微积分在经济中的应用

微积分在经济中的应用

复利与贴现问题 ..................................................................................... 2

复利公式............................................................................................... 2 实利率与虚利率 .................................................................................. 3 数e的经济说明 .................................................................................. 3 贴现问题............................................................................................... 4 增长率 ................................................................................................... 4

级数应用举例 ......................................................................................... 5

银行通过存款和放款“制造”货币问题 .......................................... 5 投资费用............................................................................................... 6

库存问题.................................................................................................. 8

（一） （二） （三）

成批到货，不承诺短缺的库存模型 ................................ 8 连续到货，不承诺短缺的模型 ...................................... 11 成批到货，承诺短缺的模型 .......................................... 13

由于现代化生产进展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，显现了数理统计学、经济计量学、经济操纵论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探究客观经济过程的数量规律，以便用来明白客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键确实是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。那个地点我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。

复利与贴现问题

复利公式

货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之酬劳称为利息。利

息以“期”，即单位时刻（一样以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。

假如在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率运算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，假如将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期运算利息的新本金，这确实是所谓的复利。通俗说法确实是“利滚利”。

下面推出按福利计息方法的复利公式。

现有本金A0，年利率r=p%，若以复利计息，t年末A0将增值到At，试运算At。 若以年为一期运算利息： 一年末的本利和为A1=A0（1+r）

二年末的本利和为A2=A0（1+r）+A0（1+r）r= A0（1+r）2 类推，t年末的本利和为At= A0（1+r）t （1）

若把一年均分成m期运算利息，这时，每期利率能够认为是

r，容易推得 mAtA0(1rmt

（2） )m公式（1）和（2）是按离散情形——计息的“期”是确定的时刻间隔，因而计息次数有限——推得的运算At的复利公式。

若计息的“期”的时刻间隔无限缩短，从而计息次数m，这时，由于

rmtrmlimA0(1)A0lim[(1)r]rtA0ert mmmm因此，若以连续复利运算利息，其复利公式是

AtA0ert

例1 A0＝100元，r=8%，t＝1，则 一年计息1期 A1100(10.08)108(元)

0.082)108.16(元) 20.084一年计息4期 A1100(1)108.243(元)

40.0812一年计息12期 A1100(1)108.300(元)

120.08100一年计息100期 A1100(1)108.325(元)

100一年计息2期 A1100(10.08108.329(元) 连续复利计息 A1100e实利率与虚利率

由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为8％，一年计息1期，确实按8％运算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16％运算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243％运算；一年计息12期，实际上是按8.3％运算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325运算利息。

如此，关于年期以下的复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际运算利息之利率称为实利率。如8.16％为一年复利2期的实利率，8.3％为一年复利12期的实利率，8.329％为一年连续复利的实利率。

记r为名义年利率，rm为一年计息m期的实利率，本金A0，按名义利率一年计息m期，

rm

），按实利率计息，一年末将增值到A0（1+rm）。因此，有 mrmr1+rm＝（1+）m，即rm(1)1是离散情形下实利率与虚利率之间的关系式。

mm一年末将增值到A0（1+

若记rm为连续复利的实利率，由于

mlim(1rm)er mr因此，实利率与虚利率之间的关系为rme1。

数e的经济说明

设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为

mlim(11m)e(元) m这确实是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e元。这可作为数e的经济说明。

由于e2.71828，因此，这是的实利率大约为172％。

贴现问题

我们差不多明白，初时本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年为期的复利公式是

AtA0(1r)t，一年均分为m期的复利公式是 AtA0(1AtA0ert。

rmt)，连续复利公式是m若称A0为现在之，At为以后值，一只现在值求以后值是复利问题，与此相反，若已知以后值At求现在值A0，则称贴现问题，这时利率r称为贴现率。

由复利公式，容易推得：

t离散的贴现公式为 A0At(1r)

A0At(1rmt) mrt连续的贴现公式为 A0Ate

例2 设年利率为6.5％，按连续复利运算，现投资多少元，16年之末可得1200元。 那个地点，贴现率r=6.5％，以后值At=1200，t=16。因此，现在值

A0Atert1200e0.0651612001200 424.15（元）1.042.8292e增长率

设变量y是时刻t的函数y = f (t)，则比值

f(tt)f(t)

f(t)为函数f (t)在时刻区间[t,tt]上的相对改变量；假如f (t)可微，则定义极限

t0limf(tt)f(t)f(t)

tf(t)f(t)为函数f (t)在时刻点t的瞬时增长率。

dydtA0rert对指数函数yA0e而言，由于r，因此，该函数在任何时刻点trtyA0ert上都以常数比率r增长。

rt如此，关系式AtA0e （*）

就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量差不多上时刻t的函数，若这些变量在一个较长的时刻内以常数比率增长，都能够用（*）式来描述。因此，指数函数A0e中的“r”在经济学中就一样的说明为在任意时刻点t的增长率。

假如当函数A0e中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题确实是负增长。

例3 某国现有劳动力两千万，估量在今后的50年内劳动力每年增长2%，问按估量在2056年将有多少劳动力。

由于以后值A0=2000，r=0.02，t=50，因此，50年后将有劳动力

rtrtA502000e0.025020002.718285436.56（万）

例4 某机械设备折旧率为每年5％，问连续折旧多青年，其价值是原价值的一半。 若原价值为A0，经t年后，价值为

11A0，那个地点r=-0.05。由A0A0e0.05t，若取

22，即大约通过13.86年，机械设备的价值是原价值的一ln20.6931，易算出t=13.86（年）半。

级数应用举例

银行通过存款和放款“制造”货币问题

商业银行吸取存款后，必须按照法定的比率保留规定数额的法定预备金，其余部分才能用作放款。得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保留法定预备金，其余部分作为放款。如此连续下去，这确实是银行通过存款和放款“制造”货币。

设R表示最初存款，D表示存款总额（即最初存款“制造”的货币总额），r表示法定预备金占存款的比例，r<1。当n趋于无穷大时，则有

DRR(1r)R(1r)2R(1r)n1RR1(1r)r若记 Km

1 r它称为货币制造乘数。明显，若最初存款是既定的，法定预备率r越低，银行存款和放款的总额越大。

这是一个等比级数问题。

例如 设最初存款为1000万元，法定预备率20%，求银行存款总额和贷款总额。 那个地点，R=1000，r=0.2，存款总额D1由级数 1000+1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+… 决定，其和

D1100010005000(万元)

1(10.2)0.2贷款总额D2由级数 1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+… 决定，明显

D2=4000（万元）

投资费用

那个地点，投资费用是指每隔一定时期重复一次的一系列服务或购进设备所需费用的现在值。将各次费用化为现值，用以比较间隔时刻不同的服务项目或具有不同使用寿命的设备。

设初期投资为p，年利率为r，t年重复一次投资。如此，第一次更新费用的现值为pe第二次更新费用的现值为pe2rtrt,

，以此类推。如此，投资费用D为下列等比级数之和：

Dppertpe2rtpenrt

ppertrt因此 D rt1ee1例如，建筑一座钢桥的费用为380000元，每隔10年需要油漆一次，每次费用为40000元，桥的期望寿命为40年；建筑一座木桥的费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用为20000元，其期望寿命为15年，若年利率为10%，问建筑哪一种桥较为经济？

钢桥费用包括两部分：建桥的系列费用和油漆的系列费用。

对建钢桥，p=380000，r=0.1，t=40，因rt(0.1)404，则建桥费用

D1ppe44pe241pe4p4 41ee1查表知e54.598，因此 D138000054.598387090.8

54.5981同样，油漆钢桥费用

40000e0.110400002.718363278.8 D20.1102.71831e1故建钢桥总费用的现值

DD1D2450369.6(元) 类似的，建木桥费用

200000e0.1152000004.482257440 D30.1154.4821e1油漆木桥费用

20000e0.12200001.2214110243.8 D40.121.22141e1故建木桥总费用的现值

D5D3D4367683.8(元) 由运算知，建木桥有利。

现假设价格每年以百分率i涨价，年利率为r，若某种服务或项目的现在费用为p0时，

it则t年后的费用为Atp0e

rt(ri)t其现值为 ptAtep0e。这说明，在通货膨胀情形下，运算总费用D的等比级数

是

Dppe(ri)tpe2(ri)t1pe(ri)tp1e(ri)te(ri)t1pen(ri)t

例如，在上述建桥问题中，若每年物价上涨7%，试重新考虑建木桥依旧建钢桥经济？

那个地点，r=0.1，i=0.07，r-i=0.03 ， 现在，对钢桥，建桥费用和油漆费用分别为

D1543780,D2154320

建钢桥总费用的现在值

D=D1+D2=698100（元）

对木桥，建桥费用和油漆费用分别为 D3551926,建钢桥总费用的现在值

D=D3+D4=5550（元）

依照以上运算，在每年通货膨胀7%的情形下，建钢桥经济。

D4343624

库存问题

库存或存贮在生产系统，商业系统，乃至各个系统中差不多上一个重要的问题。需求可由库存的输出来供应和满足，库存也要由输入来坚持和补充，库存起到调剂供应与需求，生产与销售之间不和谐的作用。

我们的问题是库存数量为多少时最适宜。操纵存货数量的目的是把存货总费用降低到最小。那个地点，假设存货总费用包括如下三个方面的费用：

1. 生产预备费或订购费：工厂生产产品成批投产，每次投产要支付生产预备费；商店向外订货，每次订货都要支付订购费。假设每次投产的预备费或每次的订购费与投产或订货数量无关。

2. 物资的库存费用：物资存放仓库的保管费。假设在某一时刻内单位产品的库存费不变。

3. 缺货缺失费：因不能及时满足需求而带来的缺失。

另外，还假设需求是连续的，平均的，即单位时刻内的需求是常数，因而在一个打算期内需求的总量是已知的，简言之，需求是一致的，这是确定性库存模型。

我们讨论下列模型：

1) 成批到货，不承诺短缺的库存模型 2) 连续到货，不承诺短缺的库存模型 3) 成批到货，承诺短缺的库存模型

（一） 成批到货，不承诺短缺的库存模型

所谓成批到货，不承诺短缺，确实是每批产品或每次订购的物资整批存入仓库，由仓

库平均提取（因需求是一致的）投放市场，当前一批库存提取完后，下一批物资赶忙补足。在这种理想情形下，库存水平变动情形如图1所示：库存量由最高水平逐步（或线性）的减少到0，现在，库存水平又赶忙达到最高水平，再循环前过程。如此，在一个打算期内 ，平均库存量能够认为是最高库存量的一半。图中的t表示一个存贮循环连续时刻。

Q（库存水平） 最高库存水平 每批数量平均库存水平 由于在一个打算期内需求量是固定的，在这打算期内，假如每批投产或每次订购数量多，自然库存量多，自然库存量多，因而库存费多；然而，这时因投产或订购数少，因此生产预备费或订购费少。假如每批投产或每次订购量少，库存费减少，但因投产或订购次数多，自然，生产预备费或订购费增多。在这两种费用一多一少的矛盾情形下，我们的问题是，如何确定每批投产或每次订购的数量，即选择最有批量以使这两项费用之和为最小。

假设

D：一个打算期内的需求数量，即生产或订货的总量； C1：一个打算期内每件产品所付库存费； C2：每批生产预备费或每次订购费； Q：每批投产或每次订货的数量，即批量；

E：一个打算期内存货总费用，即生产预备费或订购费与库存费之和。 如此，在一个打算期内，自始至终，按图1之分析，库存数量应认为是

恰是批量之半，因此库存费为

备费或订购费为

EE(Q) O t t t T（时刻） 图1

Q，即库存量2DQC1；生产次数或订购次数，即批数应为，因此，生产预

Q2QC2。因此，存货总费用E与每批数量Q的函数关系为 2C1CDQ2,Q(0,D] 2Q现存的问题是：决策变量Q，使目标函数EE(Q)取极小值。 由极值存在的必要条件：

E(Q)2C1C2D20 2Q或C1Q2C2D （1） 由上式解得 Q*2DC2C1(只取正值) （2）

由极值的充分条件：

E(Q)2C2D0(因D,C2,Q均为正数) 3Q*Q因此，当批量

2DC2C1时，总费用最小，其值：

E*C1*C2DQ* 2Q即E*C122DC2C1C2D2DC1C2 (3) C12DC2这就得到了求最优批量及最小总费用的一样表达式（2）和（3）。

表达式（2）在库存理论中称为“经济订购量”或“经济批量”公式。简称为“EOQ”公式。

注意到（1）式：C1Q2C2D（极值存在的必要条件）可写作：

2C1CDQ2 （4） 2Q（4）式左端正式一个打算期内的库存费，而右端则是一个打算期内的生产预备费或订购费，因此，对“一致需求，成批到货，不许短缺”的库存模型有如下结论：

使库存费与生产预备费（或订购费）相等的批量，是经济批量。 如此，对上述库存问题，我们也可直截了当由公式（4）来经济批量。

例1 某厂生产摄影机，年产量1000台，每台成本800元，每一季度每台摄影机的库存费是成本的5％；工厂分批生产，每批生产预备费为5000元；市场对产品一致需求，不许缺货，产品整批存入仓库。试确定经济批量及一年最小存货总费用。

解 由题设知，D＝1000台，C2＝5000元，每年每台库存费

C1＝800×5%×4＝160（元）

存货总费用E与每批生产台数Q的函数关系：

E16010005000Q 2Q由（2）式，经济批量

Q*210005000250（台）

160一年最小存货总费用

E*16025010005000 40000（元）2250E（万元） E = E1 + E2 8 6 4 2 O 100 200 250 300 图 2 400 E1160Q, 2E210005000QQ（台）

由图2可知，库存费用曲线与生产预备费用曲线：

E116010005000Q,E2 2Q交点的横坐标确实是经济批量，其纵坐标刚好是存货总费用的一半。

（二） 连续到货，不承诺短缺的模型

连续到货，确实是每批投产或每次订购的数量Q，不是整批到货，赶忙补足库存，而是从库存为零时起，通过时刻t1才能全部到货。

在此，需补充假设

P：每单位时刻内的到货量，即到货率； u：每单位时刻内的需求量，即需求率。

明显，若P>u，每单位时刻内净增加存货为P-u，到时刻t1终了库存显现一个顶点，这时，库存量为t1(P-u)。

由于经历时刻t1到货总量为Q，因此t1Q，从而最大库存量为 PQu(Pu)Q(1) PP这种库存模型的库存水平变动情形如图3所示。

Q（库存水平） t1(P-u) 平均库存水平 O t1 t t1 t t1 t T（时刻） 图3

如此，在一个打算期内，平均库存量应为最大库存量之半，因而库存费为

C1Qu (1)。

2P本问题中，因为生产预备费或订购费与“成批到货，不许短缺”库存模型一样，因此，存货总费用E与每批数量Q的函数关系，即目标函数是

EE(Q)C1QuCD(1)2,2PQx(0,D](5)

为决策变量Q，由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量

Q*2DC2C111uP(6)

这时，库存总费用的最小值

E*1DC1C21uP(7)

最优批量Q*的表达式（6）也可由下式得到：

C1QuCD(1)2 2PQ例2 同例1，但产品连续存入仓库，每月到货200台，试确定经济批量和最佳费用。 解 已知条件是：

D1000台，C1160台，C25000元；P200台/月,u由（5）（6）（7）可得经济批量为327.3台，这时最佳费用为30550元。

1000台/月 12（三） 成批到货，承诺短缺的模型

前面讨论的两个库存模型是不承诺缺货。承诺缺货是指，缺货时未能满足的需求，在下一批物资到货时要予以满足，而且缺货时的需求直截了当输出而不通过库存。其它情形同模型一。假如缺货带来的缺失专门小，且可不能因临时缺货而失去销售机会，缺货现象是承诺存在的。

承诺缺货情形，库存水平变动情形见图4。图中的t是一个存贮循环连续时刻，从前一批到货至库存量减少为0的时刻为t1，从库存是0至下一批物资到达的时刻为t2。

Q（库存水平） 最高库存水平 批量Q O Q－B B t1 t2 t1 t2 T（时刻） t t 图4

那个地点尚需补充假设

B：库存得到补充之前的承诺缺货量； C3：在一个打算期内，缺一件产品的缺失费。

需要注意的是每批投产或每次订购的数量Q包括了最大的承诺缺货量B。 本库存模型中，生产预备费与订购费与前面模型相同：

C2D Qt1，因此，在一个机会期内，有ttQB货时刻所占比率也为1。有货时，最大库存量为Q-B，从而平均库存量为，由图4

t2库存费：因有货时刻t1占一个存贮循环时刻的比率为中 相似三角形易知

t1QB tQ因此，在一个打算期内，库存费为

t1C1(QB)C1(QB)2 t22Qt2，在一个打算期内，缺货总时ttB刻所占比例也为2。最大缺货量为B，因此，平均缺货量为，由图4的相似三角形得知

t2缺货费：在缺货时刻t2占一个存贮循环时刻的比率为

C3Bt2C3B2t2B。因此，在一个打算期内，缺货量为. 2t2QtQ综上，在一个打算期内，库存总费用

C2DC1(QB)2C3B2E,Q2Q2QC2DC1Q(C1C3)B2C1B,或写作EQ22Q这是该问题的目标函数。

(8)

(8)

现在的问题是决策两个变量Q和B，以使目标函数取极小值。 依照（8’）式，由二元函数极值存在的必要条件，有

EC2DC1(C1C3)B20QQ222Q2 EC(CC)B0113QB解该方程组，可得 Q*2DC2C1C3C1C3(9)

B*C12DC2C1Q*C1C3C3C1C3(10)

能够验证极值存在的充分条件满足：

2EQ2(Q*,B*)2E22E2E0， [()2](Q*,B*)0

2QBQB因此，将QQ*,BB*

代入（8）式，可得存货总费用的最小值：

E*2DC1C2C3C1C3(11)

C1C31，

C3C3比较（9）式和（3）式，假如缺一件产品的缺失费C3为无穷大，因lim则（9）式确实是（3）式，这说明：不承诺缺货可视为缺货缺失为无穷大的情形。此式，又因limC10，由（10）式知，恰有缺货量B*=0。

C3CC13例3 某厂，一年劳动日为300天，生产率（单位时刻内的产量）固定，一年可组装机

床1500台；若组装一台机床的零部件价值14400元，而一年的保管费为其价值的22％，因缺零部件而停工，少装一台机床的缺失费为零部件价值的50％；又每次订购零部件的手续费为7500元，为使一年存货总费用最小，试就下列各种情形决策最优批量和承诺缺货量（假如承诺缺货的话）并运算最佳费用：

（1）不管每次订购数量为多少，都可赶忙到货，不承诺停工待料； （2）若订货后，每天可到货30台机床的零部件，不承诺停工待料；

（3）不管每次订货多少，都可赶忙到货，承诺停工待料，但缺料时未完成的任务，当到货后，可不占劳动日就能完成。

解 由题设知

D1500台，C11440022%3168元，C27500元C31440050%7200元P30台/天,u1500＝5台/天300 （1）这是成批到货，不许缺货的情形。目标函数为：

E＝E(Q)316815007500Q， 2Q由（2）式得最优批量84.27，可取Q*=84台；由目标函数可得最佳费用E*＝266985元。

（2）这是连续到货，不许短缺的情形。目标函数为

EE(Q)3168Q515007500(1), 230Q由（6）式得最优批量92.3，取Q*=92台；最佳费用E*＝243723元。

下面，比较成批到货和连续到货两种情形： 最优批量 最大库存水平 一年订购次数 一年总费用

明显，连续到货总费用减少，这是因为一年订购次数减少且平均库存量减少。 （3）这是成批到货，承诺短缺的情形。目标函数

Q=84 Q=84 N=18(实为17.85) E=266985 成批到货 Q=92 Q=77 N=17(实为16.3) E=243723 连续到货 150075003168(QB)27200B2EE(Q,B),

Q2Q2Q由（9）式和（10）式可分别得到最优批量和最大缺货量：Q101.13，由此知，承诺停工待料的情形，取Q101台，这种情形也比第一种情形节约存货总费用。

**B*30.9

B*31台，最佳费用E＝222487元。