的动点P 斜率的取值范围了,如图1,易知直线PM与单位圆相切时,直线PM的斜率取得最值,此时OM2,OP1,所以

OMP30o从而直线PM的斜率的取值

范围为[333,3]. 例题4 已知x、y满足以下约束条件

2xy20x2y40 ,则x12y2的最小3xy30值为 .

解析：作出可行域,如图2,则

x12y2表示可行域内的动点M x,y到定点P 1,0的距离的平方,显然该最小值是点P到直线2xy20的距离的平方,因此答案为

95. 点评：本题若不能发现x12y2的结构与两点之间的距离公式的结构相似的话,恐怕难以发现解题思路.本题还可以把x12y2与圆的标准方程

x12y2r2联系起来,因为

x12y2r2表示以定点P 1,0为圆心,线段PM为半径的圆.于是

x12y2表示PM长度的平方,其中

M x,y为可行域内的动点.从而该最小值

1xy4且2xy3,则2x3y的取值范围是 （要求

答案用区间表示）.

本题的典型错解是：(2,13)，其求解过程大致如下：

1xy4○1 2xy3 ○2

两同向不等式相加得12x7○3 ○2(1)有3yx2○4 ○1+○4有y 42y2即2y1P O x ○5 2xy20○3+○5 图 2(3)

有

22x3y13○6

所以答案是(2,13).

正确解法：○1(12)有

2112(xy)2○7

5515○2有5(xy)○8

222由○7+○8有32x3y8○9 所以答案是(3,8).

点评：两种解法都只用了同向不等式的可加性,构造出2x3y,在解决问题的思路上可谓同出一辙.为什么结果却不同？原

来前一解法中,消去y（或x）时,破坏了x与y的相互制约关系,导致范围扩大.而x与y的相互制约关系就隐含在题目中仅有的两个条件里面.在条件1xy4里,当x取到最值时,y不一定取到最值.反之当y取到最值时,x不一定取到最值,所以我们要洞察题目的隐含信息,准确解题.

例题6 已知x,yR,且满足方程：

(x2)2y21,而x2y2表示点4(x,y)到原点的距离的平方.于是题意为椭(x2)2圆y21上的动点P(x,y)到原

4点距离的平方的范围,画出草图观察可得当P运动到原点时距离最小为0,当P运动到点(4,0)时距离最大为4,于是P(x,y)到原点距离的平方的范围[0,16].

例题8 （2012广东文数）在平面直角坐标系xOy中,直线3x4y50与圆

x2y24相交于A、B两点,则弦AB的

长等于（ ）.

A． 33 B． 23 C． 3 D． 1

解答:先作出草图,如图3,然后用点到直线的距离求得|OM|1,而 |OB|r2,所以

x24y24x,则x2y2的取值范围［2］

是 .

本题的典型错解是：因为

2x24y24x所以yAy |BM||OB||OM|223,于

O M 12xx于是4Bx是|AB|2|BM|23.

图 3 点评:本题有一条明显的思路是33211xx(x)2[,)44333联立方程组求出A、B两点的坐标,然后用

两点之间的距离公式求弦AB的长.这样做

，又x20,y20,则x2y2的取值范围

看似简单,但由于A、B两点的坐标不特殊,

是[0,). 导致运算量大,易出错.若能挖掘条件背后

点评：以上解法的错误原因在于忽略了的几何意义.就能另辟捷径,提高解题效率.

总之,俗话说：“到什么山上唱什么

x与y的相互制约关系,由x24y24x歌.”解题也是一样,需要识别题目的具体“山”型,然后“该唱哪出就唱哪出”.也就

有y2x24x0,推出0x4,所

是说在解题时,要认真审题,审条件,看由条

以件能得到什么新的条件;审结论,看结论需

要什么样的条件.综合条件和结论审出隐含3321x2y2xx(x)2[0,16]4433条件,发现解题思路,优化解题方法,从而快

. 速、有效、正确解题.

四、挖掘题目条件的几何意义,发现解参考文献：

题思路,另辟解题捷径,提高解题效率

[2]王德昌,隐含条件的七个“隐身之处”,[J],例题7 同上例.

数学通讯,2009,(7、8).

解：x24y24x可以变形为

x2y2