《导数的概念》(第1课时)教案1

导数的概念（第1课时）

一、教学目标：

1．了解曲线的切线的概念．

2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念．

3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础．

二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念．

教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程：

1．曲线的切线

如图，设曲线C是函数yf(x)的图像，点P(x0,y0)是曲线C上一点，点Q(x0x,y0y)是曲线C上与点P邻近的任一点．作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT．我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．

问：怎样确定曲线C在点P处的切线呢？因为P是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线

PT的斜率tan，即

tanlimf(x0x)f(x0)ylim.x0xx0x

2yx1在点P（1，2）处的切线的斜率k． 例题 求曲线

解：

yf(x0x)f(x0)f(1x)f(1)(1x)21(11)x22x

yx22xx2xx

∴

klimylim(x2)2x0xx0，即k2．

2．瞬时速度

我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数ss(t)描述．

下面以自由落体运动为例进行分析．

已知

s12gt2．

（1）计算t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段内平均速度．

（2）求t3秒时的瞬时速度．

解：（1）3,3.1,t3.130.1,t指时间改变量．

11g3.12g320.3059.s22指位置改变量．

ss(3.1)s(3)vs0.30593.059.t0.1

其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．

ss（2）从（1）可见某段时间内的平均速度t随t变化而变化，t越小，t越接近于

s一个定值，由极限定义可知，这个值就是t0时，t的极限．

11g(3t)2g32ss(3t)s(3)2vlimlimlim2t0tt0t0tt

1glim(6t)3g29.42t0（米/秒）



s问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当t0时，平均速度t的极限）

教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻t0的瞬时速度的方法如下：

非匀速直线运动的规律ss(t)

时间改变量t，位置改变量ss(t0t)s(t0)

ssvlimt0tt，瞬时速度．

平均速度

v一般地，如果物体的运动规律是ss(t)，物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到

tt这段时间内，当t0时，平均速度的极限，即

vlimss(tt)s(t)limt0tt0t

例题 若一物体运动方程如下：

2 (0t3) (1)3t2 s2(t3) (2)293(t3)

求此物体在t1和t3时的瞬时速度．

2解：当t1时，s3t2

ss(tt)s(t)3(1t)223122vlimlimt0t0ttt6t3t2 limlim(63t)6.t0t0t

当t3时，s293(t3)

2ss(tt)s(t)293(3t3)2293(33)23(t)2vlimlimlimt0t0tt0ttt lim3t0.t0

所以，物体在t1和t3时的瞬时速度分别是6和0．

3．课堂练习（学生练习后教师再讲评）

3yx2x2在x2处的切线的斜率． （1）求

解：yf(x0x)f(x0)

f(2x)f(2)(2x)32(2x)2(23222)2310x6(x)(x)

y106x(x)2x

ylim(106xx2)10.x0xx0

∴

klim（2）教科书第111页练习第1、2题．

4．课堂小结

（1）曲线的切线．

（2）瞬时速度．

（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．

五、布置作业

1．求下列曲线在指定点处的切线斜率．

1,x0x1处．

（1）yx2,x2处， （2）

3y22．已知某质点按规律s2t2t（米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前3秒内

的平均速度；（2）质点在2秒到3秒内的平均速度；（3）质点在3秒时的瞬时速度．

解：1．（1）k12，（2）k1；

2．（1）8米/秒，（2）12米/秒，（3）14米/秒．