高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

一、标准方程xayb22

r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心a,b和半径r

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切与两坐标轴都相切二、一般方程x2y2r2r0xaybxa2

22

a2b2a2b20y2r2r02

x2ybr2r0xa2

y2a2a02

x2ybb2b0xayb2

22

b2b0a2a0a2ab0xaybxayb2

2

2

x2y2DxEyF0D2E24F01.AxByCxyDxEyF0表示圆方程则2

2



AB0AB0



C0C0

D2E24AF022

DEF40

AAA

2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r43.DE4F0常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值2

2

PBminBNBCrPBmaxBMBCr

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值PAminANrACPAmaxAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点0dr（2）相切只有一个公共点0dr（3）相交有两个公共点0dr

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点．．．i）点在圆外如定点Px0,y0，圆：xaybr，[x0ay0br]2

2

2

2

2

2

第一步：设切线l方程yy0kxx0第二步：通过drk，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点P1,1作圆xy4x6y120的切线，求切线方程.2

2

答案：3x4y10和x1ii）点在圆上1）若点x0，y0在圆xyr上，则切线方程为x0xy0yr

2

2

2

2

会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点x0，y0在圆xaybr上，则切线方程为2

2

2

x0axay0bybr2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，APCPrAP求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理——常用．．．．弦长公式：l1k22

2

2

2CPr2ACrkACkAP1

x1x2

xx4xx1k221212（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆x3y5r上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值范围是_________________.2

2

2

答案：4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆xym1x2mym0，关于直线xy10，则实数m的值为____.答案：3（注意：m1时，DE4F0，故舍去）变式：已知点A是圆C:xyax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点在圆C上，则实数2

22

2

2

2

2

a_________.2.圆x1y31关于直线xy0对称的曲线方程是________________.2

2

变式：已知圆C1：x4y21与圆C2：x2y41关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.2

2

2

2

3.圆x3y11关于点2,3对称的曲线方程是__________________.2

2

4.已知直线l：yxb与圆C：xy1，问：是否存在实数b使自A3,3发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点2

2

247

B,？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.2525

六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x，y满足方程xy4x10，求：2

2

y

的最大值和最小值；——看作斜率x5（2）yx的最小值；——截距（线性规划）（1）（3）xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB中，OB3，OA4，AB5，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设Px,y为圆xy11上的任一点，欲使不等式xyc0恒成立，则c的取值范围是____________.2

2

2

2

答案：）c21（数形结合和参数方程两种方法均可！七、圆的参数方程xrcos，为参数xyrr0

yrsin

2

2

2

xarcos222

，为参数xaybrr0

ybrsin八、相关应用1.若直线mx2ny40（m，nR），始终平分圆xy4x2y40的周长，则mn的取值范围是______________.2.已知圆C：xy2x4y40，问：是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.提示：x1x2y1y20或弦长公式d1k2

2

22

2

2

2

x1x2.答案：xy10或xy40

2

2

3.已知圆C：x3y41，点A0,1，B0,1，设P点是圆C上的动点，dPAPB，求d的最值及对应的P点坐标.4.已知圆C：x1y225，直线l：2m1xm1y7m40（mR）2

2

（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线yxk与曲线x1y恰有一个公共点，则k的取值范围.6.已知圆xyx6ym0与直线x2y30交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1）dr1r2外离（3）r1r2dr1r2相交（5）dr1r2内含2.两圆公共弦所在直线方程圆C1：xyD1xE1yF10，圆C2：xyD2xE2yF20，则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程.补充说明：若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题（1）过两圆C1：xyD1xE1yF10和C2：xyD2xE2yF20交点的圆系方程为2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2（2）dr1r2外切（4）dr1r2内切x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20（1）说明：1）上述圆系不包括C2；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线AxByC0与圆xyDxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyFAxByC0

2

2

（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.例：过圆xy1外一点A2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.2

2

分析：OPAPOA

222

（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动

动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点A2,0，点Q是圆xy1上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M

2

2

的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O：xy9，点A3,0，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆时针方向排列，且BAC

2

2

ABC的重心G的轨迹方程.法1：BAC

，求3

，BC为定长且等于333

xAxBxC3xBxCx33

设Gx,y，则

yyAyByCyByC3333333

取BC的中点为xE,，yE,2442OECEOC，xE2yE2

2

2

2

9

4

（1）32xExBxC3x3xxxExBxC2xEE322，

yByC2yEyyByCy2yEy3y

EE

2323x33

故由（1）得：

22

法2：（参数法）设B3cos,3sin，由BOC2BAC

2

2

3293

yx1y21x0,,y,1422

2，则3

2C3cos

32,3sin

3



设Gx,y，则2

33cos3cosxAxBxC3x

33



23sin3sinyAyByC3y

334,

33

1coscos21

32

sinsin23

232232

,1，由112得：x1y1x0,,y22

参数法的本质是将动点坐标x,y中的x和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的．．范围得出x，y的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识xAxBxCx1x2

xx32①重心Gx,y，②中点Px,y，yyAyByCyy1y223

③内角平分线定理：BDCD

ABAC④定比分点公式：⑤韦达定理.xxByyBAM

，yMA，则xMAMB11