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传热学

第1章 传热基本概念

1、温度梯度：gradttnnkm，指向温度升高的方向； 2、傅立叶定律：热流密度qgradtWm2

3、导热系数：qgradtWmk

4、热扩散系数（导温系数）：a2cms，表征物体被加

热或冷却时，物体温度趋于均匀一致的能力。

第2章 稳态导热

导热方程与边界条件 1）导热常微分方程：

cttxytxtyzzqv ta2t2t2tx2y2z2qvc 2）边界条件：

第一类：已知任意时刻物体边界上的温度值：tstw； 第二类：已知任意时刻物体边界上的热流密度：qsqw； 第三类：已知边界周围物体的温度tf和表面传热系数h，即

qtnshtstf；

平壁稳态导热 1）第一类边界条件：

1、温度分布：tttw1tw2w1x；

2、热流密度：qtw1tw2w2tw1t；

3、热流量：AqAtw1tw2；

4、多层平壁热流密度：qtw1twn1n；

i1i2）第三类边界条件： 1、热流密度：qtf1tf211；

h1h22、多层平壁热流密度：qtf1tf21n

i1h11ih2 圆筒壁稳态导热 1）第一类边界条件： d1、温度分布：ttd1w1tw1tw2ln；

lnd2d12、热流密度：qtw1tw2l1；2lnd 2d13、热流量：qtw1tw2lll1； lnd22d14、多层圆筒热流密度：qtw1twn1n1； lnd212lid12）第三类边界条件： 1、热流密度：qtf1tf2l11d1；

ln2hd1d121h2d22、多层圆筒热流密度：qtf1tf2l1nhd1lndi111112idih2d2 临界热绝缘直径

单位管长总热阻：

R1tlh1lnd21lndx1d 1d121d12insd2h2xd2insxdch 2dcd2时，有散热作用；

dcd2时，有保温作用；

肋片传热

1、温度分布：ttfchmlxml，mhUA 0t0tfch2、肋端温度（过余温度）：

ttf1； 0t0tfchml3、肋片表面散热量：hUA0thml

4、肋片效率：hUltmtftmthml1

0hUlt0tf0ml等截面直肋散热影响因素

增大 t   表面换热系数h ↓ ↑ ↓ 肋厚 ↑ ↑ ↑ 肋高l ↓ ↑ ↓ 肋的导热系数 ↑ ↑ ↑ 5、界面接触热阻：Rt2At2Bc

第3章 非稳态导热

1、非稳态导热中的两个准则

傅里叶准则：Foa2。当Fo0.2时，过余温度随时间线性变化，瞬态温度变化进行正常情况阶段。

毕渥准则：Bih，数值大小直接影响物体内温度分布

情况。

①当Bi,意味着对流换热热阻趋于0，壁表面温度几

乎从开始立即达到流体温度；

②当Bi0,意味着物体导热热阻趋于0，温度分布应超于均匀一致。Bi准则越小，内部温度越趋于一致。当Bi<时，可近似认为物体温度是均匀一致的。 2、集总参数法

Bi0.1时，可使用集总参数法

lntlnthA 0t0tcv时间常数（弛豫时间）cvshA

当tts时，

36.8% 0t0t当4s时，

ttt1.83%，工程上可认定导热体已00t达到热平衡状态。

3、渗透厚度：3.46a

第4章 导热问题数值解

非稳态导热问题数值计算

温度-x 温度-时间 显式差分格式 二阶中心差分 一阶向前差分 Fo12 隐式差分格式 二阶中心差分 一阶向后差分 无 第二、三类边界条件，采用显式差分，稳定条件为

Fo12Bi2；采用隐式差分则无稳定条件。

第5章 对流换热

对流换热基本理论

对流换热既有对流，又有导热，不是基本传热方式，确定h及增强换热的措施是对流换热的核心问题。基本公式为牛顿冷却公式：

牛顿冷却公式：qhtwtf 影响对流换热系数的因素： ①流动的起因 ②流动速度 ③流体有无相变

④换热面的几何形状、大小和位置 ⑤流体的热物理性质

确定对流换热系数h函数关系式的方法：

①理论解法：理论解法（分析法）是在所建立的边界层对流换热微分方程组的基础上，通过数学分析解法、积分近似解法、数值解法和比拟法求得对流换热系数h的表达式。 ②实验解法：相似原理或量纲分析法，将众多的影响因素

综合成为数不多的无量纲准则，通过实验求得各准则间的函数关系，再将函数关系推广到与实验现象相似的实际现象中去。

③比拟法：比拟法是指通过研究动量传递及热量传递的共

性或类似特性，以建立起表面传热系数与阻力系数间相互关系的方法。

④数值法：数值法是指通过数值计算的方法求解表面传热系数。

边界层对流传热理论

流动边界层：壁面上流体速度为零，到接近流体主流速度的一流体层，厚度为，即流体速度u为主流速度u的处，

即u/u=0.99。

热边界层：过余温度=0.99f0.99(tftw)，壁温tw，热边界层厚度为t。可认为只有在热边界层有温度变化，热边界层以外可视为等温流动区。热边界层厚度不一定等于流动边界层厚度。

1）外掠平板层流换热：

Reuxcc5105

t11.026Pr13 普朗特数Pra NufRePr

边界层厚度：

12x5.0Rex

局部摩擦系数：

Cf,x120.332Rex2

平均摩擦系数：C1llRe12f0Cf,xdx1.328

局部换热系数：h0.33211xxPr3Re2x

准则关联式：Nu112x0.332Pr3Rex

平均换热系数：h0.6Pr13Re12lx

准则关联式：Nuhl1120.6Pr3Rex

定性温度：tmtftw2，定型尺寸为板长x 、l。 2）外掠平板紊流换热： 5105Re7x10

局部摩擦系数：C12f,x0.0592Rex

准则关联式：Nu14x0.0296Pr3Re5x 准则关联式：Nu0.037Re0.8870Pr13 适用范围：0.6Pr60、5105Re108。 定性温度：tmtftw2，定型尺寸为板长l。 对流换热无量纲准则及意义

斯坦顿准则：StNu/RePrhuc，反映紊流表面传热

p系数和摩擦系数间关系，称雷诺类比律。

努谢尔特准则：Nuhl，数值大小反映了对流换热的强

弱。

雷诺准则：Reul，反映流体流动时惯性力与黏滞力的

相对大小，反映流态对换换的影响。

格拉晓夫准则：Grgtl32，反映浮升力与黏滞力的相

对大小，流体自由流动状态对换热影响。

普朗特准则：Pr/a，又称物性准则，反映了流体的动量传递和热量传递能力的相对大小。 Pr值的大小：液态金属 < 水 < 油 。 相似原理

相似条件：同类现象，单值性条件相似，同名的已定准则相等。

单值条件包括：几何条件，物理条件，边界条件，时间条

件。

常用相识准则：

1）无相变受迫稳态对流换热，若自然对流可忽略不计： NufRe,PrCRenPrm

2）对于空气，Pr为常数，无相变受迫稳态对流换热，则为： NufReCRen

3）自然对流换热：

NufGr,PrCGrPrn

第6章 单相流体对流换热

管内受迫对流换热

进口段长度：

Pr1，流动进口段长度大于热进口段长度；

Pr1，流动进口段长度小于热进口段长度；

1）紊流换热：

关联式：NufRe,PrCRenPrm 迪图斯-贝尔特关联式： Nuf0.023Re0.8fPr0.4ftwtf Nuf0.023Re0.80.3fPrftwtf

非圆管当量直径：de4AU

hf(u0.8,0.8,0.6,c0.40.4,d0.2p,) 螺旋管修正系数： 气体： R11.77dR 液体： R110.3dR3 2）层流换热：

管子较长，不考虑自然对流的影响： Nuf4.36qconst Nuf3.66twconst

3）粗糙管壁的换热： 管内紊流换热

StPr23f8 阻力损失：lu2pfmd2 f：沿程阻力系数

外掠圆管流动换热

1）外掠单管

Reud

Re10，不发生脱体；

10Re1.5105，层流，脱体发生在80o～85o；

Re1.5105，紊流，脱体点可推移到140o

2）外掠管束

Pr0.25管束换热关联式：NunmffCRefPrfPrSpw1SZ 2后排管子传热系数高于前排管子换热系数。 自然对流换热 1）无限空间自然对流

在常壁温或常热流边界条件下当达到旺盛紊流时，局部表面传热系数hx将保持不变，即与壁的高度无关。 2）自然对流准则关系式： NuCGrPrnCRan

自模化现象：自然对流紊流，准则关联式中常壁温时n13，常热流时n14，关联式展开后两边的定型尺寸可消去，表

明自然对流紊流传热系数与定型尺寸无关，这现象叫自模化现象。

3）有限空间中的自然对流换热 封闭夹层空间换热关联式：

NumnCGrPrH 有限空间自然对流换热：

(1)垂直夹层：出现环流，正常；/H>，无环流，可按无限空间计算；两壁温差和高度都很小，使Gr<2000，则无流动，可按纯导热计算。

(2)水平夹层：此时自然对流只发生在热面在下的情况。对气体，Gr<1700时可按纯导热计算；Gr>1700后出现蜂窝状分布的环流；Gr=50000后呈现无序的紊流。 (3)倾斜夹层

Gr/Re2可作为判断自由流动影响程度的准则，体现了浮升力

与惯性力的相对大小。一般，当≥时，则不能忽略自然对流的影响；当≥10时，则可按纯自然对流处理。

第7章 凝结与沸腾换热

凝结分为膜状凝结和珠状凝结。 层流膜状凝结换热（30Rec1800）； 紊流膜状凝结换热（Rec1800）；

凝结换热

膜状凝结：能很好地润湿壁面。

珠状凝结：传热在蒸气与液珠表面及蒸气与裸露的冷壁间进行。珠状比膜状凝结的传热性能好。

对水平管，一般均匀层流状态。对垂直壁，上部为层流，随膜液向下流动，Re增大，在Re>1800后转变为紊流，整个壁面的平均表面传热系数应按加权平均计算。

多根管的水平管束，上排的凝液会流到下排管上，使下排管凝液膜加厚，传热效果降低。

影响膜状凝结换热因素：蒸气中含微量不凝气体，对换热影响很大；含润滑油；Re数低时，表面粗糙使膜增厚，传热性能降低。

增强凝结换热措施措施：减薄凝液膜厚度，加速排液。 1）垂直壁层流膜状凝结

124hg3rx4xtstw

1理论平均传热系数：4h0.9432g3rv

ltstw14修正平均传热系数：1.132g3hrvlt

stw凝结准则：2Coh3g13

2Reeumhltstwcd4r 垂直管：Co1.76Re13c；

水平管：Co1.51Re13c；

凝结准则Co为无量纲数群，也称为修正Nu准则，其大小反映凝结换热的强弱。 2）垂直壁层紊流膜状凝结

CoRec875058Pr0.5Re0.75253

3）水平管外壁

水平管由于管径较小，不会出现紊流膜状凝结，只有层流膜状凝结。

表面传热系数下一层管比上一层管小。

1平均传热系数：4h0.7252g3rdtdstw

Co1.51Re13c

水平管簇冷凝器大多数由管束组成。一般用Nd代替上式的d。 h50H0.77llhvd，当hHd50时，h2，故横管传热系v数比竖管要大，故冷凝器都设计成卧式。

沸腾换热 饱和沸腾过程：

①过热度小，无沸腾，为自然对流换热； ②过热度升高，换热强烈，称核态沸腾；

③生成气泡过多，开始覆盖加热面形成气膜，传热恶化，气膜不容易开裂，称过渡沸腾（或膜态沸腾），持续到热流密度为

最小时；

④形成稳定的汽膜层，传热回升，称稳定膜态沸腾。

形成气泡核的基本动力：沸腾温差

气泡最小半径：R2Tsminr vth0.122t2.33p0.15

第8章 辐射传热

热辐射基本概念 吸收、反射和透射： GGGG

1

单色辐射： 1

黑体：1；白体1；透明体：1

把波长在～100μ的电磁波称为热射线。它在介质中的传播速度等于光速。在真空中可以传播。凡温度大于0K的物体都会

发射热射线。黑体：全吸收；白体：全反射；透明体：全透射。 辐射强度，是指对某给定方向，在垂直于该方向的单位投影面积上，在单位时间、单位立体角内所发射的全波长能量，符号为L，单位Wm2sr，也称定向辐射强度。

辐射力，是指物体在单位时间内单位表面积向半球空间所发射的全波长能量，以E表示，W/㎡。

黑体的单色辐射力随温度升高而增大，随温度升高最大单色辐射力向短波方向移动。

黑体辐射力EbbT4，与绝对温度四次方成正比，

b5.67108Wm2K4。

设表面为漫辐射表面，则定向辐射强度与方向无关。在与法线成角方向的定向辐射力按余弦规律变化，法向的定向辐射力最大。实际物体的单色辐射力随波长和温度的变化是不规则的。

发射率EEb。实际物体在红外波段内可近似地作为灰体。 在热平衡条件下，物体的定向单色发射率等于它的定向单色吸收比。

如果表面不仅是漫辐射，而且是灰体，则辐射性质与方向、波长都无关，发射率等于吸收比。 普朗克定律 黑体单色发射力Eb

5EbC1C2Wm2m

eT1维恩位移定律：maxT27.6mK 斯蒂芬-波尔兹曼定律

4EEdxTbbbT4Cb0100

黑体辐射常数：b5.67108Wm2K4 黑体辐射系数：C2b5.67WmK4 兰贝特余弦定律

兰贝特定律表述1：黑体表面具有漫反射性质，即：

I1I2In；

兰贝特定律表述2，即余弦定律：

EIcosIncosEncos

EI漫辐射表面，辐射力是任意方向辐射强度的倍。

基尔霍夫定律

实际物体的辐射力与同等温度下黑体的辐射力之比称为该物体的发射率（或黑度）。即 4EECbbT4bT100 E0Ed0EbdEbEb0Ebd

灰体是指物体单色辐射能力与同温度黑体单色辐射力随波长的变化曲线相似，或单色发射率不随波长变化的物体。

,,T,,T

在热平衡条件下，表面单色定向发射率等于它的单色定向吸收率。

第9章 辐射换热计算

角系数：

角系数：有两个表面，编号为1和2，其间充满透明介质，则表面1对表面2的角系数X1,2是表面1直接投射到 表面2上的能量，占表面1辐射能量的百分比。 角系数应用的条件，即漫射面、等温、物性均匀。 角系数的性质：

1）互换性：AiXi,jAjXj,i； 2）完整性：nAiXi,j1i1,2,3,n

j13）分解性：A1X1,2A1aX1a,2A1bX1b,2

三表面封闭系统：Xl1l2l31,22l 1无限长表面角系数：

X交叉线之和不交叉线之和bc+adab-cd1,22表面Aab 1的断面长度2 灰体面间的辐射传热

投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能，记为

G。

有效辐射：单位时间内离开单位面积的总辐射能为该表面的有效辐射J。包括了自身的发射辐射E和反射辐射G。

有效辐射：JEbGEb1G

EbJEb1JR AR1A称为表面A的辐射热阻，又称表面热阻，表面发射率越大，表面热阻越小，黑表面表面热阻为0。 组成封闭腔两灰体表面辐射换热计算：

Eb1Eb2121

11121A1X12A12A2平行无限大灰体表面辐射换热计算： Eb1Eb212A1 11112空腔与内包壁面表面辐射换热计算： A1Eb1Eb2121

1A111A212A2A1且2值较大，上式化简为：121A2Eb1Eb2

气体辐射

1）气体辐射的特点：

（1）气体辐射和吸收具有明显的选择性；

（2）气体辐射和吸收在整个容器中进行，强度逐渐减弱。 2）气体吸收定律

气体吸收定律也叫布格尔定律，即：

Is,sI,0eK

气体吸收与气体性质、压力、温度及射线波长有关。负号表明辐射强度随气体层厚度增加而减弱。单色辐射强度穿过气体层时按指数规律减弱。

太阳辐射能99%集中在μm范围内。通常希望在3μm以下太阳辐射的单色吸收比尽量大，3μm以上的则尽量小。普通玻璃可透过3μm以下射线，3μm以上的长波基本不透过，“温室效应”。

3）气体的发射率和吸收率

气体的发射率是表面的辐射特性，吸收率是容积的辐射特性。

（1）气体单色吸收率和发射率：

K1eps （2）气体的吸收率gg

气体辐射具有选择性，不能当灰体对待。 影响气体发射率的因素： ①气体温度；

②射线平均行程与气体分压的乘积； ③气体分压与气体所处的总压。

第10章 传热和换热器

对数平均温差：

ttmtlnt t能效：换热器的实际传热量与最大可能的传热量之比，反映了换热器“冷热流体进口温度差”的利用率。

冷流体：t2t2t1t 2热流体：t1t1t 1t2传热单元数：NTUkAC min沸腾和凝结时，CminCmax0，顺流、逆流及其他所有流动方式的都相同，为：

1eNTU

常见相识准则数及其物理意义

准则名称 表达式 物理意义 傅立叶准则 Foa 2非稳态过程无量纲时间，表征非稳态过程进行深度。 固体内部导热热阻与界面上换热热阻之比，为固体内部导热热毕渥准则 Bihl 阻。 表征壁面法向无量纲过余温度梯度的大小，反映对流换热的强弱。努谢尔特准则 Nuhl 为流体内部导热热阻。 普朗特准则 cp Pracp又称物性准则，反映流体动量传递能力与热量传递能力的相对大小，表现对流物性对换热影响。 表征流体受迫运动时惯性力与粘性力的相对比值，其大小反映了流态对换热影响。 表征流体自然对流流动时浮升力与粘性力的对比值，其大小反映了雷诺准则 ul Reul格拉晓夫准则 Grgtl32 自然对流流态对换热的影响。 1凝结准则 32gCoh23 无量纲数群，也称为修正Nu准则，其大小反映凝结换热的强弱。 斯坦登准则 StNuReh Prcpu一种修正Nu数，视为流体实际的换热热流密度与流体可传递的最大热流密度之比。 J因子 jStPr23 无量纲表面传热系数 摩擦系数 Cfw2u 无量纲表面切应力 工程流体力学及泵与风机

（含流体力学）

流体力学基础

单位质量力：fmFBm 密度值：33水1000kgm，水银13600kgm，

kgm3空气1.29

牛顿内摩擦定律：剪切力：dudy， 内摩擦力：TAdudy

动力粘度：

液体：T↑↓ 气体：T↑↑

完全气体状态方程：

PRT

压缩系数：1dV1dVdpdpm2N 膨胀系数：V1dV1dVdTdT1K 1、描述流体运动的方法： 拉格朗日法（以单个质点为对象）：

xxa、b、c、tyya、b、c、t zza、b、c、t欧拉法是以流场为研究对象：

时变加速度（当地加速度）：时间变化引起的加速度； 位变加速度（迁移加速度）：空间变化引起的加速度； 欧拉法（非恒定流）：

uxuxx、y、z、tuyuyx、y、z、t uzuzx、y、z、t欧拉法（恒定流）：

uxuxx、y、zuyuyx、y、z uzuzx、y、z2、恒定元流能量方程

流线：

dxudydz xuyuz连续性方程：1v1A12v2A2 流体能量方程（伯努利方程）：

p211Z2gp21uZu2222gC Z：位置水头；

p：压强水头； u22g：流速水头； HppZ：测压管水头；

Hpu2Z2：总水头； 实际流体能量方程： p21Zu1pu212g2Z222ghl12 3、恒定总流能量方程 单位重量流体能量方程： p21Z1v1p222v212gZ22ghl12

3动能修正系数：udAv3A分布较均匀的流动1.05:1.1，

通常取1.0。 气体能量方程：

v2p1212aZ2Z1p2Zv222pl12

两断面高度相差不大时：

pv21pv22122Z22pl12

比托管测流速：u2gHgh 4、恒定总流动量方程：

FQ2v21v1 -动量修正系数

水垂直喷射平板受力：FQv

相似原理与因次分析

1、相似原理

几何相似

长度比尺：l1pl2pll,pm

1ml2m面积比尺：l2pAl2ml l3体积比尺：p3Vlml 运动相似：

速度比尺：u1pvuu2p1muvp2mv

m时间比尺：tpmlttlpuml mupv动力相似： TpGpPpGIpT

mmPmIm动力相似是运动相似的保证 惯性力（I）：F2Ilv2； 粘性力（T）：Fvlv； 重力（G）：FGgl3 压力（P）：F2PPl

雷诺数：ReFIFvl； v弗诺得数：FrFIv2F Ggl欧拉数：EuFPPF Iv2

流动阻力和能量损失

1、流动阻力与能量损失

管路能量损失：hlhfhm；

沿程水头损失：2hflvd2g； 局部水头损失：hv2m2g； 2、层流与紊流

对于圆管：（d：直径；R：水力半径）

层流：RevdvR20002300、ReR500575紊流：Revd20002300、ReRvR5005753、均匀流方程

壁面切应力：r0hfr02l；r 00水力坡度：Jhfl；

4、圆管层流

管内流速分布：uJ4r20r2； 最大流速：ugJmax4r2gJ2016d 平均流速：v1gJ2umax8r2gJ032d； 沿程损失：hfJl32vllv2gd2Red2g 沿程阻力系数：Re 5、圆管紊流

粘性切应力（牛顿内摩擦定律）：1duxdy； 粘性力：TAdudy； 惯性切应力（雷诺力）：2uxuy 圆管紊流断面流速分布是对数型的。 6、沿程阻力的计算

沿程阻力系数的变化：

层流区： f1ReReRe2000

临界过渡区：f2ReRe2000Re4000 紊流光滑区：f3ReRe4000

紊流过渡区：fkdv1.754Re,

紊流粗糙区：f25kdv

7、非圆管的沿程损失

水力半径：RA 圆管：Rd4； 矩形：Rab2ab

当量直径：de4R 8、局部损失 突然扩大管：

22hv21v21A1v211A2m2gv22A22gA

12g突然缩小管： h0.51A2Av22m2g

1

管路计算

1、管路计算 对于液体：

Hld1v22g 8lHd2d4gQ2SHQ2 8管路阻抗：lSdH2d4g 对于气体：

8lpHd22d4QSHQ2SPQ28l管路阻抗：SdP2d4

水泵：

输入水头：Hp02iHSHQ；

最大真空高度：hv7:8.5m。

2、管路串、并联计算 串联：

流量：Q1Q2Q3

阻抗：SS1S2S3 并联：

阻抗：1111SS；

1S2S3流量：Q111:Q2:Q3S:1S:12S；

33、孔口管嘴管道流动 1）孔口流：

出口流速：vc2gH0；

流速系数：0.97（收缩断面e2处）；收缩系数：AcA0. 流量系数：0.62 2）管嘴流：

出口流速：vb2gH0；

流速系数：0.82；

收缩系数：AcA1 流量系数：0.82

管嘴正常出流条件：H09m,L3:4d 结论：vbvc，Q孔Q管

4、明渠恒定流

缓流：障碍物的影响能向上游传播的明渠流动形态； 急流：障碍物的影响不能向上游传播的明渠流动形态。 1）梯形断面水力要素：

水面宽：Bb2mh； 过水断面积：Abmhh； 湿周：b2h1m2；

水力半径：RA 2）圆断面水力要素：

充满角：sin24； 过水断面积：2Ad8sin； 湿周：d2；

水力半径：RAdsin41

3）明渠均匀流的发生条件：

恒定流，流量沿程不变； 长直渠道；

顺坡，坡度沿程不变； 粗糙系数n沿程不变； 沿程无局部干扰。 明渠均匀流水力特征：

沿程过流断面的水深、流量、断面平均流速、过流断面平均流速均不变；

渠底坡度与水利坡度相等，即J=i。 4）谢才公式

谢才公式：vCRJCRi 曼宁公式：C1nR16，n（粗糙系数） 流量：QAvAcRiA2nR3i12 对于圆断面：

0.93时有Qmax

0.85时有vmax

5）渗流

孔隙率：nvvAA1 渗流流速：uQAQnAun，uu 渗流重要特点：HHPpZg；

达西定律（渗流线性定律）：

ukJkHlkdHds，k-渗流系数 适用于Re110的渗流 6）潜水井（完全井）

流量：2222Q1.36kHhHh； lgRkRrln0r0影响半径：R3000Sk3000Hhk， 7）集水廊

单侧单位宽度上的渗流量：

kH2h2q2L

总流量：Q2ql

特定流动分析

无旋流动：流场中各点旋转角速度等于零的运动，即流体

微团不绕自身轴旋转。只有内部不存在摩擦力的理想流体场才可能存在无旋流动。

1uzuyx2z0y1uxy2zuzx0 1uyuxz2xy0无旋流动的前提： uzuyyzuxuzzx uyuxxy速度势函数：dx,y,zuxdxuydyuzdz

全微分展开：dxdxydyzdzuxdxuydyuzdz uxxu yyuzz拉普拉斯方程：

222x2y2z20 对于不可压缩的流体的平面流动，存在流函数x,y，与速度分量存在以下关系：

uxy uyxdxdxydyuxdyuydx0 不可压缩流体平面无旋流动的流函数，满足拉普拉斯方程，也是调和函数。

2x22y20 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。不可压缩流体势流的速度函数，是坐标x、y、z的调和函数。而拉普拉斯方程本身，就是不可压缩流体无旋流动的连续性方程。

无旋和有势互为充分必要条件。

一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动还是无旋流动都存在流函数，但只有无旋流动才存在势函数。平面势流的流函数和势函数互为共轭函数。

流函数等值线（即流线）和势函数等值线（简称等势线）正交。

气体动力学基础

声速：cdpdkpkRT 绝热指数：ki2i（i-分子自由度，空气i=） 气体常数：R8314nJkgK（n-分子量，空气n=29） 马赫数：Mvc

断面A与气流速度v的关系：

dAM2dvA1v dhvdpcdc，故增速则压降，降速则压升

kk1kk1RTv2RT02const T0k1T12M2 喷管和扩压管流速变化与截面变化的关系:

kkp0T0k1k12pTk112M 110T0k1Tk12k112M 11c0cT02Tk12212M

泵与风机

1、泵与风机的性能曲线： ①流量-扬程：Hf1； ②流量-轴功率：Nf2； ③流量-设备本身效率：f3；

2、泵与风机流动损失：

①流动水力损失（降低实际压力）； ②容积损失（减少流量）； ③机械损失。

全效率=容积效率×水力效率×机械效率

泵的扬程：HHgSQ2

电机功率：NQHgQH 3、管路性能曲线及工作点 Q-H曲线：

①平坦型：流量变化小，能头变化大； ②陡降型：流量变化大，能头变化小； ③驼峰型：有稳定工作点和不稳定工作点。

两性能曲线在某交点的斜率

dH管dH机dQdQ，则为稳定工作点。流体动力特性：HP1P2HZhlH2g1SQ； 闭合管路中运行时：HSQ2 4、改变管路性能曲线的方法： ①压出管上阀门节流；

②吸入管上阀门节流（水泵不用该方法）。 5、改变泵与风机性能曲线的调节方法： ①改变风机与泵的转速；

流量：

QQn； mnm2扬程：

HHn； mnmNn3功率：

Nn mm②改变风机进口导流阀的叶片角度；

③切削泵叶轮外径及改变风机叶片宽度及角度。

6、叶形对性能的影响

向前叶形的泵和风机总的扬程较大，但能量损失也大，效率较低、离心式泵和大型风机，为提高效率，均采用向后型叶形。就中小型风机而论，效率不是主要考虑因素，也可采用向前型叶形的，向前型叶形的设备可以将外形尺寸做的较小。 7、气蚀的原因 ①几何安装高度过高；

②泵安装地点海拔高，大气压低；

③输送液体温度过高。

吸入口压强水头（吸入口真空高度）：

HPaPssgHv2sg2ghs HsHsHsmax0.3

Hsmax：开始气蚀的临界吸入口真空度，厂家试验所得

Hs：允许吸入口真空度，标准大气压、20℃试验得；

Hg：允许水泵安装高度；

实际安装高度：2HgHgHssv2ghs 修正Hg：HsHs10.33hA0.24hv

hA-当地大气压压强水头（m）；

hv-与水温相对应的气化压强水头（m）。

必须气蚀余量：hhpmin0.30.3

泵允许安装高度：Hgp0pvhsh

理论力学

第1章 静力学

1、力对点的矩：M0FFh 方向：逆时针转为正，反之为负。

2、力对轴的矩：MZFMoFxyFxyh 方向：按右手螺旋法则定。 3、力偶：MFd

方向：逆时针转为正，反之为负。 4、零杆判断方法：

①两杆节点上无外力作用，且两杆不在一直线上，两杆都是零杆；

②三杆节点上无外力作用，其中两杆在同一直线上，另一杆是零杆；

③两杆不在同一直线上，若在1杆的反向加上力F，则2杆是零杆。

5、摩擦自锁条件：tanf

第2章 运动学

1、刚体定轴转动公式： 转动方程：ft 角速度：ddt 角加速度：dd2dtdt 速度：vR

加速度：aatann

av2tR，anR2R aa2a2tnR24 tana,n2

第3章 动力学

1、力学基本定律： 第一定律（惯性定律）；

第二定律（力与加速度的关系定律）：Fma 第三定律（作用与反作用定律）。 2、动量

质点的动量：pmv，矢量；

质点系的动量：npmiviMvc，动量主矢；

i1刚体系统的动量：npMivci

i13、冲量：衡量力在某段时间内积累的作用。Ift4、动量定理： 质点：

ddtmvF； 质系：

dpdtF； 质心运动定律：macF 5、动量矩：

质点对固定点O的动量矩：Mormv； 方向：右手法则确定，单位kgm2/s

质点系对固定点O的动量矩：nLorimivi；i1刚体动量矩：LOMOmvcrcmvc 平动刚体： LzJz 平面运动：LOrcmvcJc 转动惯量平移公式：JzJzcmd2

6、简单形体转动惯量：

简单形体转动惯量

物体形状 转动惯量 1ml2 12转动刚体：T回转半径 1Jz2 2Jzc平面运动刚体：Tmvc2Jz2

zc112l 1212细直杆 Jz12ml 3细圆环 JxJy12mr 2xy12r JzJOmr2 12mr 4zr 1r 2JxJyxy薄圆盘 JzJO12mr 2z12r 7、动量矩定理： 质点：

dMomvMoF； dt质点系：

dLzMzMzF； dt定轴转动：JzMzF； 平面运动：macF

JcMcF

8、动能定理：

常力做功： WFcoss 重力做功：W12mgz1z2 弹力做功：W12k2122 2力偶做功：W12mzFd

219、动能：

平动刚体：Tmvc2

12材料力学

轴向拉伸与压缩

1、横截面上的应力及强度条件

拉压正应力：FNA 拉压强度条件：FNmaxA max强度条件的作用：

①强度校核：FNmaxA； max②选择截面尺寸：AFNmax

③选用许用载荷：FNA 2、斜截面上的应力 总应力：P0cos pcoscos2p1

sin2sin23、拉压变形及胡克定律 胡克定律：E

绝对伸长量：lFnLEA EA：杆的拉伸刚度

纵向线应变：llE 横向线应变：bbb 泊松比（横向变形系数）： 4、材料拉伸、压缩时的力学性能 1）低碳钢拉伸、压缩时的力学性能

弹性阶段OA：e弹性极限；P比例极限

屈服阶段BC：s屈服极限 强化阶段CD：

局部变形阶段DE：“颈缩”现象 2）铸铁拉伸、压缩时的力学性能

b强度极限，压缩的强度极限bc是拉伸时的34倍。3）截面的收缩率和伸长率

伸长率：l1l0l100%； 0 5%：脆性材料； 5%：塑性材料；

收缩率：A1A0A100% 04）极限应力及许用应力

塑性材料极限应力：lims； 脆性材料极限应力：limb； 许用应力：limn，n-安全系数。

剪切

1、剪切强度计算

切应力：FSA 剪切强度条件：FSA 0.50.7：塑性材料 0.81.0：脆性材料 2、挤压强度计算

名义挤压应力：FbsbsA bsbs1.52.5：塑性材料 bs0.91.5：脆性材料

挤压强度条件：bsbsFAFbsdlbs bs

圆轴扭转

1）圆轴扭转基本知识

外力偶：m9549PnNgm 扭矩正负号规定：以右手螺旋法则表示扭矩矢量方向，若该矢量方向与截面外向法线方向一致时为正，反之为负。

切应力互等定律：，同时指向或背离两截面交线 剪切胡克定律：G

：剪切变形

切变弹性模量：GE21

圆截面扭转切应力：TI p最大切应力：maxTRTI pWt

圆和圆环的极惯性矩和抗扭转截面系数

截面 极惯性矩Ip 抗扭转截面系数Wt 圆 3Id4p32 Wpd16 圆环 4I4pD321 WpD31614 圆轴扭转强度条件：TmaxmaxW p2）圆轴的扭转变形与刚度条件

圆轴的扭转变形单位长度扭转角：TGIradm p圆轴的扭转变形扭转角：TlGIrad pGIp-抗扭转刚度 圆轴扭转刚度条件：TmaxmaxGIrad pTmaxmaxGI180 p

截面的几何性质

1）静距与形心

Sy静矩

xdAA SxydAA截面形心位置计算公式：SxdAyxcAAAydA

ySxAAcA

2）惯性矩（二次矩）及惯性积

I2惯性矩：xydAAi2xAI2Ai2 yxdAyA惯性半径：ixIxA IyIyA极惯性矩：Ip2dAIxIy

A惯性积：IxyxydA

A常用截面惯性矩及抗弯截面系数

3ID4xbh12 Id4x Ix14 3Wzbh26 Wzd32 WD3z3214 3）组合截面的二次矩与平行移轴公式

IxIxoAa2II2yyoAb IxyIxoyoAab

弯曲内力

1）分布荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系：

dFsxqx，dMxFd2Mxdxdxxx，dx2qx

载荷q 剪力F 弯矩M 零 平 斜 平 斜 抛

弯曲应力

1）弯曲正应力

中性层曲率与弯矩关系：

1MEI zEIz：弯曲刚度

弯曲正压力公式：MyI z弯曲切应力公式：*FsSzIb z弯曲强度条件：

MymaxmaxIMM zIzymaxWz抗弯截面系数：WzzIy max2）正应力强度条件

塑性材料抗拉压能力相同，弯曲正压力强度条件为：

MmaxmaxW z脆性材料许用拉应力t小于许用压应力c，则按拉伸与压缩分别进行强度计算。

tmaxt，cmaxc

强度校核：MmaxmaxW z设计界面尺寸：WMmaxz

确定许用载荷：MmaxWz 3）切应力强度条件

等截面直梁，切应力强度条件：F*smaxSzmaxmaxI zb

切应力分布沿截面高度呈抛物线分布。

矩形梁：3Fsmax2bh32 圆形梁：4Fsmax3bh43 圆环梁：Fsmax2bh2 工字梁：maxFsb 0h04）粱的合理截面

①使WzA越大越好，截面积分布离中性轴较远；

②

tmaxt cmaxc5）降低弯曲强度的措施：

MmaxmaxW z①降低Mmax：合理安排支座、合理分布载荷； ②增大Wz：合理设计截面、合理放置截面。

应力状态与强度理论

1）任意斜截面上的应力

正应力：xyxy=22cos2xsin2

切应力：xy=2sin2xcos2

正应力以拉应力为正，切应力以使单元体顺时针方向旋转为正，方位角以x轴为始边、逆时针转向为正。 2）平面应力分析应力圆法

2xy2xyx222xy 3）主应力和最大切应力 平面应力状态的三个主应力

xy2212x42yxy xy212x242yxy 0

主方向：tg22xy

xy、、按代数值大小排列分别表示1、2、3，

123

最大剪切力：maxmin

2）切应力

121、22x42yxy

3）四个常用的强度理论：材料在复杂应力状态下关于强度失效原因的理论

（1）第一强度理论（最大拉应力理论）（匀质脆性材料）

b1=n

b（2）第二强度理论（最大拉应变理论）（一般不用）

b123n

（3）第三强度理论（最大切应力理论）（塑性材料屈服现象）

b13n

s（4）第四强度理论（形状改变能密度理论）

12222122331bn s（5）相当应力r

r11

r2123 r313

1r42222122331 （6）适用范围

塑性材料用三、四理论，理论四比理论三经济，塑性材料三向拉应力时发生脆断采用第一理论；

脆性材料受二向或三向拉应力时采用第一理论，铸铁受三向压缩，有流动现象，用第三、四理论。 （7）强度理论用于二向应力状态（y0）

x122122x4xy20 123x222x4xyr324213xxy1222222r4122331x3xy

组合变形

1）拉压-弯组合

FNMZMytmaxAWrZWyF NMZMycmaxAWWrZy2）弯-扭组合

r32max42max22 maxMW r4max3maxmaxTWpM2T2r3W2 M0.75T2r4W

压杆稳定

1）临界载荷

欧拉公式：F2EIcrl2 支承 情况 铰-铰 固-铰 固-自由 固-固 固-固 横可移  1 2 1 Pcr 2EIl2 2EI0.7l2 2EI2l2 2EI0.5l2 2EIl2 ②

Fst A2）临界应力

Fcr2EI2E2E2， 22AlAli折减系数，小于1

cr惯性半径：iI A柔度：l i3）临界应力总图

临界应力：cr2Ep 2极限柔度：p2E p短粗杆：crs,crbs； 中长杆：crabsp；

2Ep 2细长杆：cr4）压杆稳定校核 ①nwnst

工作稳定安全系数：nwcrFcr wFwnst规定的稳定安全系数

工程经济

资金的时间价值

单利法：FnP1in 复利法：FnP1i

n实际利率：i1r1 mm r：名义利率（通常为名义年利率） 一次支付终值公式：FP1iPFP,i,n；

n一次支付现公式：PF1iFPF,i,n

n等额序列终值公式：FA1iin1AFA,i,n；

等额序列偿债基金公式：AFi1i1nnAAF,i,n；

等额序列现值公式：PA1i1APni1ii1inA,i,n；

等额序列资本回收公式：AP1in1PAP,i,n；

物理学

第一章 热学

1、pVMRT R8314JmolK普适气体常量

pvRgT RRgJkgK气体常量

pnkT k1.381023JK波尔兹曼常数 2、p23n ：平均平动动能

122mv 32kT

3、分子平均动能：i2kT i-分子自由度

分子自由度i

原子数 平动自由度 转动自由度 总自由度 1 3 0 3 2 3 2 5 ≥3 3 3 6 4、1mol理想气体内能：Ei2kTN0i2RT，kN0R N06.031023mol

Mkg理想气体内能：EMi2RT 5、最可几速率：vp2kTM1.41RT 平均速率： v8kTM1.60RT 方均机速率：v23kTRTM1.73 6、分子平均碰撞频率：Z2d2vn

分子平均自由程：vkTZ2d2 7、内能：EMi2RT 8、热力学第一定律：QEW

9、等容过程：QMivE2RTM2T1CvmT QpEWMi2RTM2T1等压过程：

RT2T1Mi21MTCpmT等温过程：QTMRTlnv2v 1绝热过程：QS0,WEiM2RT 10、定容比热：Civm2R 定压比热：Cpmi21R

CpmCvmR

比热容：CpmCi2vmi PVC,V1TC,

P1TC10、热机效率：WQQQ1Q212 1Q1Q1卡诺效率：Q2c11T2Q 1T1

制冷效率：Q2Q2WQ

cT21Q2T1T

2制热效率：Q1Q11WQcT

1Q

2T1T2第二章 波动学

1、一维间谐波表达式 振动方程：y0Acos(t0)

波动方程：yx0Acos(tu)0（x轴正向传播）2，

1T，uT

yAcos2(tx)0

yAcostx2(T)0

yAcos2xT0

波动方程：y(txu)0Acos0（x轴负向传播）2、波动能量、能流、能流密度 体积为V、质量为的体积元的动能：

Wk12mv212V(yt)212A2V2sin2[(txu)]

质元的弹性形变势能：WpWk

总机械能：WWA2V2sin2[(txkWpu)]

说明：

（1）由于正弦函数在0～1之间变化，当V中机械能增加时，说明上一个邻近体积元传给它能量；当V中机械能减少

时，说明它的能量传给下一个邻近体积元，这正符合能量传播途径。波能量变化周期为波动周期的一半。

（2）当体积元处于平衡位置时（y=0），体积元V中动能与势能同时达到最大值；当体积元处于最大位移时（y=A），体积元V中动能与势能同时达到最小值。

波的能量密度：wWVA22sin2(txu) 波的平均能量密度：w12A22

能流密度：I1A2u22

3、波的衍射

两相干波源方程：y1A1cos(t01)y

2A2cos(t02)在P点分振动为：2r1y1pA1cos(t01)

y2pA2cos(t2r202)P点合振动：Ypy1py2pAcos(t)

AA2A22(r2r1)122A1A2cos[0201] P点相位差：02012(r2r1)/

干涉加强条件：2k(k0,1,2,)

干涉减弱条件：(2k1)(k0,1,2) 4、驻波

两列振幅相同的相干波,在同一直线上沿相反方向传播,波动方程分别是:

yxx1Acos2(t)，y2Acos2(t)

叠加后：yyx1y2(2Acos2)cos2t

在xk2(k为整数)处的各质点，振幅有最大值2A，这些点称为驻波的波腹；在x(2k1)4(k为整数)处的各质点，振

幅为零，即始终静止不动，这些点称为驻波的波节。 驻波被波节分成若干长度为2的小段，每小段上的各质点的

位相相同，相邻两段上的各质点的位相相反，即各质点的振动状态（位相）不是逐点传播的。 形成驻波时不再发生能量的传播。 5、声波、声强级

声强级：LIIlgB,I122I010Wm 0LII10lgIdB 06、多普勒效应

uV0umV

sV0：观察者相对于介质的速度；

Vs：声源相对于介质的速度；

：声源频率；

u：声速。

观察者向着波源运动时，V0前取正号，远离时取负 号；波源向着观察者运动时，Vs前取负号，远离时 取正号。

第三章 光学

1、光程和光程差 光程：lrn 光程差：r1n1r2n2

相位差：2(n1r1n2r2)2

相干条件：2k 加强

2(k1) 减弱

2、杨氏双缝干涉（分波阵面法）

rk,明纹1r2 （k0;1;2;） (2k1)2暗纹明纹中心：xkDdk0,1,2, 暗纹中心：x(2k1)D2dk0,1,2,

明纹中k=0对应于0点处的为明纹,相邻明纹(暗纹)的间

距为xDd 3、薄膜干涉（分阵幅法）

半波损失：光从光疏媒质射向光密媒质而在界面上反射时，反射光存在着位相的突变，这相当于增加（或减少）半个波长的附加光程差，称为半波损失。

光程差：2necos2

当光垂直入射时，i0，0有

2k2k1,2, 干涉相长（明纹）2ne2(2k1)

2k0,1,2,干涉相消（暗纹）

光程差：2ne2

2ek k1,2,（明纹）2ne22

2e2(2k1)2 k0,1,2,（暗纹）同一明纹（暗纹）对应相同厚度的空气层，所以称等厚干涉。

相邻两明（暗）纹对应的空气层厚度为ek1ek2，

相邻两明（暗）纹之间距：lsin2

k k1,2,（明纹）2ne2

(2k1)2 k0,1,2,（暗纹）明环半径：r2k12Rk1,2, 暗环半径：rkRk0,1,2, 4、迈克尔逊干涉仪

dN2

5、夫琅禾费衍射

光程差：BCsin

sink 暗纹（2k1） 明纹k1,2,

2明纹宽度：l2f0a 6、衍射光栅

由大量等宽等间距的平行单缝所组成的光学器件称为衍射光栅。不透光部分叫刻痕，缝的宽度a和刻痕的宽度b之和a+b称为光栅常数。

光栅公式：absinkk0,1,2,明纹

最大级：kabmax

7、光学仪器的分辨率

2df2.44D 光学仪器的分辨本领R:R1=D1.22

8、x射线衍射

光程差：2dsinkk0,1,2, 9、偏振光

马吕斯定律：II0cos2 自然光通过偏振片后光强减半。 布儒斯特角与介质的折射率有关。 tani20nn，i0012 10、双折射现象