第卷第期年月科学技术与工程④数理科学和化学广义多元凸函数与控制不等式工杨定华中国科学院成都计算机应用研究所成都摘要将著名的一元控制不等式推广到多元的情形获得了一个重要的多元凸函数的控制不等式引入了广义多元凸函数概念并且给出了一个实用而简洁的广义多元凸函数的判据作为多元凸函数的控制不等式在矩阵方面的初步应用获得了矩阵特征值和奇异值的简洁的控制不等式关键词广义多元凸函数控制不等式矩阵特征值奇异值中图法分类号文献标识码著名的控制不等式川是定理设引言及准备娜是在上连续的严格下凸函数压一,…口一月尽…尽任尸满不等式早就在各个数学领域发挥着重要的作足石卜严」则成立不等式用尤其在以分析为主要研究工具的学科或领域这沪职…华已是众所周知的在不等式的理论和应用得到了深杯汤十甲尽甲尽等号成立的充要条件是存在…人和广泛的发展中其中一类不等式被称之为控制的一个排列。。或优化不等式的发展尤其迅速它引起人们使得风。的广…当,在上是连续的严格上凸函数时不等式反向泛兴趣不仅是因为它常常能深刻地描述许多数学量之间的内在本质关系得到所需要的结论还能把这个结论有着广泛的应用常常用它来证明或许多已有的从不同方法得来的不等式用一种统一的推广已有的许多不等式同时它也是发现新不等式方法简便地推导出来它更是推广已有的不等式的一个强有力的工具值得注意的是尽管上述结发现新的不等式的一种强有力的工具论有广泛的应用但是我们在基础科学和工程技术一般控制不等式指的是两个向量之间的一组不等各领域遇到的常常要求处理高维或多元的控制不等式比建立于凸函数之上的随着它的进一步发展等式如上述控制不等式在比较甲,十抓王二抓王与甲夕,沪夕…,夕的和完善仅仅局限于两个向量之间的控制不等式已大小问题上却显得为力王,在尸上经远远不能满足各个数学领域应用的要求基于其中杯是连续的严格下凸函数王夕任满足王十王十此本文主要考虑建立于多元广义凸函数之上的涉…王一夕,夕…夕及多个向量之间的控制不等式的理论基础以及它很明显这已经说明一元控制不等式已经不能的初步应用满足应用的需要了本节的主要结果不仅彻底解决了上述比较大小的问题而且获得了一元控制不等年月日收到国家计划项目式的多元形式应用多元形式的控制不等式在解析资助不等式方面推广了著名的几何算术平均不等式科学技术与‘工程卷‘不等式和立方不等式等定理,,二一势。…由于一元函数关刀在得到…,设抓王在上是连续的严格,,元‘一杯、一,、,…上是连续的严格。下凸函数对于任意的王一毛夕‘…夕下凸函数九云卜又由定理九为夕,夕‘…、夕,任一…记几……、任九…几。,…如果对任意一…的都有元卜又甲势,亦即则有甲,抓少,抓,…十沪,…一势。沪切二…沪、,,抓马十沪同理一元函数关‘一扒王一抓‘…二等号成立的充要条件是对每个伪一…存在在上是连续的严格下凸函数元卜又再由定理少沪,…仍为,…的一个排列使得到沪,,,得。一入。一,一当抓牙在反向为上是连甲切,……续的严格元上凸函数时不等式切,,。为方便我们称多元不等式元下凸函数依次类推得到不等式链抓刃的控制不等式或优化不等式定理数,凸函数的证明我们先引人一个辅助一元函一沪禹‘习杯王‘名抓瓜云抓而,习杯画一…一沪‘…名抓夕‘下面证明一元函数关在上是连续的严格下,这样就得到了不等式的第少。、容易知道不等式链。中个不等式号取等号的充分必要条件是…设对任意的,王一历在、,…夕一‘丛,这里价丙…仍…,由沪上是连续的严格下凸函‘为伪一的一个排列为,从而不等式等号成妈数所以甲立的充要条件是对每个一…存在叨夕甲夕少、……妈…的一个排列使得孔‘记二一塑。‘一…鱼十丛‘加…—土、。、、下面我们通过几个推论来说明多元控制不等式的一点初步应用推论“甲同时也可以体会一下多元控制不等式在出来代数不等式方面的威力和魅力所以得到‘设牙一,…任库对于任。关意的夕一勺东‘夕‘…夕牙夕‘、‘…夕、任势沪夕‘…厂一叮二叮……尺…记夕一夕…牙歹…‘…二、任…如果对任意王甲业土了三旦、卢三己二宁退一…的都有又卜乳则有尸劲十王…一、,,汁勺州告一鱼圣业其中户王户王王尸所以一元函数五。王一曰王硕。王》二尺,王在苏,上是连续的严格下凸函扒数公这里的的王外王一外王》二砍,王、方便地记而…。…。,,、十任名蕊几一乍一只表王,任这里一…汀一…显然阶初等对称平均等号成立的充要条件是对每期杨定华广义多元凸函数与控制不等式工个,…存在仍。伪…妈为镇一的一个排列使得的证明元函数尸一汽一,一夕干二一一下,一二少上尸户护广三呀万,气妙不丁一二甲衬厂”门门曰如护一一一下一花,之之七尸以。乙户一,卿推论要证明势由定理我们现在只需厂门上二业亘艺产,下十一,二一万﹃乙二匕,十公公…凡在上是连续的严格压孙一抓动元下凸函数一直接由算术王告,簇卜李华典飞乙二、艺。夕,簇。」几何平均不等式得到十少临王其中一一蕊几习…、任”二件蕊刃,以的公至嵘王》二凡王公至磅至》二璐王上诸不等式等号成立的充要条件是对每个音公刃公刃嵘刃聆刃…公劲璐劝」〔一…存在仍…氏为,…一个排列使得。一汽一,牙〕一凡王」甲一…凡王〕一一元下凸广义多元凸函数为了叙述方便如果夕‘、夕,夕…夕所以多元函数杯动在函数再由定理上是连续的严格…二任…即得不等式其等号成立的证毕记充分必要条件是十分显然的推论注记歹夕少,夕…夕、牙歹一一二…二、…在推论,中取嘿抓贝…呱二夕一少‘夕。。一一卜,。,…云云…氏对任意我们称矩阵瓦行控制矩阵果存在某个毛…满足又卜云众简记为瓦卜,几如…使得又卜云则称矩阵瓦,…夕一…行严格控制矩阵众简记为火卜卜窟蕊一…从第一节我们知道对于中的一个凸集口夕即得著名的。一夕〕。…如果抓王在口上是连续的严格下二元凸函数则可以从瓦卜窟票推出不等式甲立方不等式设妻。一…一召则伞甲……沪甲。凡任凡呀凡,任耳任凡任任珠,任耳任。五仙任甲。五熟任十鲜任嵘,斌任反过来我们也知道在上由乎几卜共能推出不等式的元函数切九王对推导不等式是非等号成立的充要条件是推论二。…常有用的满足这个条件的早对于元函数甲刃类要比刀设王夕,一任元下凸函数广得多定义我们对这个在理论上和实用上任意的夕任,少‘…夕,牙夕二‘,二‘…二,都有重要意义的函数类作如下的定义…记‘尺夕…,夕、设凸集上由上的广义仁元连续函数甲刀牙一对任意,…,…如果称若在沪为口轰卜泛轰推出不等式成立则严格元…的都有又卜乳则有元下凸函数则称华为。夕牙。,夕牙十……孔毛牙,若在下凸函数上由又二卜卜窟共推出不等式上的广义严格镇成立即不取等号若一甲是,〔夕才牙,十〔令夕〕二夕才簇〔,上广义严格多元下凸函数则称元上凸函数为上的广义严格利用广义〔令〔牙,令一牙。告」元凸函数推出多种形式的有用不等科学技术与工程卷、式是控制不等式应用的一个重要方面判断一个函数为广义的事情因此如何任定理知道存在奋使得元上凸函数无疑是极为重要下面的定理具有基础性的借助于分析的一工具检查一个函数是否为广义元上凸函数常常壑里二巫二土卫三亘玉卜一。是有效的手段因此它就成为发现新不等式的一种强有力的方法凸函数的判据下面是一个实用而简洁的广义多元这里是具有内点的非空对称凸集设上连续且在的内部式可微则甲夕。夕,黔黔…夕。…一,宁、,…夕。定理…一,‘一誉、又奋一甲一泞州在一夕所以式赵非负得到,夕上为广义上满足元下凸函数的充分必要条件是二二任式甲在……二牙沪一甲‘,从而不等式在人上是广义证毕…即得成立当遍取元下凸函数充分性证毕定理甲‘、一一鱼业‘牙二气为一二丝、、业一母三‘多而厂、。、二,。。”义沼一‘…一全、由定理则推论的证明过程我们容易得到下面的定理十。的证明先证必要性若、式显然成立故不妨假定巴令厂在一夕,,翻上为广义设是具有内点的非空对称凸集上连续且在的内部人可微则沪犷一则当匆自誉夕、一、时有元下凸函数的充分必要条件是…,夕氏一‘’曰扒,令,,牙一二、二…二任式,在一夕…夕…‘…、一,上满足,返、二、十、…二便有‘牙卜‘歹石丁由于式石是非空对称开凸集所以云云任式于是,夕一,半弩一镇‘任“一,甲沪甲、利用在式上的可微性得到甲应用定理推论增的广义在我们可以得到初等对称函数甲才、‘在耸上是递元上凸函数特别地当元上凸函数时刃亦即年上还是广义严格所以,弩鲁户一一犷,推论沪是在元上凸设是具有内点的非空对称凸集上连续且在其内部式可微的广义严下凸函数则对任给的格。召,当遍取…就得到了不等式必要性证毕甲,弩半一叩,伽也是在上连续且在其内部人可微的广进一步我们还可义严格元上凸下凸函数以证明全体广义严格元上凸下凸函数组成再证充分性因为证明甲在式上是广义在上连续我们只需要元下凸函数即可如果仍的集合形成空间的一个锥然采用上述记号我们只需要证明当夕牙卜云女并且夕牙云石任直时不等式成立不妨定理在矩阵中的一点应用在在本节中我们将给出一些例子说明定理矩阵中的一点初步应用系假定镇云一卜、令斌,…多一,、扒十…一方面我们将会首先看,…一,一、,…便有‘三到矩阵中存在如此之多的丰富的美妙的控制关另一方面广义多元凸函数的控制不等式的确澎李了万由于人是非空对称开凸集所以斌了因为,任式深刻地反映了矩阵中大量的内在本质联系从而成在式上可微由不等式和微分中值为推导矩阵不等式的强有力工具期杨定华广义多元凸函数与控制不等式为了方便约定当为几久一。艺一……,卜久久几几…几‘则有…又阶实对称矩阵时其特征值从大到小的排列为几,…几记双一以几几十…十几,…久。一…当…十久,成,一……为一般的,十几十…几实矩阵其奇异值从大到小的排列为口丙定理的证明,将实对称矩阵…泛一岁……。么一办排列成向量的形式入记云一一。伪…。对之…函数,二,才久实距阵犷,一犷,,一一……由引理十知道是乙毛如果对任意的元上凸函数一、是些全一,牛卫元,…都有犷了,,…扩,,卜扩,了”,…之了我们记为对任意的,…卜下凸函数又对任意的都有……罗罗…了卜叮可,’…心,直接引理阶实对称矩阵则应用定理就分别得到对任意的,式和,式定理一有又证毕一定理十入,几实矩阵罗几、产乙犷…毛镇,如久又十果…,卜、…则有证由实对称矩阵特征值的极值性质得到,习习定理推论习习。乙人一乙、下片一王二王久,几的证明类似定理一的证明略去定义在实对称矩阵集合义上的二认王司沁夕”一竺号二元函数一“十乙一一久”。上凸函是广义多元一一一一一一、、一。一数“一久是广义多元下凸函数一五一王王人又推论定义在一般的二实矩阵集合汉王十”一沁夕丁十久上的元函数盯一习。艺镇镇二一引理簇蕊对任意的则有实矩阵一川是广义多元上凸函数限于篇幅我们在这里不打算给出更多的例子。客证一一客定理一‘一、由一般矩阵奇异值的极值性质实际上是的一个特殊情形得到客掣,,来说明定理的应用的其它应用关于广义多元凸函数的控制不等式理论我们将另文叙及其在诸多方面军华丁一、二。一,·,蕊参考文宝献十叮一爪一一几艺定理。另,王伯英控制不等式基础北京北京师范大学出版社。对任意的阶实对称矩阵…一匡继昌常用不等式第三版济南山东科学技术出版社犷,扩,如果下转页期王新华长为的线性负循环码丁‘一十习①参考文献云汁一〕间艺一汁‘①亡一习汁一④‘艺①、一一〕一仁‘习‘名‘十一乙艺十一由命题‘知任一号所以吧,琴从而丁二一一十二牙又由定理‘知又丁所以‘又乙一〕仁盯川乙乙乙上接页石仁〕