数列高考常见题型分类汇总

数列通项与求和

一、数列的通项

方法总结：

对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则：

①对于同时出现an,n,Sn的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；

②利用anSnSn1关系消掉Sn（或者an），得到关于an和n的等式，然后用传统的求通项方法求出通项；

③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；

④对于出现an或Sn（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到anan1时还会两边同除anan1. 1. 规律性形式求通项

22

1-1.数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（ ）

A． B． C． D．

1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照

的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ）

A．55 B． C．144 D．233

1-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如

，

，

.

资料

，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）

A．

B．

C．

D．

2.出现an,n,Sn的式子

21-4.正项数列{an}的前项和{an}满足:sn(n2n1)sn(n2n)0

(1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn

1-5.设数列an的前n项和为Sn.已知a11,

(1) 求a2的值;

(2) 求数列an的通项公式.

.

n1n22an2,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意的nN*,都有Tn5. 2Sn12an1n2n,nN*. n33资料

*1-6.已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0,nN)满足anbn1an1bn2bn1bn0.

(1)令cnan，求数列cn的通项公式； bnn1(2)若bn3，求数列an的前n项和Sn.

牛刀小试：

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且2nSn12(n1)Snn(n1)(nN*)，数列{bn}满足bn22bn1bn0(nN*)，b35，其前9项和为63. （1）求数列数列{an}和{bn}的通项公式；

2.已知数列an的前n项和为Sn,且a1 (1)求an的通项公式;

(2)设bnn2Sn,nN，若集合Mnbn,nN*1n1,an1an. 22n*恰有4个元素,求实数的取值

范围.

.

资料

3.需构造的（证明题）

1-7.已知数列an的前n项和为Sn,且满足an2SnSn10n2,a1(1) 求证:1. 21是等差数列; Sn(2)求an表达式；

1-8.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3（n∈N）． （1）求证：{Sn﹣3}是等比数列；

（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围． 牛刀小试

1．已知数列{an}中，a1（1）证明：数列

.

n

n

*

2an2(nN)． a，n1an131n1是等比数列； （2）求数列的前n项和为Sn． anan资料

2.数列{an}中，a11，an1112，bn(nN)． 4an2an1 （1）求证：数列{bn}是等差数列；

二、数列求和与放缩

数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。放缩，怎么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。

2n1an(nN). 2-1. 数列an满足a12,an11nnan222n（1）设bnbn的通项公式.

an，求数列

（2）设cn1121mmSn对一切nN成立，Scn的前n项和为n，，数列不等式nn1an144求m的范围.

2-2.设数列an满足a10且（1）求an的通项公式； （2）设bn

.

111.

1an11an1an1n,记Snbk,证明：Sn1.

k1n资料

2-3

2-4

2-5

牛刀小试：

.

资料

1.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)

n－1

4nanan＋1

，求数列{bn}的前n项和Tn.

三、数列与不等式问题

在这类题目中一般是要证明

an一般思路有两种：1.若{an}可求和Sn，fn或者一个常数，

则可直接求出其和，再转化为 Snfn，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.若{an}不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复1的过程。

1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出界了怎么办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项开始放缩。

2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的n看做自变量，an看做因变量anf(n)nN，用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。

3-1.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足Snnn3Sn3nn0，

222nN.

（1）求a1的值；

（2）求数列an的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有

11a1a11a2a2111.

anan13

.

资料

3-2．记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S39，a3，a5，a8成等比数列． (1) 求数列{an}的通项公式an及Sn； (2) 若cn2n(2)，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列{cn}为单调递减数列？若an存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

牛刀小试：

1.数列an的前n项和为Sn，已知a1(1) 求a2,a3；

(2) 求数列an的通项； (3)设bn

.

12*，Snnann(n1)(nN). 215*,数列bn的前n项和为Tn,证明:Tn(nN).

SnSn+12资料

2.设数列an的前n项和为Sn.已知a11,(1) 求a2的值;

(2) 求数列an的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n,有

2Sn12an1n2n,nN*. n3311a1a217. an4

3.

数列作业

21.设数列an的前n项和为Sn，且Snn4n4，

（1）求数列an的通项； （2）设bn

2.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a22,a3a432. (I)求数列{an}的通项公式；

an1TbTn1. ，数列的前项和为,求证：nnn42n.

资料

(II)设数列bn满足

bb1b2b3nan11(nN*)，求数列bn的前n项和。 1232n13.已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a11,an12Sn1，nN.

*（1）求a2的值；

（2）求数列an的通项公式；

（3）是否存在正整数k, 使ak, S2k1, a4k成等比数列? 若存在, 求k的值； 若不存在, 请说明理由.

*4.已知Sn为数列an的前n项和，Snnan3n(n1)（nN），且a211．

（1）求a1的值；

（2）求数列an的前n项和Sn； （3）设数列{bn}满足bn

5.设数列an的前n项和为Sn，且anSn1. （1）求数列an的通项公式；

.

n，求证：b1b2Snbn23n2. 3资料

（2）设数列bn满足：bn111，又cn，且数列cn的前n项和为Tn，求证：anan1bnbn1Tn

2. 36.已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)已知＝

ann＋15111

，求证：≤＋＋…＋<1.

bn2n＋36a1a2an*

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N)，b1＝1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn.

bnan

8.设等差数列an的前n项和为Sn,且S44S2,a2n2an1. (1)求数列an的通项公式;

(2)设数列bn前n项和为Tn,且 Tn前n项和Rn.

an1(为常数).令cnb2n(nN*).求数列cn的n2.