两个三角板“携手”进中考(2011-3 初中数学教与学)

近年来，以三角板为载体的中考题频频出现，命题者把三角板与所考查的知识有机融合，给出了一批题面新颖，构思巧妙的题目，下面分类举例由两个三角板构成的中考题，供参考。

一、静止型 例1．（2009年广西贺州）27．(本题满分8分)

图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M． （1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN． （2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

解析：27．（本题满分8分）

F C E F C F 证明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点．

E BC=BD ∴， 45° ∠B=60°E 45° 45° C H G ∴△BCD是等边三角形． ································1分 G G 又∵CN⊥DB， B 30° B 301° A A 30° N ∴DN ··············································2分 A N D D DBM M N D M 2① ② 第27题图① ∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形． 第27题图

∴∠ADG=30°，而∠A=30°． ∴GA=GD．

∵GM⊥AB

1∴AMAD·········································· 3分

2又∵AD=DB

B

∴AM=DN ··········································· 4分 （2）∵DF∥AC

∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°， ∴∠ADG=60°． ∵∠B=60°，AD=DB， ∴△ADG≌△DBH

∴AG=DH， ············································ 6分 又∵∠1=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB， ∴△AMG≌△DNH．

A E 45° G 30° M 1 D C F H B

N 第27题图②

∴AM=DN ． ······································ 8分 二、平移型 例2．（2008年广东省）22.（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边

AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH

与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

y D C C H 解析：22.解：（1）43，43，…………………………1D 分 E E 等腰；…………………………2分 P （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分） A B x A F B G ①△DCE、△ABE与△图9 ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△

图10 DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对) ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分

（3）由题意知，FP∥AE， ∴ ∠1＝∠PFB， 又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.…………………………6分 DCHy过点P作PK⊥FB于点K，则FKBK∵ AF＝t，AB＝8， ∴ FB＝8－t，BK1FB. 21AFEP1(8t). 22K 图10BGx在Rt△BPK中，PKBKtan213(8t)tan30(8t). ……………………7分 26∴ △FBP的面积S113FBPK(8t)(8t)， 226∴ S与t之间的函数关系式为： S332416(t8)2，或Stt3. …………………………………8分 121233t的取值范围为：0t8. …………………………………………………………9分

三、摆放旋转型

例3．（2010年湖南湘潭）23．（本题满分8分）

Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30、60角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；

（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△ABC位置，直线BC与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想．

(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明).

o

o

A'C'C(E)FC(E)QOA图(一)B(D)A图(二)PB'B(D)F解析：23．（本题满分8分）

23题图

证：（1）QABCFCB ……………………1分 ∴AB=CF，AC=BF ……………………2分 ∴四边形ABCF为平行四边形 ……………………3分 （用其它判定方法也可）

（2）OP=OQ ……………………4分 理由如下：OCOB,COQBOP,OCQPBO

COQBOP ……………………6分

∴OP=OQ ……………………7分

(用平行四边形对称性证明也可)

(3)90 ……………………8分

例4．（2009年广西玉林）25．（本小题满分12分）将一副直角三角板放置像图10那样，等腰

直角三角板ACB的直角顶点A在直角三角板EDF的直角边DE上，点C、D、B、F在同一直线上，点D、B是CF的三等分点，CF6， F30°．（1）三角板ACB固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转至EF∥CB（如图11），试求DF旋转的度数；点A在EF上吗？为什么？ （2）在图11的位置，将三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°．请问此时AC与DF有何位置关系？为什么？

E 解析：25．解：（1）∵EF∥CB，∴∠BDF＝∠F＝30°． ·········· 1分 A ∴DF旋转了30°． ··············································· 2分 在等腰直角△ABC中，∵AD⊥BC，

D B F ∴AD＝CD＝DB． ·············································· 3分 C 图10 ∵D、B是CF的三等分点，CF＝6，

A F ∴CD＝2，DF＝4． ············································· 4分 E ∴AD＝CD＝2． ·················································· 5分 过点D作DH⊥EF于H．

C D B 由题意，得DH＝DFsin30°＝2． ···························································· 6分

图11

∴AD＝DH，即点A与点H重合． 可见点A在EF上． ············································································ 7分 （2）AC∥DF．理由如下： ····································································· 8分 由题意，可知DF旋转的度数为30°＋15°＝45°． ········································ 9分 ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°． ············································ 10分 ∴∠C＝∠BDF． ··············································································· 11分

o

∴AC∥DF． 12分

例5．（2010年福建晋江）24.（10分）已知：如图，有一块含30的直

角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB3.

(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；

(2)若把含30的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A，试求图中阴影部分的面积(结果保留).

解析：24.（本小题10分）

解：(1) 在RtOBA中，AOB30，AB3，

yB A D OC A’ xcotAOBOB，……………………………………………………………（1分） AByB A D ∴OBABcot3033，………………………………（2分） ∴点A3,33 设双曲线的解析式为ykk0 xO∴3393k，k93，则双曲线的解析式为y

x3C A’ x…………………………………………………（4分）

(2) 在RtOBA中，AOB30，AB3，

sinAOBAB3，sin30， OAOA∴OA6.………………………………………（5分）

由题意得：AOC60，

S扇形AOA'60626………………………（7分）

360在RtOCD中，DOC45，OCOB33， ∴ODOCcos4533236.………………………………………（8分） 222∴SODC1136272OD. 2224∴S阴＝S扇形AOA'SODC627……………………………………（10分） 4