第二章 一元二次方程 复习题
一．选择题
1．为执行“均衡教育“，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A．2500（1+2x）＝12000
B．2500（1+x）2＝1200
C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
2．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m+ +2的值是（ ） A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
3．一元二次方程y2﹣y＝ 配方后可化为（ ）
4．如果三角形的两边长分别为方程x2﹣8x+15＝0的两根，则该三角形周长L的取值范围是（A．6＜L＜15
B．6＜L＜16
C．10＜L＜16
D．11＜L＜13
5．将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（ ） A．﹣5
B．﹣8
C．﹣11
D．5
6．一元二次方程x2+4x+6＝0根的判别式的值为（ ） A．8
B．﹣8
C．2
D．﹣2
7．方程2x2+5＝7x根的情况是（ ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根
D．没有实数根
8．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则的值是（ ）
A．
B．
C．﹣3
D．3
）9．关于x的方程﹣2x2+4x+1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12+x22是（ ） A．2
B．﹣2
C．3
D．5
10．据统计，2016年底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿假设每年增长率相同，则按此速度增长，估计2019年底全球支付宝用户可达（A．11.25亿 二．填空题
11．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为 ．
B．13.35亿
≈1.414）（ ） C．12.73亿
D．14亿
12．对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是 ． 13．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 ． 14．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
15．某种药品原价每盒60元，由于医疗改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为 ． 三．解答题
16．某养殖场为了响应党的扶贫，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
18．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
20．用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．
第二章 一元二次方程 复习题
参与试题解析
一．选择题
1．【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×（1+增长率）+2017年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程． 【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x， 由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000． 故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
2．【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2＝2019m﹣1，利用整体代入的方法变形得到m2﹣2018m++2＝m++1，然后通分后再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根， ∴m2﹣2019m+1＝0， ∴m2＝2019m﹣1，
∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2
＝m++1
＝+1
＝+1
＝2019+1 ＝2020． 故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．【分析】先配方，再变形，即可得出选项．
【解答】解：y2﹣y＝，
y2﹣y+（）2＝+（）2，
（y﹣）2＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．【分析】利用因式分解法得到x1＝5，x2＝3，则可确定三角形第三边的范围，从而得到该三角形周长L的取值范围．
【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0， x﹣5＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝5，x2＝3，
所以该三角形周长L的取值范围是10＜L＜16． 故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 5．【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k， ∴h＝3，k＝﹣8， 则h+k＝﹣5， 故选：A．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝6， ∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×6＝﹣8，
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 7．【分析】先把方程化为一般式，然后计算判别式的值后判断方程根的情况． 【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0， 因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8．【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，再代入代数式
＝
计算可得．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣6， 则
＝
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
9．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝﹣，再变形x12+x22得（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后
利用整体思想进行计算即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1•x2＝﹣，
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝22﹣2×（﹣）＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
10．【分析】设平均每年增长率为x，根据2016年底及2018年底全球支付宝用户数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；根据2019年底全球支付宝用户数＝2018年底全球支付宝用户数×（1+增长率），即可求出2019年底全球支付宝用户数． 【解答】解：设平均每年增长率为x， 依题意，得：4.5（1+x）2＝9， 解得：x1＝9×（1+故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题
11．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：∵道路的宽应为x米， ∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77， 故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
12．【分析】将已知转化为对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，利用△＜0即可求解． 【解答】解：由题意可知：2b2﹣5ab+3a2＞﹣3， ∴3a2﹣5ab+2b2+3＞0，
∵对任意实数a，3a2﹣5ab+2b2+3＞0恒成立，
﹣1，x2＝﹣
﹣1（舍去）．
﹣1）≈9×1.414≈12.73（亿）．
∴△＝25b2﹣12（2b2+3）＝b2﹣36＜0， ∴﹣6＜b＜6； 故答案为﹣6＜b＜6．
【点评】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等式值的关系是解题的关键．
13．【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△＞0求解即可； 【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝4+4m＞0， ∴m＞﹣1； 故答案为0；
【点评】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式△确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．
14．【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2， ∴2k2+1+3k+1+1＝8k2， 整理，得：2k2﹣k﹣1＝0， 解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根， ∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0， 解得：k＜﹣3﹣2
或k＞﹣3+2
，
∴k＝1． 故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．
15．【分析】设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，从而列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分比是x，根据题意得： 60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 答：平均每次降价的百分比是10%； 故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 三．解答题
16．【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论； （2）设至少再增加y个销售点，根据题意列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x， 根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去）， 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%； （2）设再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%）， 解得：y≥，
答：至少再增加3个销售点．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 17．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，结合|x1﹣x2|＝4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根， ∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16， 解得：m＝1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．
18．【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个， 依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000， 整理，得：x2﹣360x+32400＝0， 解得：x1＝x2＝180． 180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0， 解得a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30， ∴a≥﹣，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．
20．【分析】首先把方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，然后变形为x2﹣x＝17，然后利用配方法解
方程．
【解答】解：原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0， x2﹣x＝17，
x2﹣x+
＝17+，
（x﹣）2＝
，
x﹣＝±，
所以x1＝，x2＝
．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．