一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
这三个数的大小关系式正确的是( )
A.
2.
B. C.
D.
北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为( )
A. 0.72×104
3.
B. 7.2×105 C. 72×105 D. 7.2×106
若方程(𝑥−2)2=𝑘−5可以直接用开平方法解，则k的取值范围是( )
A. 𝑘>0
4.
𝑘
B. 𝑘≥0 C. 𝑘≥5 D. 𝑘>5
在函数𝑦=𝑥(𝑘>0)的图象上有三点𝐴1(𝑥1,𝑦1)、𝐴2(𝑥2,𝑦2)、𝐴3(𝑥3,𝑦3)，若𝑥1>𝑥2>0>𝑥3，则下列各式中，正确的是( )
A. 𝑦1<𝑦2<𝑦3
5.
B. 𝑦3<𝑦2<𝑦1 C. 𝑦2<𝑦1<𝑦3 D. 𝑦3<𝑦1<𝑦2
已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是( )
A.
B.
C.
D.
6.
如图，M，N，P分别是数轴上三个整数对应的点，且𝑀𝑁=𝑁𝑃=1，数a对应的点在M与NN、P三个点中，之间，数b对应的点在N和P之间，若|𝑎|+|𝑏|=2，则在M、原点不可能是( )
A. M B. N C. P D. M或P
7. 某课外学习小组有5人，在一次数学测验中的成绩分别是：120，100，135，100，125，则他们的成绩的平均数和众数分别是( )
A. 116和100
8.
B. 116和125 C. 106和120 D. 106和135
某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍.若设这个学校前年购买计算机台，则下面所列方程正确的是( )．
A. C.
9.
B. D.
如图所示的抛物线是二次函数𝑦=𝑎𝑥2−3𝑥+𝑎2−1的图象，那么a的值是( )
A. 1 B. −1 C. 1和−1 D. 0
10. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD= CD，
AB= CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③∠BAD=∠BCD，其中正确的结论有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 将多项式2𝑥2−2分解因式为______．
12. 如图，在□ABCD中，∠ DBC=45°，DE⊥ BC于E，BF⊥ CD于F，DE、BF相交于H，BF、
AD的延长线相交于G，下面结论：
；②△BHD∽△BDG；③AB=BH；④∠A=∠BHE；⑤
①。其中
正确的结论是 .(写出所有正确结论的序号)．
13. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=36°，将△𝐴𝐵𝐶在平面内绕点B逆时
针旋转到△𝐷𝐵𝐸的位置，使𝐴𝐷//𝐵𝐶，则旋转角的度数是______ ．
14. 如图，点A在双曲线
上，𝐴𝐵⊥ x轴于点B，且△𝐴𝑂𝐵的面
积是2，则的值是 ．
E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，𝐴𝐵=4，在矩形ABCD中，15. 如图所示，𝐴𝐷=4√2，
△𝐵𝐸𝐹沿着直线EF翻折到△𝐵′𝐸𝐹，连接𝐷𝐵′、𝐵′𝐶，当𝐷𝐵′最短时，则sin∠𝐵′𝐶𝐹=______．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）
16. 计算：(𝜋−2018)0−|−√2|⋅𝑐𝑜𝑠45°+(3)−2
17. (1)计算：√32−(𝜋+1)0+2𝑠𝑖𝑛45°+(3)−1；
(2)先化简，再求值：(1+𝑎2−1)÷𝑎+1，其中𝑎=2．
1
𝑎
1
1
18. 某班级元旦晚会上，有一个闯关游戏，在一个不透明的布袋中放入3个乒乓球，除颜色外其它
都相同，它们的颜色分别是绿色、黄色和红色．搅均后从中随意地摸出一个乒乓球，记下颜色后放回，搅均后再从袋中随意地摸出一个乒乓球，如果两次摸出的球的颜色相同，即为过关．请用画树状图或列表法求过关的概率．
19. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，∠𝐸𝐴𝐹=45°，
𝐸𝐹=𝐹𝐺． 将△𝐴𝐵𝐸绕点A逆时针旋转90°得到△𝐴𝐷𝐺，连接EF，求证：
B两种型号的设备，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，20. 为了更好改善河流的水质，
其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
价格(万元/台) 处理污水量(吨/月) (1)求a，b的值；
A型 a 240 B型 b 200 (2)治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案； (3)在(2)的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
21. 已知：如图，C是⊙𝐴与⊙𝐵的一个交点，联结AC，并延长交⊙𝐵于点D，⊙𝐵交AB于点P，
联结BC、BD，𝐴𝐵=8，𝐴𝐶=6，⊙𝐵的半径为x，线段AD的长为y． (1)当∠𝐴=30°时，求弦CD的长；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结DP，当∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴，求△𝐵𝐶𝐷与△𝐵𝐷𝑃的面积之比．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2−𝑏𝑥+2(𝑎<0)与x轴交
于A、B两点，与y轴交于点C，且𝐴(−1,0)，𝑂𝐵=4𝑂𝐴． (1)求抛物线的表达式．
(2)设抛物线的顶点为D，点C关于x轴的对称点为点M，过抛物线
上一点P，作对称轴的垂线，垂足为𝐸.是否存在一点P，使得以P、D、E为顶点的三角形与△𝐵𝑂𝑀相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：如图所示：
∵数轴上右边的数总比左边的数大， ∴0.5>−2>−4． 故选D．
1
2.答案：B
解析：解：将720000用科学记数法表示为7.2×105元． 故选：B．
科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.答案：C
解析：解：由题意知，𝑘−5≥0． 解得𝑘≥5． 故选：C．
若方程(𝑥−2)2=𝑘−5可以直接用开平方法解，则𝑘−5≥0．
本题主要考查了解一元二次方程−直接开平方法，形如𝑥2=𝑝或(𝑛𝑥+𝑚)2=𝑝(𝑝≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
4.答案：D
解析：
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到𝑦1=𝑥，𝑦2=𝑥，𝑦3=𝑥，然后根据反比例函数的性质得
1
2
2
𝑘𝑘𝑘
到𝑦3<0<𝑦1<𝑦2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数𝑦=𝑥(𝑘为常数，𝑘≠0)的图象是双曲线，图象上的点(𝑥,𝑦)的横纵坐标的积是定值k，即𝑥𝑦=𝑘． 解：∵𝐴1(𝑥1,𝑦1)、𝐴2(𝑥2,𝑦2)、𝐴3(𝑥3,𝑦3)在函数𝑦=𝑥的图象上， ∴𝑦1=𝑥，𝑦2=𝑥，𝑦3=𝑥，
1
2
2
𝑘
𝑘
𝑘𝑘𝑘
∵𝑘>0，
∴𝑦3<0<𝑦1<𝑦2． 故选：D．
5.答案：D
解析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．
蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线𝑂𝑀′上的点(𝑃′)重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选D．
6.答案：B
解析：解：∵𝑀𝑁=𝑁𝑃=1 ∴|𝑀𝑁|=|𝑁𝑃|=1， ∴|𝑀𝑃|=2；
①当原点在M点时，𝑎<1，2>𝑏>1，|𝑎|+|𝑏|=2可以，所以，原点可以在M点；
②当原点在N点时，−1<𝑎<0，1>𝑏>0，|𝑎|+|𝑏|=2不可能，所以，原点不可能在N点； ③当原点在P点时，−2<𝑎<−1，0>𝑏>−1，|𝑎|+|𝑏|=2可以，所以，原点可以在P点 综上所述，此原点不可能在N点． 故选：B．
先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点．
主要考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．
7.答案：A
解析：解：在这一组数据中100是出现次数最多的，故众数是100； 他们的成绩的平均数为：(120+100+135+100+125)÷5=116．
故选A．
众数的定义求解；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；再利用平均数的求法得出答案．
此题主要考查了众数以及平均数的求法，此题比较简单注意计算时要认真减少不必要的计算错误．
8.答案：B
解析：本题考查应用一元一次方程解决实际问题，关键是找到等量关系.若设这个学校前年购买计算机 台，去年购买的数量是2x，今年购买的数量是4x，根据等量关系“前年购买计算机台数+去年购买计算机台数+今年购买计算机台数=140”，可知
.故选B．
9.答案：B
解析：本题考查二次函数的图象、性质和待定系数法的综合应用.根据图象可知𝑎<0及图象过原点(0,0)，然后把点(0,0)代入解析式求出a即可． 解：由图象可知，原点在抛物线上． 把点(0,0)代入解析式得
𝑎2−1=0 ∴𝑎=±1
∵抛物线开口向下
∴𝑎<0
因此𝑎=−1． 故选B．
10.答案：D
解析：本题考查全等三角形的判定及性质。
连接AC，BD，根据三边相等，可得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷，得到∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵。
再由𝐴𝐷= CD，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵，𝑂𝐷=𝑂𝐷，可得△𝐴𝐷𝑂≌△𝐶𝐷𝑂，得𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐴𝑂=𝐶𝑂= AC。
故选D。
11.答案：2(𝑥+1)(𝑥−1)
解析：解：2𝑥2−2， =2(𝑥2−1)， =2(𝑥+1)(𝑥−1)， 故答案为：2(𝑥+1)(𝑥−1)．
先提取公因式2，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.答案：①③④⑤
解析：本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质.根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案． 解：(1)∵∠𝐵𝐷𝐸=45°，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶 ∴𝐷𝐵=
BE，正确；
(2)∠𝐺=∠𝐸𝐵𝐻<45º， ∴∠𝐺不等于∠𝐵𝐷𝐻，
∴△𝐵𝐷𝐻与△𝐵𝐷𝐺不相似；错误；
(3)(4)
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐹⊥𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐸𝐻=∠𝐷𝐸𝐶=90° ∵∠𝐵𝐻𝐸=∠𝐷𝐻𝐹 ∴∠𝐸𝐵𝐻=∠𝐶𝐷𝐸
∴△𝐵𝐸𝐻≌△𝐷𝐸𝐶 ∴∠𝐵𝐻𝐸=∠𝐶，𝐵𝐻=𝐶𝐷
∵平行四边形ABCD中 ∴∠𝐶=∠𝐴，𝐴𝐵=𝐶𝐷
∴∠𝐴=∠𝐵𝐻𝐸，𝐴𝐵=𝐵𝐻 .正确； (5)由(3)(4)可知， ∵△𝐴𝐵𝐺∽△𝐻𝐸𝐵，
𝐴𝐵𝐻𝐸
𝐺𝐴𝐵𝐻
∴=
，
∵𝐴𝐵=𝐵𝐻
∴即𝐴𝐵2=𝐺𝐴⋅𝐻𝐸. 正确． ∴正确的有①③④⑤． 故填①③④⑤．
13.答案：108°
解析：解：∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=36°， ∵𝐵𝐴=𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷=36°，
∴∠𝐴𝐵𝐷=180°−36°−36°=108°， ∴旋转角为108°， 故答案为：108°．
利用平行线的性质求出∠𝐵𝐴𝐷，再利用等腰三角形的性质求出∠𝐷𝐵𝐴即可．
本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.答案：−4
解析：此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：比例系数k的几何意义在反比例函数𝑦=𝑥𝑘图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，
与坐标轴围成的矩形的面积是定值|𝑘|.在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
，且保持不变．
根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是k的值是多少即可． 解：∵△𝐴𝑂𝐵的面积是2，
∴
，
∴|𝑘|=4， 解得𝑘=±4，
又∵双曲线的图象经过第二、四象限，∴𝑘=−4， 即k的值是−4． 故答案为：−4．
15.答案：√3
3
解析：解：由折叠可知：𝐵𝐸=𝐵′𝐸， ∴𝐵′在以E为圆心，BE为半径的圆上， 如图所示，此时𝐷𝐵′最短， 由勾股定理得：𝐸𝐷=6， ∵𝐵′𝑀⊥𝐴𝐵，𝐵′𝑁⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐵′𝑀𝐸=∠𝐵′𝑁𝐹=90°，
∵∠𝑀𝐵′𝐸+∠𝐸𝐵′𝑁=∠𝑁𝐵′𝐹+∠𝐸𝐵′𝑁=90°，∴∠𝑀𝐵′𝐸=∠𝑁𝐵′𝐹，
，且保持不变，可得
=𝑆△𝐴𝑂𝐵=2，据此求出
∴△𝐵′𝑀𝐸∽△𝐷𝐴𝐸， ∴
𝐵′𝑀𝐷𝐴
=
𝐸𝑀𝐸𝐴
=
𝐸𝐵′𝐸𝐷
=， 3=3，
=𝐵𝑀=𝐵𝐸+𝐸𝑀=，𝐶𝑁=𝐵𝐶−𝐵𝑁=8√2，
3
3
8
2
1
∴𝐵′𝑀=
4√2，𝐸𝑀3
∴𝐵𝑁=𝐵′𝑀=
4√2，𝐵′𝑁3
由勾股定理得：𝐵′𝐶=∴𝑠𝑖𝑛𝐵′𝐶𝐹=
√3． 338√3， 3
故答案为：√．
3
E、D共线，𝐵′𝑀=，𝐵′、𝐷𝐵′=4，当𝐷𝐵′最短时，此时𝐷𝐸=6，作𝐵′𝑀⊥𝐵𝐶垂足为M，易知：𝐶𝑀=3所以𝐶𝐵′=
8√3，𝑠𝑖𝑛𝐵′𝐶𝐹3
8
8√2，3
=
√3． 3
本题主要考查了线段最短、勾股定理、锐角三角函数和三角形的相似的判定和性质，此题的难点是发现何时线段𝐷𝐵′最短，比较抽象，有一定难度．
216.答案：解：原式=1−√2×√+9 2
=9．
解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
217.答案：解：(1)原式=4√2−1+2×√+3 2
=2+5√2； (2)原式=2⋅
𝑎−1
𝑎2
𝑎+1𝑎
=𝑎−1；
𝑎
把𝑎=2代入得原式=2．
解析：(1)首先化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，算出0指数幂与负指数幂，再进一步计算即可；
(2)先把分式化简，再代入求得数值解决问题．
18.答案：解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球的颜色相同的结果数为3， 所以过关的概率是9=3．
解析：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸出的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
3
1
19.答案：证明：∵将△𝐴𝐵𝐸绕点A逆时针旋转90°得到△𝐴𝐷𝐺，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，
∴𝐴𝐸=𝐴𝐺，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐺， ∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∵∠𝐸𝐴𝐹=45°， ∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐹=45°， ∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐺=45°， 即∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐸𝐴𝐹=45°， 又∵𝐴𝐸=𝐴𝐺，𝐴𝐹=𝐴𝐹， ∴△𝐸𝐴𝐹≌△𝐺𝐴𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐸𝐹=𝐺𝐹．
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐺，解析：根据旋转可知，可得𝐴𝐸=𝐴𝐺，再利用SAS证明△𝐸𝐴𝐹≌△𝐺𝐴𝐹，即可得证．
本题主要考查旋转的性质、正方形的性质和全等三角形的性质和判定的综合应用，解决此类问题的关键是能根据旋转的性质得到边、角的关系，进而利用全等证得线段相等．
20.答案：解：(1)一台A型设备a万元，一台B型设备b万元，
𝑎=𝑏+2
{， 2𝑎+6=3𝑏𝑎=12
解得：{．
𝑏=10
故a的值为12，b的值为10； (2)设购买A型号设备m台， 12𝑚+10(10−𝑚)≤105， 解得：𝑚≤2，
故所有购买方案为：当A型号为0，B型号为10台； 当A型号为1台，B型号为9台；
当A型号为2台，B型号为8台；有3种购买方案；
(3)当𝑚=0，10−𝑚=10时，每月的污水处理量为：200×10=2000吨<2040吨，不符合题意，应舍去；
当𝑚=1，10−𝑚=9时，每月的污水处理量为：240+200×9=2040吨=2040吨，符合条件， 此时买设备所需资金为：12+10×9=102万元；
10−𝑚=8时，240×2+200×8=2080吨>2040吨，当𝑚=2，每月的污水处理量为：符合条件， 此时买设备所需资金为：12×2+10×8=104万元；
所以，为了节约资金，该公司最省钱的一种购买方案为：购买A型设备1台，B型设备9台． 解析：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量或不等关系是解题关键．
(1)根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少6万元，可列方程组求解．
(2)设购买A型号设备m台，则B型为(10−𝑚)台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，进而得出不等式；
(3)利用(2)中所求，进而分析得出答案．
5
21.答案：解：(1)如图1，作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷于点E，
∵∠𝐴=30°，𝐴𝐵=8，
∴𝐴𝐸=4√3， ∵𝐴𝐶=6，
∴𝐶𝐸=𝐴𝐸−𝐴𝐶=4√3−6， 又∵𝐵𝐶=𝐵𝐷， ∴𝐶𝐸=𝐷𝐸，
∴𝐶𝐷=2𝐶𝐸=2×(4√3−6)=8√3−12， (2)如图1，作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷于点E， ∵𝐵𝐶=𝐵𝐷， ∴𝐶𝐸=𝐷𝐸，
∴𝐶𝐸=(𝐴𝐷−𝐴𝐶)=(𝑦−6)，
2
2
1
1
∵⊙𝐵的半径为x， ∴𝑂𝐶=𝑥，
∴𝐵𝐸2=𝑂𝐶2−𝐶𝐸2=𝑥2−(𝑦−6)2，
41
∵𝐵𝐸2=𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=−(2𝑦+3)2，
∴𝑥2−(𝑦−6)2=−(𝑦+3)2，化简得：𝑦=−𝑥2+
4
2
6
1
1
1
323
1
．
(由𝑦>6，得出0<𝑥<2√7). (3)如图2，连接DP，
∵∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵， ∴△𝐵𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷：𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝐵𝐷：𝐴𝐷=𝑦2， ∵△𝐵𝐷𝑃与△𝐴𝐵𝐷同底为BD， ∴𝑆△𝐵𝐷𝑃：𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝐵𝑃：𝐴𝐵=8，
𝑥
2
2
𝑥2
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷：𝑆△𝐵𝐷𝑃=𝑦2：8=𝑦2．
(1)作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷于点E，解析：利用30°的直角△𝐴𝐸𝐵，可得AE的值，就可求出CE的值，由𝐶𝐸=𝐷𝐸，可得𝐶𝐷=2𝐶𝐸即可求出CD的值．
(2)同样利用图1，作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷于点E，先得出𝐶𝐸=𝐷𝐸，即可得出𝐶𝐸=2(𝐴𝐷−𝐴𝐶)=2(𝑦−6)，由⊙𝐵的半径为x，可得𝑂𝐶=𝑥，由𝐵𝐸2=𝑂𝐶2−𝐶𝐸2=𝐴𝐵2−𝐴𝐸2，可得出y关于x的函数解析式，由𝑦>6，写出它的定义域即可；
(3)连接DP，由∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐵，可得△𝐵𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐷，利用相似三角形的面积比等于𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝐵𝑃：相似比的平方可得𝑆△𝐵𝐶𝐷：𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝐵𝐷2：𝐴𝐷2，由△𝐵𝐷𝑃与△𝐴𝐵𝐷同底为BD，可得𝑆△𝐵𝐷𝑃：AB，即可求出𝑆△𝐵𝐶𝐷：𝑆△𝐵𝐷𝑃的值．
本题主要考查了圆的综合题，涉及含30度角的直角三角形，勾股定理，相似比及二次函数知识等．解题的关键是正确作出辅助线，根据题意列式．
1
1
𝑥2𝑥8𝑥
22.答案：解：(1)∵𝐴(−1,0)，
∴𝑂𝐴=1， ∵𝑂𝐵=4𝑂𝐴， ∴𝑂𝐵=4， ∴𝐵(4,0)，
将𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)分别代入𝑦=𝑎𝑥2−𝑏𝑥+2， 𝑎+𝑏+2=0得：{，
16𝑎−4𝑏+2=0𝑎=−2
解得：{3，
𝑏=−2
∴抛物线解析式为：𝑦=−2𝑥2+2𝑥+2；
(2)存在．点P的坐标为(2,8)或(2,8)或(−2,−8)或(2,−8). ∵𝑦=−𝑥2+𝑥+2=−(𝑥−)2+
2
2
2
2
325
3
1
3
1
3
258
121
521
5
39
11
39
1
3
1
，
∴𝐷(,)，抛物线对称轴为直线𝑥=2，
28
在𝑦=−2𝑥2+2𝑥+2中，令𝑥=0，得：𝑦=2， ∴𝐶(0,2)，
∵点C关于x轴的对称点为点M，
1
3
∴𝑀(0,−2)， ∴𝑂𝑀=2，
设点𝑃(𝑚,−2𝑚2+2𝑚+2)， ∵𝑃𝐸⊥直线𝑥=2于点E，
∴∠𝐷𝐸𝑃=90°，𝐸(2,−2𝑚2+2𝑚+2)， ∴𝐷𝐸=
258
3
1
3
31
3
−(−2𝑚2+2𝑚+2)=2𝑚2−2𝑚+8，𝑃𝐸=|𝑚−2|，
131393
∵以P、D、E为顶点的三角形与△𝐵𝑂𝑀相似，且∠𝐷𝐸𝑃=∠𝐵𝑂𝑀=90°， ∴𝑃𝐸=
𝐷𝐸
𝑂𝑀
或𝑃𝐸=𝑂𝑀， 𝑂𝐵
𝑂𝑀𝑂𝐵3
𝐷𝐸𝑂𝐵
①当𝑃𝐸=
1
𝐷𝐸
时，则𝑂𝐵⋅𝐷𝐸=𝑂𝑀⋅𝑃𝐸，
9
3
∴4(2𝑚2−2𝑚+8)=2×|𝑚−2|， ∴𝑚2−4𝑚+
1
5
1543
=0或𝑚2−2𝑚+4=0，
3
∴𝑚=2或或2(舍去)， 2∵𝑚=，
2
∴−𝑚2+𝑚+2=−×()2+×+2=
2
2
2
2
2
2
1
3
1
1
3
1
218
1
，
∴𝑃(,)，
28∵𝑚=，
2
∴−𝑚2+𝑚+2=−×()2+×+2=
2
2
2
2
2
2
1
3
1
5
3
5
218
5
121
，
∴𝑃(,)，
28
②当𝑃𝐸=𝑂𝑀时，则𝑂𝑀⋅𝐷𝐸=𝑂𝐵⋅𝑃𝐸， ∴2(2𝑚2−2𝑚+8)=4×|𝑚−2|， ∴𝑚2−7𝑚+
5
334
1
3
9
3
𝐷𝐸
𝑂𝐵
521
=0或𝑚2+𝑚−
3
154
=0，
∴𝑚=−2或2或2(舍去)， ∵𝑚=−2，
5
11
∴−2𝑚2+2𝑚+2=−2×(−2)2+2×(−2)+2=−8， ∴𝑃(−,−)，
28∵𝑚=
1
1125
39
13153539
，
3
1
11
3
112
∴−2𝑚2+2𝑚+2=−2×(2)2+2×∴𝑃(,−)， 28
11
39
+2=−8，
39
综上所述，点P的坐标为(2,8)或(2,8)或(−2,−8)或(2,−8).
解析：(1)由题意，可根据点A的坐标求出点B的坐标，再将点A，B的坐标代入𝑦=𝑎𝑥2−𝑏𝑥+2，求得a和b，即可得到抛物线解析式；
(2)先运用配方法求出顶点坐标，设点𝑃(𝑚,−2𝑚2+2𝑚+2)，再根据相似三角形性质建立方程求解即可．
本题考查了二次函数与几何图形综合题，待定系数法求函数解析式，配方法，相似三角形性质等，属于中考压轴题，但难度一般，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想和分类讨论思想．
1
3
1215215391139
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