挖掘隐含条件解题例1

挖掘隐含条件解题例说

黑龙江省讷河市进化中心学校 刘桂兰

有是有的问题只用题目中的已知条件可能解法太繁或无从下手，因而需从题目中挖掘隐含条件，依次，问题便会很容易解答，请看下面几例。

例1、甲对乙说：“当我是你现在年龄时，我的年龄是你年龄的2倍。”乙对甲说：“当我是你现在年龄时，你已经36岁了。”甲乙二人现在年龄各是多少岁？

分析并解答：设甲、乙现年分别为ｘ、ｙ岁。当甲的年龄是乙的现在年龄y岁时，乙的年龄是y岁，当乙的年龄是甲的现在年龄x岁时，甲的年龄是36岁，由于几年前或几年后甲乙的年龄差不变，于是有

ｙ-y=x-ｙ 36-x=x-y 整理并解得： x=27 ｙ=18 答：略。

※ 注：“几年前或几年后二人的年龄差不变”是解题的隐含条件。

解法二：当甲是乙现在年龄y岁时，甲的年龄减少(x-ｙ)岁，乙的年龄也减少(x-ｙ)岁，这时乙的年龄是[ｙ-(ｘ-y)]岁；当乙是甲现在年龄x岁时，乙的年龄增加了(x-ｙ)岁，甲的年龄也增加了

1212(x-ｙ)岁，这时甲的年龄是[x+(ｘ-y)]岁，依题意有：

ｙ=2[ｙ-(ｘ-y)] x+(ｘ-y)=36 解：略。

※ 注：“几年前或几年后甲乙二人的年龄都减少或增加的年龄相同”是解题的隐含条件。

例2、已知

x2-2x24=2，求

x2+

2x224的值。

分析并解：若解已知方程求x的值，非常麻烦，我们注意到 (ｘ²-2)- (ｘ²-14)=12为常数，因而设列方程组，巧妙求a的值。

x2-x2+

22x2+

x24=a，通过解下

xx24=2 „„(1) 4=a „„(2)

2 (1)× (2)得，2a =12，

∴ a=6

即，

x2+

2x24=6

※注：“(ｘ²-2)- (ｘ²-14)=12为常数”是解题的隐含条件。 例3、已知等腰三角形两腰上的中线互相垂直，求等腰三角形的底与腰的比。

解：设等腰三角形ABC的底为a，腰为b，中线BD与CE相交于点O，则点O是△ABC的重心.

设OD=ｘ,由重心性质可知，OB=OC=2x在直角三角形BOC中和直角三角形COD中，由勾股定理分别得

(2ｘ)²+(2x)²=a² „„(1) ｘ²+(2x)²=(b)² „„(2) 由(1) 、(2)得，a：b=2：5 ∴ 底：腰=2：5

※ 注：这里“点O是三角形的重心”是解题的隐含条件。 例4、已知直角△ABC的三边分别为a、b、c(c为斜边)，求的取值范围。

解：易知a+b＞c， ∴

ab＞1 cabc12 又由(a-b)²≥0得，a²+b²≥2ab， ∵ a²+b²=c²， ∴a²+b²+c²≥a²+b²+2ab 即，(a+b)²≤2c²

ab≤2 cabab故，的取值范围是：1＜≤2

cc∵ a+b＞0， ∴a+b≤2c，

想一想，等号成立的条件是什么？

※ 注：“对于实数a、b，有(a-b)²≥0”是解题的隐含条件。

例5、已知直角三角形的斜边为25，内切圆半径为3，求直角三角形的面积。

解：设直角三角形的三边分别为a、b、c(c为斜边)，内切圆半径为r。 由r=

abc得，a+b=c+2r 2a²+2ab+b²=c²+4cr+4r²

2ab=4cr+4r²=4×25×3﹢4×3²=336

1ab=84， 即S△ABC=84 2※ 注：“直角三角形三边a、b、c与内切圆半径r的关系式 r=

abc”是解题的隐含条件。 2例6、在一个两位数中间插入两个数字后，使这个四位数恰好等于原两位数的平方，求插入后的四位数。

解：设所求四位数为axyb，不难知道，b值能是0、1、5或6. (1) 若b=0，则axyb不可能为10a的平方 (2) 若b=1，则axy1=1000a+10xy+1=(10a+1)² 整理得，xy=a(10a-98)，没有满足条件的a值。

(3) 若b=5，则axy5=1000a+10xy+5=(10a+5)² 整理得，xy=10a(a-9)+2

只有a=9满足条件，这时xy=2，即xy=02 9025=95²

(4) 若b=6，则axy6= 1000a+10xy+6=(10a+6)² 整理得，xy=a(10a-88)+3

所以，也只有a=9满足条件，这时xy=21 9216=96²

因此，插入后的四位数是9025或9216.

※注：“已知两位数的个位数字只能是0、1、5或6”是解题题隐含条件

通过以上几例，我们可以看出，发现题中的隐含条件，对解题至关重要。