平面向量的方法技巧及易错题剖析

1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定；

（2）两个向量的数量积称为内积，写成a·b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0；

（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c。但是ab= bc ac；

如右图：ab= |a|b|cos = |b||OA|，bc = |b|c|cos = |b||OA|ab =bc，但a c；

(5)在实数中，有(ab)c = a (bc)，但是(ab)c a (bc)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。 2．平面向量数量积的运算律 特别注意：

（1）结合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能得到bc；

（3）ab=0不能得到a=0或b=0。

3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；

4．注重数学思想方法的教学 ①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

②．化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判

2定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式aa，沟通了向量与实数间的转化关系；一些

2实际问题也可以运用向量知识去解决。

③．分类讨论的思想方法。

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如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方

向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 （一）平面向量常见方法技巧 方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题 特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。

例：化简下列各式：①ABBCCA； ②ABACBDCD； ③OAODAD；

④NQQPMNMP。结果为零向量的序号为___________。

方法二：强化运用向量加法法则

例：已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（ ） A. ABAD,0,1 C. ABAD,0,1

答案：A

方法三：数形结合思想

 B.

2ABBC,0，2



ABBC,0,2 D.

2 例：已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1OP2OP30，且|OP1||OP2||OP3|=1，试判断

P1P2P3的形状。

方法四：取特例

例：△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHmOAOBOC，则实数m=_____________。

答案：1

22方法五：应用|a|a解题

a2|a|2是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可

以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。

例：已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于（ ）

A. 7 B. 10 C. 13 D. 4 方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题

例1：已知向量a、b满足|a|6，|b|4，且a与b的夹角为60，求|ab|和|a3b|。 方法七：三角形形状的判断方法

由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断 已知平面上有互异的四点A、B、C、D，若DBDC2DAABAC0，则△ABC的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 （二）易错题剖析

【易错题1】若向量a、b满足关系式|ab||ab|，则下列结论中正确的是（ ）

A. 以a、b为邻边的四边形是矩形 B. a、b中至少有一个零向量或ab C. a、b中至少有一个是零向量

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大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

D. a、b均为零向量 答案：B

ab与ab解题思路：（1）当a、b均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，分别是以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线。|ab||ab|表明这个平行四边形的两条对角线的长

相等，所以，以a、b为邻边的四边形为矩形时，ab；

（2）当a、b中有零向量时，条件显然满足。 综上所述，故选B。

错因分析：误区：错选A。

思考不严密，只注意到了向量a、b均不为零向量的情形，事实上，当a、b中有零向量时显然也满足条件。

由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。 【易错题2】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：B。

解题思路：两个向量a与b共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反这两个向量共线；两个向量共线不能得到这两个向量反向。故选B。

错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选D。

造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。 【易错题3】设点A（1，2），B（n1，3），C（2，n1），D（2，2n1）。若向量AB与CD共线且同向，则n的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 1 答案：A

2解题思路：由已知条件得ABn,1，CD4,n，由AB与CD共线得n40，n2。当n2时，AB=（2，1），CD=（4，2），则有CD2AB，满足AB与CD同向，当n2时，AB2,1，

CD4,2，有CD2AB，此时AB与CD反向，不符合题意。因此，符合条件的只有n2。故选A。

错因分析：误区：由已知可得ABn,1，CD4,n，因为AB与CD同向且共线，所以n4=0，n2，因此错选C。 出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一个条件：方向相同。

向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向，0，同向；0，反向。

【易错题4】已知|AB|8，|AC|5，则|BC|的取值范围是（ ） A. [3,8] B. （3，8） C. [3,13] D. （3，13）

2答案：C

解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出|AB|8，|AC|5，BCACAB。 （1）当△ABC存在，即A、B、C三点不共线时，3|BC|13； （2）当AC与AB同向共线时，|BC|3； 当AC与AB反向共线时，|BC|13。

∴|BC|[3,13]，故选C。

错因分析：误区：错选D。

错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时，△ABC不存在。

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题目中两向量a、b是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。

【易错题5】已知a1,3，b2,，设a与b的夹角为，要使为锐角，求的取值范围。

解题思路：由为锐角，得cos>0，且cos1， ∵ab|a||b|cos恒大于0， ∴ab0，即1230。

解得

若a平行于b，则1230。即6，但若a平行于b，则0或，与为锐角相矛盾，所以6。

综上，。

失分警示：误区：∵为锐角，∴cos0。

由ab|a||b|cos知，只需ab0，即1230，故

23

且62323。

本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是ab0，事实上，两向量的夹角[0,]，当0时，有cos10，对于非零向量a与b仍有ab0，因此ab0是两非零向量a与b的夹角为锐角的必要不充分条件。即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是ab0且a不平行于b。

【易错题6】已知点A（3，4）与点B（1，2），点P在直线AB上，且|PA|2|PB|，求点P的坐标。

解题思路：设点P的坐标为（x，y），

由于|PA|2|PB|，

所以，当点P为有向线段AB的内分点时，2，

32(1)1x,1231y4220.12此时有∴点P的坐标为（3，0）。

当点P为有向线段AB的外分点时，2，

321x5,12y4228.12此时有∴点P的坐标为（5，8）。

1综上所述，点P的坐标为（3，0）或（5，8）。

失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点P可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，因此本题必须分类讨论。

【易错题7】△ABC中，已知ABAC0，BCAB0，CBCA0，判断△ABC的形状。

解题思路：ABAC|AB||AC|cosA。

BCAB|BC||AB|cosB|BC||AB|cosB，CBCA|CB||CA|cosC。

∵ABAC0,BCAB0,CBCA0。

∴cosA0，cosB0，cosC0，∴A、B、C均为锐角。∴△ABC为锐角三角形。

失分警示：误区：∵BCAB0，∴|BC||AB|cosB0。∴∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形。

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上述错误在于将BC与AB的夹角看成是△ABC的内角B，向量BC与AB的夹角应为B。 【易错题8】设二次函数y(ab)x2cx(ab)，其中，a、b、c是△ABC的三边，且ba，bc，若二次函数与x轴有交点，试确定∠B的范围。

222解题思路：由题设△0，即acb0

2a2c2b2cosB00B90。 2ac又ba,bc，∴B60。

由①②知，60B90。

① ②

222失分警示：误区：由题意得△4c4ab0

a2c2b2cosB00B902ac。

此解法忽视了题设中所给条件ba，bc，事实上，b是三角形的最大边。∠B为三角形的最大角，不小于60。

解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。

【易错题9】已知在四边形ABCD中，ABa，BCb，CDc，DAd，且abbccdda，试确定四边形ABCD的形状。 解题思路：由已知易得abcd0，则（ab）=cd，

2222∴abcd，即ab2abcd2cd。

222222又因为abcd，∴abcd，

①

2222同理可得adbc。 ②

2222由①②可得ac，即|a||c|，bd即|b||d|，∴|AB||DC|，|AD||BC|，∴四边形ABCD为平行四边形，且ac，bd，又abbcab，∴ab0，∴ab。

综上所述，四边形ABCD为矩形。

失分警示：误区：由已知可得abcd0，又∵abbccdda，

abbc,abad,222222adcd.|a||c|a(bd)c(bd)∴∴，∴ac，即。同理bccd.∴b(ac)d(ac)，∴b2d2，即|b||d|。四边形ABCD为平行四边形，∴ac，bd，

又∵abbc，∴b(ac)0，∴b(aa)0，即ab0，∴ab。综上，四边形为矩形。

上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结合律，因此学习向量时一定要认真仔细研读教材，抛开思维定式的影响，避免误入思维误区。 【模拟试题】 一. 选择题：

1. 下列各量中不是向量的是（ ） A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度 2. 下列说法中错误的是（ ）

A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度是0 C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向是任意

 3. 设O是正BC的中心，则向量AO，OB，OC是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 平行向量 C. 模相等的向量 D. 相等向量

 4. 命题“若a//b，b//c，则a//c”（ ）

a0b0 A. 总成立 B. 当时成立 C. 当时成立 D. 当c0时成立

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ABa，BCb，则|ab|等于（ ） 5. 已知正方形ABCD的边长为1，

2 D. 22  6. 在平行四边形ABCD中，BCDCBA等于（ ）

 A. BC B. DA C. AB D. AC 7. 下列等式中一定能成立的是（ ）

 A. ABACBC B. ABACBC C. ABACCB D. ABACCB

 8. 在平行四边形ABCD中，若|BCBA||BCAB|，则四边形ABCD必是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定 二. 填空题：

||b|1 9. 已知向量a、b满足abb，且，则a||ab|_________

10. 下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不充要必条件）

 （1）ab是a//b的_____________________（2）|a||b|是a//b的____________________

|a||b|是ab的___________________ （3）

11. 如图，四边形ABCD为正方形，CE为等腰直角三角形。

D C A. 0 B. 2 C.

A B E （1）图中与AB共线的向量有_________（2）图中与AB相等的向量有_________



（3）图中与AB模相等的向量有_________（4）图中EC与BD相等吗？_________



（5）图中AB与BA相等吗？_________

BCa，CAb， 12. ABC中，则AB等于__________

三. 解答题：

13. 如图，已知四边形ABCD是矩形，设点集M{A，B，C，D}，求集合

T{PQ|P、QM，且P、Q不重合}。（用列举法表示）

A D

B C 14. 化简OPQPPSMPMS。

15. 有一两岸平行的河流，水流速度为1，小船的速度为2，为使小船从一岸到达另一岸时所走的路程最短，小船应朝什么方向行驶？

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【试题答案】

1. D

提示：密度只有大小没有方向。 2. A 3. C 4. C

a、c 提示：由于零向量与任何向量都平行，所以当两非零向量不平行而b0时，有

a//b，b//c，但这时命题不成立。 5. C

 提示：|ab||ABBC||AC|2 6. A

 提示：DCBA

BCDCBABC(BA)BABC0BC

BCBABD，而BDDCBC 或者根据平行四边形ABCD中，

 BCDCBABC 7. D 8. B

 提示：|BCBA||BD|，|BCAB||AC|

 BD|AC|

即平行四边形ABCD的对角线相等，故平行四边形ABCD为矩形。 9. 1

abb，a0，a||ab||b|1 提示：

10. （1）充分不必要条件

 提示：ab，则a与b方向相同，a//b

a//b，|a||b|不一定成立，且a与b方向也不一定相反。 若

（2）既不充分也不必要条件

 提示：若|a||b|，则a与b的长度相等，但方向不一定相同。

a//b不一定成立，反之，若a//b成立，|a||b|不一定成立。

（3）必要不充分条件

|a||b|，ab不一定成立，但若ab，一定有|a||b|。 提示：若CD、BE 11. （1） （2）BE  （3）BC、CD、DA、BE （4）相等 （5）不相等

(ab) 12.

BCCABA，而ABBA 提示：根据三角形法则知

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 AB(BCCA)(ab)

13. 解：以矩形ABCD的四个顶点中的任一点为起点，其余三点中的一点为终点的向量共4312个，但这12个向量中不是各不相等，将相等的向量看作一个向量把它们一一列举出来：AC、CA、BD、DB、ABDC、ADBC、BACD、DACB。

 {AC，CA，BD，DB，AB，BA，AD，DA}

 14. 解：原式OPPQPSSMMPOQ0OQ （方法较多，同学们可以多找几种）

 15. 解：如图，在平行四边形ABCD中，AB表示水流速度，AD表示小船行驶速度，AC表示小船实际

|AB|1|AD|2航行速度，则，，若使小船所走路程最短，需AC与AB垂直。

在RtBAC中，AB1，BCAD2，AC1 |AC|1，ABCACBCAD45 即

故BAD9045135

所以，当小船行驶方向与水流方向成135的角时，小船从一岸到另一岸所走路程最短。

D C A B

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