第13讲 神奇的幻方
——数阵图
[教学内容]
《数学》暑期激趣版，三升四第13讲——数阵图。
[教学目标]
知识技能
1. 通过计算，进一步掌握有关数阵图的运算技巧。
2. 通过小组合作的形式，来激发学生学习的兴趣，提高学生合作交流的能力以及实践能力。 数学思考
1. 在解决数字迷等问题的过程中，进一步培养学生对数的计算和理解，发展数感以及学生的
思维能力。
2. 学生在讨论交流的过程中，能提出一些简单的猜想，并能思考问题，表达自己的想法。 问题解决
1. 培养学生分析问题的能力,寻找解决数阵图的方法，养成检验的好习惯。 2. 通过解答数阵图，了解同一个问题可能有不同的解决方法。 情感态度：
1. 积极参与数学活动，体会数学问题的探索性和挑战性，并在小组协作中感受数学活动中的成功。
2. 感受数学与生活的紧密联系，并在解决问题的同时，善于倾听别人的意见，养成良好的学习习惯。
[教学重点和难点]
掌握数阵图各种题型的解题方法与技巧
[课前准备]
动画多媒体语音课件
第一课时
教学过程
教学路径 学生活动 方案说明 一、 导入 相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。 把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个数。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数组成的3行3列的幻方称为3阶幻方。 “洛书”所画的图有黑、白圆圈45个。 从实际生活出发，使学生觉得亲切、自然。 这道题有 师：同学们，仔细观察表格中的数字，你能发现什么规律？ (下一步)依次闪每一行，然后在后边标上15， 闪每一列然后在列下面标上15 闪对角线，然后标上15 生思考，然后老师指定学生说说自己的发现。 生1：每一行数字和都是15。 生2：每一列的数字也都是15。 点难，建议老师重点讲解。
生3：每条对角线上的数字和也是15。 师：说得非常好，在我们的国家古代大家都玩这种游戏，这种游戏的名字叫幻方，也说这叫九宫格。我们现在把这个叫数阵图，今天 我们就学习关于数阵图。 二、自主探究、合作交流 踏上征程 课件出示： 例1 将1、2、3、4、5、6这6个数字填在下面的圆圈里，使得每条线上的三个数的和相等。将蓝色的字设计成可以拖动的 小组讨论，培养孩子的合作意识 1.生读题，寻找解题思路。 2.生分组讨论，然后找学生说说自己的答案。 课件出示答案： 答案不唯一 课件出示： 例2 将1、2、3、4、5、6、7分别填入下面的圆圈中，使得每条线上的三个数的和都相等。
（将数字1-7设计成可以拖动的） 通过讲解，锻炼孩子的口头表达能力 通过总结，培养孩子举一 1. 生读题，仔细审题。 2. 师生共同分析此题。 师：题目中都告诉我们什么信息？ 生：将1-7这几个数字填到三个圆圈里，并保证三条线上的三个数的和相等。 师：三条线，都有三个数，总共需要9个数，那题中不告诉我们用7个数吗？这是为什么呢？ 生：中间的数被重复计算了两次。 师：也就说着这七个圆圈中位置最特殊的是哪个位置呢？ 生：中间的数。 师：那我们如果在确定中间的数呢？ 3.生同桌之间相互交流。 4.指定学生汇报。 生：通过观察这七个数，我发现如果我把5填到中间，剩下的数，就两两搭配，较大数搭配较小数，这样可以保证和相等。 师：说得非常好，思考很到位，还有其他填法吗？ 生1：中间还可以填1…… 生2：中间还可以填7…… 5.拓展 师：如果把题目稍微改下，变成“不仅要保证每条边上三个数的和
相等，而且还要求和都是12。”那么应该选哪个？ 生思考，然后老师指定学生说说自己的解题思路。 解析： 将中间圆圈填充其他颜色，然后出示：先确定中间数 （下一步）在中间位置上依次填上：1,4,7 课件出示答案：（分三步出示）先出中间位置，然后依次出其余的 反三的能力 6.小结 师：解决此类题有一个较为简单的方法就是先算出中间数，然后再配对剩下数。这样就避免了一一计算，节省时间。 课件出示： 例3 将1到8这八个数字填入下面的圆圈里，使得每个大圆圈 上的和都等于22。将每个圆圈设计成可以填1-8这几个数字。 根据答题情况，适时进行总结，找到解题突破口 （1）生读题，思考 （2）师生共分析 师：这题的图形，特殊位置在哪？
生：中间的两个位置。在每一个圆圈中都有。 师：那么对于这道题，我们最先确定的是哪个位置上的数呢 生：中间两个数 师：如何快速求出满足条件的中间两个数呢？ 生：先求出两个圆圈上的数和是22×4，那我们发现中间的两个数被重复计算了。因为我们知道这个8个圆圈只能填8个数，8个数的和是（1+2+…+8），所以中间的两个数的和是22×2-（1+2+3+…+8）=8. 师：说得非常好，中间两数的和求出来了，那中间两个数分别是多少呢？ 生：中间两数可以是（1，7）（2，6）（3，5）。 （3）学生完成，然后师指定学生说说自己的答案。 解析： 依次闪每个圆圈，然后将中间两个填充上颜色，然后标上箭头：先确定中间两个数。 （下一步） 两个圆圈上的数字和=8个数的和+中间两数的和 （下一步）在中间的位置上依次填上：2,6；3,5；1,7 课件出示答案：分三步，依次先出示中间两个数，然后再出其他的。
（5）小结 师：解答此类题时，我们要注意中间数被重复计算的次数，然后再确定其他位置的数。 三、课堂总结 师：本节课你学到了哪些知识？ 生：说一说 师：我们刚才一起研究了数阵图的解题方法，你们会了吗？下节课再继续！
第二课时
教学过程：
预设材料与教学路径 预计学生活动 方案说明 一、过渡语： 师：上一节课，同学们不仅积极开动脑筋答题，还悟出了一些数阵图的解题技巧，真是太棒了！接下来还有更大的挑战等着我们，有信心战胜它们吗？ 生：有！ 二、巩固应用、尝试成功 攀登高峰 1. 将2、4、6、8、10这五个数分别填入下图，使得每条直线上的三个数的和都相等。 将蓝色的字设计成可以拖动的 教师要注意本环节思维活跃的学生易抢答，而可能导致个别学生不去动脑筋，依赖别人的答根据算式特点，思案。 考解题的关键点 学生完成，然后老师指定学生说说，中间的数是多少，怎么求得的。 2.将1到6这六个数分别填入下面的小圆圈里，使得每个大圆圈上4个数的和都是14。 （课件中五个圆圈可以通过键盘填数。不需要判断
对错。） 学生完成，然后师指定学生讲解。 3.将2、4、6、8、10、12、14、16、18这一组数分别填入下图，使得每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等。 蓝色的设计成可以拖动 师生总结。 1.学生先思考解题思路。 2.师引导学生分析： 师：这个问题，相信有很多同学都遇到过。我们应该如
何解决这个问题呢？ 生：枚举法。 师：那有没有别的方法呢？ 生：因为每一横行的和都相等，而2,4,6,8,10,12,14,16,18的和为90，说明每一行的和为90÷3=30，那么每一竖列和每条对角线上三个数的和也都是30。同时，这9个数的中间数是10，关于10对称的两个数的和都是20，而10+20=30，所以可以把10填在方阵的正中间，然后使关于,10对称的4组数和为20，最后想办法让正方形四条边上的和为30就行了。 师：这样同学说得非常好。同学们可以试着自己填一填。 3.学生填数，师巡视指导，指定学生说说自己的答案。 4.师：这里，我给大家介绍一个简单的方法： 方法1：（课件动画演示以上过程（第一步中九个数要按顺序一个个出现），每动一步，口诀同步显示在旁边） 方法2：动画按顺序排列，下一步 以10为中心，顺时针旋转一格，下一步 对角互换。 正常排列
顺时旋转 对角互换 5.拓展： 师：通过检验，我们发现，结果真的和题目条件一致。。所有9个数组成的等差数列都可以这样填，结果也都可以保证使每一行、每一列、每条对角线上的和都相等，通过这个方法，我们来检验一下，结果是否符合题意。现在大家可以试着把1到9这九个数填到3×3的方阵中，使每一行、每一列、每条对角线上的和都相等。我们看谁填得最快！ 4.将1到7这七个数分别填入下图，使得每个圆圈里的四个数的和都等于15。
学生审题，师引导学生分析： 师：对于这道题，跟前边所有题相比较特殊的地方是什么呢？ 生：我发现这道题有重叠一次，还有重叠两次的。 师：说得非常好，那哪部分重叠一次，哪部分重叠两次呢？ 生到黑板上指出。 师：如果我们把重叠一次的位置的数分别标为d，b,c，重叠两次的数标为a，你能求出这几个数的和吗？ 生思考，然后找学生说说。 生：（1+2+…+7）+a+a+b+c+d=15×3，进而得到 a+a+b+c+d=17。 师：说得非常好，那现在你能确定a,b,c,d分别表示什么数了吗? 生分组讨论了然后找学生说说自己答案。 课件出示解析：在原图上标上字母. (下一步)（1+2+3+…+7）+a+a+b+c+d =15×3, （下一步） a+a+b+c+d =17，先确定 a，b，c，d。 5.将3到9这七个数分别填入下图的小圆圈里，使得每条直线上的三个数的和与每个圆上的数之和都相等。（将3,4,5,6,7,8,9设计成可以拖动的数字）
生完成，然后师指定学生说说自己的解题思路。（先确定中间数） 课件出示解析： 先确定中间数。 眺望远方 在下面的方格中填上合适的数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和都相等，那么方格中所填的数是多少？ 学生先思考，然后找学生说说最先确定哪个位置的数呢？ 生：根据每行，每列，每条对角线上的三个数的和相等，
我们可以先判断出16上面格子里面的数为11+12-16=7。 师：说得非常好，为了方便大家解题，我们给每个格子进行编号。 师：很好，接下来呢？ 生：因为7+?+11=16+？+c，所以求出c=2，又因为2+11+d=d+e+7,进而得到e=6,又因为a+d=7+11=18，所以可以知道上下两行的和为d+e+b+11+12+a=18+6+7+11+12=54，所以每行的和为27。这样就可以得到?的值了。 学生计算其余的数，然后找学生说说自己的答案。 课件出示解析： （下一步）11+12+a=b+16+a,然后将表格中的b变为7 （下一步）11+7+？=c+?+16，然后将c变为2 （下一步）11+2+d=7+e+d，然后将表格中e变为6 （下一步）闪对角线上的5个数然后出示： a+d=7+11=18 （下一步）d+6+7+a+11+12=54 （下一步）每一横行的三个数的和是54÷2=27，然后将？变为9
三、课堂总结 同学们，通过今天的学习，你有什么收获？还有什么问题要解决？
教材答案： 教材： 攀登高峰
1.答案不唯一，中间的数还可以填2,10。
2.答案不唯一，中间的数还可以为3,4；2，5。
3.
4.
5.
眺望远方