例谈中考数学创新型试题的立意

・复习参考・　中’？般・７（ａｏｏ９年第７期・初中版）　２９　例谈中考数学创新型试题的立意　６４１１　１２　四川省内江师范学院数信学院　吴立宝赵思林　中考数学命题以《全日制义务教育数学课程标准　例１（２００８年北京市）如图１，有５张形状、大小、　（实验稿）》为依据，立足学生发展需要，重在考查学生的　质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、　基础知识、基本技能和数学思想方法；学生的运算能力、　吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图菜，背面完　思维能力、空间观念和运用数学知识分析和解决问题的　能力．对此各地中考对试题命制进行了创新，设置了一些　全相同．现将这５张卡片洗匀后正面向下放在：桌子上，　开放型问题、探究型问题、阅读理解型问题等．中考数学创　从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物　新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着　（福娃）的概率是（　）．　手突出能力考查的新颖问题其新颖主要指命题的立意　新、试题的背景新、问题的情鸟善新、设问的方式新等．　立意是试题考查的目　Ｔ．中考命题以能力立意命　题，即首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据　能力考查的目的，选择适当的考查内容，设计恰当的设　问方式．本文拟从基础知识的灵活应用、数学思想方法、　数学思维能力、数学应用意识和探究意识、进一步学习　高中数学的潜能等方面的考查目的，谈谈中考数学创新　型试题的立意．　图１　１　考查基础知识的灵活应用　分析以等可能事件为原型，考查其概率计算公式　中考数学试题重视“双基”的考　查，这有利于高中选　拔基础扎实的新生，有利于弓｛领牛　学数学的素质教育．　Ｐ（Ａ）＝詈，可直接求得．　对“双基”的考查侧重于基础知识、基本思想方法的理解　解答　因为５张卡片中，吉祥物卡片只有两张，因此抽　和应用，而不是简单的重现，特别注重知识应用的综合　性和灵活性，这类试题源于教材，高于教材．　出的卡片正面图案正好是吉祥物的概率为Ｐ（』４）＝　由巴：ｂ＝２　１，可设Ｌ１　ｒ－２ｋ，ｂ＝ｋ，代入得：原式＝　解析２整体代入法　（２　、　一２ｋ・ｋ＋ｋ２　３　３　‘　对条件不进行变形，对所求的代数式进行适当变　ｆ２ｋ）　＋　一５ｋ　一５‘　形，变出已知条件中的整体．　点评此题也可以用消元法（将。＝２ｂ代入即可）　或特殊值法，针对此题这三种方法均可．　例４　（赤峰中考）已知　１＋　＝４，则　腓　端＝磊　ａ（÷＋　）一３　４—３　．　解析１整体代入法　而　。　由　＋÷：４变形可得，　＋６：４。ｂ，把（口＋６）作为　本文通过一题的发散性解法，拓展学生的思维能力；通　整体代人求值：　过一题发散性解法的应用，使学生做到了精学精练，避免了　“题海战术”，其数学思维能力得到了锻炼与提高．　原式＝　＝　＝筹＝・．　（收稿日期：２００９０４２９）　３０　点评。７戴＇？（２００９－＇ｒ－￣７期・初中版）　本题以２００８年北京奥运会图案作为情景，　・复习参考・　答，实际上却是背景新颖，解题过程蕴含了三大数学思　设计了一个概率伺题，使试题具有时代性．对本题而言，　并没有明确给出运用概率的数学公式或定理解答问题　想方法．要求考生能根据题目的条件和结论进行观察、　分析、探索、决策．如果能运用方程的思想，结合分类讨　导向，这就需要考生透过奥运的文化背景，发现本题实　质上是对等可能事件求概率知识的应用，考查学生灵活　应用数学基础知识解决问题的能力．　２考查数学思想方法　论与数形结合的数学思想方法，就可简捷获解．　３考查数学思维能力　中考数学创新型试题没有固定的模式，难有现成的　方法和套路．思维水平要求高，思维容量大，运算巧，能　有效考查考生的思维能力、运算能力、空间想象能力以　数学思想方法是以数学内容为载体，源于数学知　识，又高于数学知识的一种策略性知识　比一般的数学　知识具有更高的抽象和概括水平。比一般知识更本质、　更深刻．数学思想方法在探寻解题思路、优化解题方法、　发现问题结论等方面有广泛的应用．数学思想方法应在　概念的形成、命题的发现、问题的探究等教学过程中着　意渗透、自然揭示和灵活运用．　例２（２００８年吉林省）某同学根据图２所示的程　序计算后，画出了图３中Ｙ与　之间函数图象．　（１）当０≤　≤３时，Ｙ与　之间的函数关系式为　————；　（２）当　＞３时，求出ｙ与　之间的函数关系式为　３　图２　图３　分析本题结合程序设计框图，设计出一个循环结　构，构造出一个算法模式．使输入值与输出值之间产生　新的函数关系，要求学生有比较强的分类讨论能力、方　程与函数的思想、以及数形结合的意识．　解答（１）当０≤　≤３时，由程序设计框图可直接　得到Ｙ与　之间的函数关系式为ｙ＝５ｘ＋３．　（２）当　＞３时，根据题意，得Ｙ＝（　一７）　＋耽由函　数图象看出点（１０，１１）是函数上一点．故代人函数式，得　９＋ｍ＝Ｉ１，所以ｍ＝２．　故ｙ与　之间的函数关系式为Ｙ＝（　一７）　＋２　（或Ｙ＝　一１４ｘ＋５１）．　点评本题粗略＿一看，已知条件简单明了，易于解　及运用所学知识和方法分析、解决ｌ间题的能力．　例３　（２００７年乐山市）认真观察图４的四个图中　阴影部分构成的图案，回答下列问题：　噩回ｉ圈圈　图４　（１）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．　特征１　特征２：一一　特征３．——　（２）请在图５中设计出你心中最美　丽的图案，使它也具备你所写出的上述　特征　分析本题主要考查轴对称图形，　中心对称图形的知识点，以及学生的观　图５　察能力及空间想象能力．　解答（１）特征１：都是轴对称囹形；特征２：都是中　心对称图形；特征３：这些图形韵面积都等于４个单位面　积等．　　。（２）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可’　以得满分．　器　图６　点评本题为开放型试题。答案并不唯一，考生能　够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了一　个广阔的发挥空间，但是：学生必须通过前四个图形发现　其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象中的美妙　图形．　・复习参考・　十。７般・７　（２ｏ０９年第７期・初中版）　３ｌ　４考查探究意识　用“套路总结”、“强化训练”等传统教学方法难以　解决中考试题中不断出现的新颖试题，应对创新型试题　的最好办法是让学生进行研究性学习，要让学生在新课　学习和复习课中经历数学探究的过程．　例４（２００８年泰州市）让我们轻松一下，做一个数　字游戏：　第一步：取一个自然数ｎ。＝５，计算ｎ。　＋１得ａ。；　第二步：算出ａ。的各位数字之和得ｎ　，计算ｎ：　＋１　得ａ２；　第三步：算出ａ　的各位数字之和得ｎ，，计算ｎ，　＋１　得ａ，；　依此类推，则。舢＝——　分析根据已知的公式计算出前几项的数值，比较　结果，大胆猜想，总结规律，进行检验，最后得出。舢的　数值．　解答由题目已知依次计算，得　ａＩ＝５　＋１＝２６；　ｎ２：（２＋６）　＋Ｉ＝８　＋１＝６５；　ｎ３＝（６＋５）　＋１＝１１　＋１＝１２２；　口４＝（１＋２＋２）　＋１＝５　＋１＝ａｌ＝２６；　显然ａ．＝ａ。，表示后面的计算以三个数为单位将无　限循环下去，猜测：口３　＝口Ｉ＝２６，ａ３＾＋２＝口２＝６５，ａ３　＋３＝　ｄ３＝１２２（ｎ＝０，１，２，３，・・・）．以ａ５，ｎ６，ａ７进行验证，　猜测正确．所以口嬲＝ａ３　ｘ鲫＋。＝ａｌ＝２６．　点评规律探究型问题主要是给学生一段阅读材　料，要求学生认真阅读所给材料，通过观察、分析、比较、　概括，猜想题设反映出的某种规律，再去验证猜想是否　正确，进而利用验证的规律解决相关问题．这类问题注　重检验考生的学习潜能和逻辑判断能力与归纳推理能　力．　５考查进一步学习高中数学的潜能　高等（或高中）数学的一些思想方法为设计中考创　新型试题提供了广阔而又深刻的背景，高等（或高中）数　学的基本思想和方法是考查学生学习潜能的良好素材．　中考创新型试题一般有比较深刻的高等（或高中）数学　背景，这类题目形式新颖，在课本例习题、复习资料和模　拟试题中难以找到．解答这类题目没有现成方法可借　鉴，会使一些考生感到难以人手，从而使该类题目有很　好的区分度，这类试题能够有效考查学生的思维能力和　创新意识，有利于检测考生进入高一级学校学习的潜　能，因此，命题教师都十分青睐含有高等（或高中）数学　背景的试题．　例５（２Ｏ０７年巴中市）先阅读下列材料，然后解答　问题：从Ａ，Ｂ，ｃ三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽　象成数学问题就是从３个元素中选取２个元素组合，记　作Ｃ；＝　＝３．一般地，从ｎ个元素中选取ｍ个元素组　合，记作：　，１　ｎ（ｎ一１）…（ｎ—ｍ＋１）　ｎ一，ｎ（ｍ一１）…×３×２　Ｘｌ　例如从７个元素中选５个元素，共有ｃ；＝　｝　＝２１种不同的选法．　问题：从某学习小组１０人中选取３人参加活动，不　同的选法共有　种．　分析本题需要学生读懂从ｎ个元素中选取ｍ个　元素的计算规则，然后针对具体的从１０人中选取３人参　加的计算．　解答由给出的公式可知从１０个人中取３个人参　加活动，有ｃ　＝　＝１２０种不同的选法．　点评本题构思精妙、情境新颖．以初中数学中的　整数的乘除运算等基本运算为素材，以高中数学中组合　数的定义及其计算公式为背景，展示给学生的是一个全　新的问题，试题具有较大的自由度和思维空间，考查了　阅读理解、知识迁移等多种数学能力，体现了主动探究　精神，呈现出研究性学习的特点，从而进一步考查了学　生自学高中数学知识的能力．从试题的解答来看，直接　以组合数的定义及其计算公式为背景的试题在各种复　习资料和模拟试题中从未见过，解决这个问题没有现成　的“套路”和“招式”，需要学生自主学习组合数的定义　及其计算公式的定义，综合运用多种数学思想方法，才　能懈决问题．　中考数学创新型试题的一个共同特点是，情境的新　颖性．这对考生来讲是全新的、公平的，靠“猜题押宝”和　“题海战术”是难以凑效的．在中考中，应对情境新颖的　试题，一般需要具有自主学习的能力，即指学生阅读并　理解数学新知识的能力，新知识可以是新的概念、新的　定理、新的方法、新的公式、新的规则等．学习能力包括　会搜集、提炼、加工信息，对阅读的内容进行概括和理　解，然后运用新的知识通过分析、演算、归纳、猜想、类比　或论证等方法解决新的数学问题．中考数学创新型试题　是融知识、方法、思想、能力于一体的新颖问题．认真研　究创新型试题的立意，深刻领会中考命题的指导思想，　对搞好初中数学教学和复习是有益的．　（收稿日期：２００９０４２６）