高二文科数学培优： 立体几何中二面角的求法 编写：林洪兵2016-1-6
一、定义法：
例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。
分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。
变式1：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 .
分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为
二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉
思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1 是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=2。
将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 .
在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得
cos∠A11OC1=3
二、三垂线法
这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.
此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角l，过面
P 内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得l PB B A ⊥l，则∠PBA为二面角l的平面角，故称此法为三垂线法.
图3
最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作
出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗
例2 如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。
分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而
BD⊥平面VAC。
例3(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的
射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：
A F E (Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角Al B1 1－AB－B1的正弦值.
A1
B 分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白 图4
的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.
作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥A B交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的 平面角.
依次可求得AB，A23A1E61=B1B=21B=3，A1E=2，A1F=2，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=A= .
1F3三、垂面法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。
（1）求证：A1、E、C、F四点共面；
（2）求二面角A1-EC-D的正切值的大小。
分析与证明 （1）要证
A1、E、C、F
四点共面，可证：A、
F
l2393l分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知 l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.
分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=2393，PA=4，PB=3，则AC=23533，BC=3.
因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角l的大小为.
分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()， 则可解得cos=12，=120o，二面角l的大小为120o. 四、延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D
为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
分析与解 由图，平面A'BD与平面ABC只出
现一个交点，故延长A'D交AC延长线于F点，连BF，则BF为所求二面角的棱。因CD=C'D，则A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF中点E，连DE，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面
角的平面角。
说明 本题也可用射影法求二面角的度数。
五、射影法
例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角的余弦值。
分析与解：本题应用“射影法”
求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。
因是正方体，所以B1、D1、M在底面射影分别为B、D、A，设棱长为a.