反函数知识点总结讲义教案

班级：一对一 课次：第 次 教学目标 教学重难点 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 学生： 上课时间： 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 反函数的求法，反函数与原函数的关系． 反函数知识点总结教案 【知识整理】 一．函数的定义 如果在某个变化过程中有两个变量x和y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则, y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数， x就叫做自变量， x的取值范围D称为函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合A叫做函数的值域，记为：yf(x) x∈D. 二．反函数定义 一般地，函数yf(x) (x∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x, y的关系，用y把x表示出，得到x(y) ,如果对于 y在 A中的任何一个值，通过x(y) , x在D中都有唯一的值和它对应，那么，x(y) 就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x(y) （y∈A)叫做函数yf(x) ( x∈D)的反函数.记作：xf反函数xf( x∈A). 注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法： 1．求反函数的方法步骤： ①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由yf(x)反解出xf③将x, y互换得： yf111(y) 1(y)中，x为因变量，y为自变量，为和习惯一致，将x, y互换得： yf(x) (y) (把x用y 表示出来)； (x)，并写出反函数的 定义域 12． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系 反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若yf(x)与yf1(x)互为反函;..

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数，函数yf(x)的定义域为D、值域为A，则f[f 定义域 值 域 4. 互为反函数的函数图象间的关系 一般地，函数yf(x)的图像和它的反函数yf相同. 函数yf(x) D A 1(x)]x(xA)，f1[f(x)]x(xD)； 1反函数yf(x) A D 1(x)的图像关于直线y=x对称，其增减性释意：如果点(a,b)在函数yf(x)的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数yf上。换言之，如果函数yf(x)的图像上有点(a,b)，那么它的反函数yf点(b,a). 1．求下列函数的反函数： （1）f(x)11(x)的图像(x)的图像上必然有xx(x1)； （2）f(x){2x21(0x1)x(1x0)2. 解：（1）由y11x2x(x1)得y2(x)2(x1)， 241111y2(y0)，∴所求函数的反函数为yx2(x0)． 2424∴x（2）当0x1时，得xy1(1y0)，当1x0时， x1(1x0)x(0x1)得xy(0y1)，∴所求函数的反函数为y． 2．函数y1ax1(x,xR)的图象关于yx对称，求a的值． 1axa解：由y1ax11y1x(x,xR)得x(y1)，∴f1(x)(x1)， a(y1)a(x1)1axa1由题知：f(x)f(x)，1x1ax，∴a1． a(x1)1ax;..

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3．若(2,1)既在f(x)解：∵(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值． mxn的图象上，又在它反函数图象上， f(1)2m3mn2∴，∴，∴． f(2)1n72mn14．设函数f(x)值． 解法一：由y12x1，又函数g(x)与yf(x1)的图象关于yx对称，求g(2)的1x1y12x1xx11得x，∴f(x)，f(x1)， y21xx2x3∴g(x)与y解法二：由yf1xx互为反函数，由2，得g(2)2． x3x3(x1)得xf(y)1，∴g(x)f(x)1，∴g(2)f(2)12． 5．已知函数yf(x)（定义域为A、值域为B）有反函数yf解xa，且f(x)x(xA)的充要条件是yf11(x)，则方程f(x)0有(x)满足f1(x)x(xB)且f1(0)a． a2x1(aR)，是R上的奇函数．6．已知f(x)x（1）求a的值；（2）求f(x)的反函数； 21（3）对任意的k(0,)解不等式f1(x)log21x． k解：（1）由题知f(0)0，得a1，此时 2x12x12x112xf(x)f(x)x0，即f(x)为奇函数． 212x12x112x2x121y1xx1x(1y1)，∴f1(x)log2(1x1)． （2）∵yx，得221211y1x1x1xx1k1x（3）∵f(x)log2，∴1x，∴， kk1x11x11①当0k2时，原不等式的解集{x|1kx1}， ;..

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②当k2时，原不等式的解集{x|1x1}． x7.已知函数f(x)31的反函数yf1(x)，g(x)log9(3x1) 1（１）若f(x)g(x)，求x的取值范围D； （２）设函数H(x)g(x)11f(x)，当xD时，求H(x)的值域. 2x1解：∵ f(x)31，∴ f(x)log3(x1)． （１）∵f1(x)g(x) 即log3(x1)log9(3x1) ∴log9(x1)2log9(3x1)， (x1)23x1, ∴ 解之得0x1 ∴xD0,1． x10.（２）∵ H(x)g(x)111f(x)log9(3x1)log3(x1) 22 log9(3x1)log9(x1)log93x11 ． x0,x1令t3x123 ，显然在[0，1]递增，则有1t2． x1x1∴0H(x)log92，即H(x)的值域为{y0ylog92}． 8. 已知函数yf(x)在其定义域D内是减函数，且存在反函数，求证：yf(x)的反函数yf1(x)在它的定义域E内也是减函数（E是yf(x)的值域）． 证明：∵yf(x)在其定义域D内是减函数， ∴设x1,x2D，且x1x2，有f(x1)f(x2)． 令y1f(x1),y2f(x2)，有y1,y2E，且y1y2． ∵函数yf(x)在上D存在反函数yf由题意，y1y2x1x2f∴yf111(x),xE，∴x1f11(y1),x2f1(y2)． (y1)f(y2)，且y1,y2E， (x)在定义域E内是减函数． ;..

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9.已知函数f(x)(（1）求f(x)的反函数f（3）若不等式(1解：（1）由y=（x12),x1. x11(x)；（2）判定f(x)在其定义域内的单调性； 111x)f1(x)a(ax)对x[,]恒成立，求实数a的取值范围. 11yx1222），得x=. 又y=（1－），且x＞1， x1x11y－1∴0＜y＜1 ∴f（x）=1x1x（0＜x＜1）. （2）设0＜x1＜x2＜1，则x1－x2＜0，1－x1＞0，1－x2＞0. ∴f（x1）－f（x2）=－1－1－12(x1x2)(1x1)(1x2)＜0，即f（x1）＜f（x2）. －1－1∴f（x）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x）1x1x＞a（a－x）. 11，］恒成立. 11111显然a≠－1.令t=x，∵x∈［，］，∴t∈［，］. 421112则g（t）=（1+a）t+1－a＞0对t∈［，］恒成立. 422由于g（t）=（1+a）t+1－a是关于t的一次函数， 22∴1+x＞a－ax，即（1+a）x+1－a＞0对x∈［1(1a)1a20,1154∴g（）＞0且g（）＞0，即解得－1＜a＜． 4241(1a)1a20,2 【反馈练习】 1函数yx2ax3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（ D ） A、a,1 B、a2, C、a[1,2] D、a,12函数y2x1(x1)的反函数是（ A ） A．ylog2(x1),x(1,3) B．y1log2x,x(1,3) 22, ;..

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C．ylog2(x1),x(1,3] D．y1log2x,x(1,3] 3若函数f(x)是函数y22x20x1的反函数，则f(x)的图象为 （ B ） y y y y O x O x O x O x A B C D 4若函数yf(x)的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数yf1(x)的图象经过(B) （A） 第一、二象限 （B） 第二、三象限 （C）第三、四象限 （Ｄ） 第一、四象限 5设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于 （ B ） a(A)x轴对称 (B)y轴对称 (C)yx轴对称 (D)原点对称 6已知函数f(x)lnx1(x0)，则f(x)的反函数为 ( B) （A）yex1(xR)（B）yex1(xR)（C）yex1(x1)（D）yex1(x1) 1xxaaa1的反函数，则使f1x1成立的x的取值范围为（A） 2a21a21a21 A、() C、(,) B、(,,a) D、(a,) 2a2a2aa2111解:a1时，fx单调增函数，所以fx1ffxf1xf1。 2a12 8设函数f（x）是函数g（x）=x的反函数，则f（4－x）的单调递增区间为（ C ） 2 7设f1x是函数fxA.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） 222 D.（－2，0］． 解：f（4－x）=－log2（4－x）, x∈（－2，0］时，4－x单调递增； x∈［0，2）时，4－x2单调递减. 9已知函数f(x)ab的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则f(x)的表达式为_____________. f(x)=4x3 10关于反函数有下列命题：①二次函数一定有反函数；②反比例函数一定有反函数；③若函数xyf(x)与其反函数yf1(x)有公共点，则该点一定在直线yx上；④单调函数在其单调区间上一定有反函数．以上命题，正确的命题的序号是____②④______. 11已知函数y3x11xa,a的反函数就是它本身，那么a___ . -3 xa3;..

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12若函数fx存在反函数f1x，且方程fxxa、方程f1xxa分别有唯一实根x1、x2，则x1x2=_________。（a为常数）a  13已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3－1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（－8）=______________ 解：当x＞0时，－x＜0，f（－x）=3x1.又∵f（x）是奇函数， ∴f（－x）=－f（x），即－f（x）=3x1.∴f（x）=13x x3x1x0,x0,log3(x1)－1∴f（x）= ∴f（x）= xlog(1x)x0.x0.313∴f（－8）=g（－8）=－log3（1+8）=－log33=－2. 14求函数的反函数：yx3x3x1. 解：由yx3x3x1得y(x1)2，∴x13y2(yR)， 32332－121∴所求反函数为f(x)13x2(xR)． 15设函数f(x)12x1，又函数g(x)与yf(x1)的图象关于yx对称，求g(2)的值. 1x解法一：由y12x1xx1y11得x，∴f(x)，f(x1)， y21xx2x3∴g(x)与yxx互为反函数，由2，得g(2)2 x3x31解法二：由yf(x1)得xf(y)1，∴g(x)f(x)1，∴g(2)f(2)12  16求函数y5x8的值域．(掌握利用反函数法求函数值域) 3x2解：∵y5x8552y8 ∴x ∴y ∴函数的值域为{y|y} 3y5333x217已知fx1x22x,x0,求f1x。 解：由fx1x2xx11fxx1x1 222;..

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Qx1,yx210,yx21xy1y0 故所求的反函数是f1xx1x0 1设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于( ) a(A)x轴对称 (B)y轴对称 (C)yx轴对称 (D)原点对称 x2已知函数f(x)()1，则f y121(x)的图象只可能是 （ ） yyyx 2 1 O x O 1 x 1 O 1 x 2 O (A) (B) (C) (D) 3若函数f(x)的图象上经过点(0,1)，则函数f(x4)的反函数的图象上必经过点（ C ） Ａ．(1,4) Ｂ．(4,1) Ｃ．(1,4) Ｄ．(1,4) 4已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x)a（a为常数）（ B ） Ａ．有且只有一个实根 Ｂ．至多有一个实根 Ｃ．至少有一个实根 Ｄ．实根的个数无法确定 5函数y2x1（xN）的反函数是（ C ） x1（xN） 2x1正奇数） C．y（x2A．y6设函数f(x)x1（xZ） 2x1正奇数） D．y（x2B．yx22x3，x,1，则f1(x)的定义域是（ D ） B．(2,) C．,1 D．A．0, 7若yax6与y2, 1xb的图象关于直线yx对称，且点(b,a)在指数函数f(x)的图象上，3则f(x) ． 8若函数f(x) ;..

3x22有反函数,则实数a的取值范围是_____________．aR且a. xa3..

9设f(x){x21(0x1)2x(1x0)，则f15() ． 4x210求函数y3x(x0)的反函数． (x0)2解：当x0时，yx则反函数为yx（x0）； 当x0时，y3x则反函数为y1， x（x0）3 x原函数的反函数为:y1x311求下列函数的值域；（1）y解：（1）先由y(x0)(x0)x23x1；（2）y． 2x1x3y2x211可得x，y，故原函数的值域yyR且y 12y2x122（2）先由y3y13x1可得x，y3，故原函数的值域为yyR且y3 3yx3说明：通过求反函数的定义域来求原函数值域的方法，往往适用于函数的解析式为一次 分式的情况． 12已知函数f(x)xax(x1)，且函数f(x)具有反函数，求常数a的取值范围．设a0是满足上述条件的a的最大值，当aa0时，求f(x)的反函数． 解：二次函数f(x)xax对称轴为x∴22a，∵函数f(x)具有反函数， 2a1，解得常数a的取值范围为a2．∴a02． 2222令yf(x)x2x(x1)1，∴y1(x1)， ∵x1，∴x1y1，xy11，∴f(x)的反函数为f13若f(x)11(x)x11． 2，且yg(x)的图象与yfx1(x1)的图象关于直线yx对称为g(x)，求g(3)的值． 解：令y1222211，得x，∴f(x)，∴f(x1)． y1xx1x;..

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∵yg(x)的图象与yf14已知f(x)1(x1)的图象关于直线yx对称， 4x11，求ff(x)及ff(x)的解析式，并判定它们是否为同一函数． 23x4x42x11解：由f(x)求出反函数f(x)（x），则 23x3x134x4242f(x)23xx（x2） f1f(x)33f(x)134x123x42x414f(x)3x1x（x1） ff1(x)42x323f1(x)323x1虽然f1f(x)与ff1(x)两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不 是同一函数． 说明：判断两个函数为同一个函数应具备两个条件：一是表达式相同；二是定义域相同． 15设f(x)是R上的增函数，并且对任意xR，有f(x)f解：若存在x0R，有f(x0)x0， 不妨设f(x0)x0，则f11(x)成立，证明f(x)x． f(x0)f(x0)，即x0f(x0)矛盾，同理可证也不可能有f(x0)x0，对一切xR有f(x0)x0． 教案审核：

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