2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

来源：文都教育

2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！

一、解题思路分析

求分段函数的原函数（不定积分）

先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之：

（1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。

（2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数Ci统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数fx的一个原函数为任意常数。

Fxftdtax，然后写出fx的原函数fxdxFxC，其中C如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含

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该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。

二、例题解析

例1 已知

1,fx1x2,2x3,x0,0x1,x1,则求fxdx.

解析：由题意得：

因fx在点x0处无定义，而f00及f00均存在，故x0为fx的第一类间断点，所以在,内fx不存在原函数，而在点x1处fx连续，故fx的不定积分只能分别在区间,00,内得到。

综上所述，

xC1,fxdxx33xC2,4x2C3,x0,0x1,x1,

因fx在点x1处连续，故fx的原函数在点x1处也连续。于是有

limFxlimx33xC2limFxlimx42C3,x1x1x1x1

即C343C21256C2。

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综上所述，

x0,xC1,fxdxx33xC2,0x1,4x256C2,x1,

其中C1与C2是两个的常数。

1,flnx13x,fx,f01例2 设在区间内可导，且，又

0x1,x1,

则fx.

1,fuu3ux,解析：令lnxu，则xe，从而

u0,u0,

积分得：

uC1,u0,fuu3u0,3xC2,

由f01及fx在区间,内连续得C11,C22.从而

x1,fx133x2,x0,x0.

求分段函数原函数问题是考研数学高等数学部分最基本的题目类型，是高等数学的基础，我们在复习做题的时候，要想熟练掌握方法，必须多做练习，在练习中体会，全面扎

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实地学习。

关键词：2018考研 求不定积分 分段函数原函数

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