一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为( )
A.
B. C. D.
2.
下列合并同类项的运算结果中正确的是( )
A. −3𝑥𝑦+3𝑥𝑦=𝑥𝑦 C. 2𝑎𝑏−𝑎𝑏=2
3.
B. 𝑎2+𝑎2=𝑎4 D. 25+25=26
2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为( )
A. 0.6×1013元
4.
B. 60×1011元 C. 6×1012元 D. 6×1013元
如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐴=70°，𝑂𝐶=𝑂𝐸，则∠𝐶的度数为( )
A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
5.
1，4，盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字−2，随机摸出一个小球，其数字为𝑝(放回)，再随机摸出一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0有实数根的概率是( )
A. 9
6.
1
B. 3
1
C. 3
2
D. 9
8
下列命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，同位角相等 C. 菱形的对角线相等
B. 相似三角形的面积比等于相似比 D. 相等的两个角是对顶角
7. 一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为( )
A. 10cm
8.
B. 15cm
2
C. 20cm
2
D. 25cm
若反比例函数𝑦=−𝑥的图象上有两点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(−3,𝑦2)，则𝑦1，𝑦2的关系是( )
A. 𝑦1>𝑦2
9.
B. 𝑦1<𝑦2 C. 𝑦1=𝑦2 D. 无法确定
已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，下列结论：①2𝑎+𝑏<0；②𝑎𝑏𝑐<0；③𝑏2−4𝑎𝑐>0；④𝑎+𝑏+𝑐<0；⑤(𝑎−2𝑏+𝑐)<0，其中正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是(0,0)(5,0)(5,3)，则点D的坐标是( )
A. (0,5) B. (5,0) C. (0,3) D. (3,0)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 分解因式：4𝑎2𝑏−16𝑏3= ______ ．
12. 在等腰三角形ABC中，𝐵𝐶=6，AB，AC的长是关于的方程𝑥2−10𝑥+𝑚=0的两根，则m的
值是______．
13. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，AD、BC相交于点E过E作𝐸𝐹//𝐶𝐷交BD于点F，如果
𝐴𝐵=3，𝐶𝐷=6，那么EF的长是______ ．
14. 如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，
在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为______ ．
AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为5，𝐴𝐶=5，15. 在△𝐴𝐵𝐶中，
则BC的长是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 16. 先化简，再求值：(
四、解答题（本大题共6小题，共49.0分） 17. 计算：
①(−1)2020−(𝜋−3.14)0+(−3)−2；
②(−3)2⋅2𝑥𝑦÷6𝑥2𝑦.
18. 小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透
明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
^𝐶的中点P作⊙𝑂的直径PG，与弦BC相交于点D，19. ⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，AB是直径，过𝐵
连接AG、CP、PB． (1)如图1，求证：𝐴𝐺=𝐶𝑃；
(2)如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：𝐷𝐻//𝐴𝐺；
PC相交于点K、F，(3)如图3，△𝑂𝐷𝐻的面积为2√21，连接PA，延长HD分别与PA、已知𝐹𝐾=2，
求AC的长．
𝑎2−𝑏2𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2
4
+
𝑎𝑏−𝑎
)÷
𝑏2𝑎2−𝑎𝑏
，其中a，b满足√𝑎+1+|𝑏−√3|=0．
20. 乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出
20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？
(2)设童装店每天销售这种童装盈利为y元，每件童装降价为x元，请列出y关于x的解析式． (3)如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装
应降价多少元？
21. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐶𝐵=2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M从A
点出发，以每秒1个单位的速度沿着𝐴→𝐶→𝐷的路线向D点匀速运动(𝑀不与A、D重合)；过点M作直线𝑙⊥𝐴𝐷，l与路线𝐴→𝐵→𝐷相交于N，设运动时间为t秒：
(1)填空：当点M在AC上时，𝐵𝑁=______(用含t的代数式表示)；
(2)当点M在CD上时(含点𝐶)，是否存在点M，使△𝐷𝐸𝑁为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；
若不存在，请说明理由；
(3)过点N作𝑁𝐹⊥𝐸𝐷，垂足为F，矩形MDFN与△𝐴𝐵𝐷重叠部分的面积为S，求S的最大值．
22. 已知抛物线经过点𝐴(0,3)、𝐵(4,1)、𝐶(3,0)． (1)求抛物线的解析式；
(2)联结AC、BC、AB，求∠𝐵𝐴𝐶的正切值；
(3)点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作𝑃𝐺⊥𝐴𝑃交y 轴于点G，当点G在点A的上方，且△𝐴𝑃𝐺与△𝐴𝐵𝐶相似时，求点P的坐标．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：
故选：D．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2.答案：D
解析：解：A、−3𝑥𝑦+3𝑥𝑦=0，故此选项错误； B、𝑎2+𝑎2=2𝑎2，故此选项错误； C、2𝑎𝑏−𝑎𝑏=𝑎𝑏，故此选项错误； D、25+25=26，故此选项正确； 故选：D．
直接利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 此题主要考查了合并同类项，正确合并同类项是解题关键．
3.答案：C
解析：
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：将6万亿元用科学记数法表示为：6×1012元． 故选：C．
4.答案：B
解析：解： ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝑂𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=70°， ∵𝑂𝐶=𝑂𝐸， ∴∠𝐶=∠𝐸， 又∠𝐷𝑂𝐸=2∠𝐶，
∴∠𝐶=35°， 故选：B．
利用平行可求得∠𝐷𝑂𝐸，结合等腰三角形和外角的性质可求得∠𝐶．
本题主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意外角性质的利用．
5.答案：C
解析：解：列表如下： −2 1 4 --- (−2,1) (−2,4) --- (1,4) --- −2 1 (1,−2) 4 (4,−2) (4,1) 所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0有实数根，即满足𝑝2−4𝑞≥0的情况有4种， 则𝑃=6=3． 故选：C．
列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x的方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0有实数根的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4
2
6.答案：A
解析：解：两直线平行，同位角相等，A是真命题； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，B是假命题； 菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C是假命题； 相等的两个角不一定是对顶角，D是假命题； 故选：A．
根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.答案：C
解析：解：设它的最大边长为xcm，
∵两个四边形相似， ∴=， 5𝑥
解得，𝑥=20， 故选：C．
根据相似四边形的性质列式计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边比的比相等是解题的关键．
1
4
8.答案：B
解析：解：∵𝑘=−2<0，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵反比例函数𝑦=−𝑥的图象上有两点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(−3,𝑦2)，且−1<−3， ∴𝑦1<𝑦2． 故选：B．
根据反比例函数的增减性即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
2
2
2
9.答案：A
解析：解：由抛物线的开口可知：𝑎<0， 由抛物线的对称轴可知：−2𝑎>1，
∴𝑏>−2𝑎
∴2𝑎+𝑏>0，故①错误；
由抛物线与y轴的交点可知：𝑐<0， ∵𝑏>−2𝑎>0， ∴𝑎𝑏𝑐>0，故②错误； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴△=𝑏2−4𝑎𝑐>0，故③正确； 令𝑥=1，此时𝑦>0， 即𝑎+𝑏+𝑐>0，故④错误； 令𝑥=−1，此时𝑦<0， 即𝑎−𝑏+𝑐<0， ∵𝑏>0，
𝑏
∴𝑎−𝑏+𝑐<𝑏
∴𝑎−2𝑏+𝑐<0，故⑤正确； 故选：A．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
10.答案：C
解析：解：∵矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是 (0,0)(5,0)(5,3)，
∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=𝐶𝐷=5， ∴𝐷的坐标是𝐷(0,3)． 故选C．
根据矩形的性质和坐标与图形性质得到𝐵𝐶=𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=𝐶𝐷=5，即可求出D的坐标．
本题主要考查对矩形的性质，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行计算是解此题的关键．
11.答案：4𝑏(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)
解析：解：4𝑎2𝑏−16𝑏3=4𝑏(𝑎2−4𝑏2)=4𝑏(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)． 故答案为：4𝑏(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)．
首先提取公因式4b，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12.答案：25或24
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶或𝐴𝐵=𝐵𝐶=6或𝐴𝐶=𝐵𝐶=6，
当𝐴𝐵=𝐴𝐶时，△=(−10)2−4𝑚=0，解得𝑚=25，此时𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，满足条件；
当𝐴𝐵=𝐵𝐶=6或𝐴𝐶=𝐵𝐶=6，把𝑥=6代入方程得36−60+𝑚=0，解得𝑚=24，解得𝑥1=6，𝑥2=4，即AB、AC的长为6、4，满足条件； 综上所述，m的值为25或24． 故答案为25或24．
当𝐴𝐵=𝐴𝐶时，根据判别式的意义得到△=(−10)2−4𝑚=0；当𝐴𝐵=𝐵𝐶=6或𝐴𝐶=𝐵𝐶=6，把𝑥=6代入方程得36−60+𝑚=0，然后分别解关于m的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
13.答案：2
解析：解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐸， ∴
𝐵𝐸𝐶𝐸
=
𝐴𝐵𝐶𝐷
=． 2
1
∵𝐸𝐹//𝐶𝐷， ∴△𝐵𝐸𝐹∽△𝐵𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷=𝐵𝐶=𝐵𝐸+𝐶𝐸，即6=3， ∴𝐸𝐹=2． 故答案为：2．
由𝐴𝐵//𝐶𝐷可得出△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐸，利用相似三角形的性质可得出𝐶𝐸=2，由𝐸𝐹//𝐶𝐷可得出△𝐵𝐸𝐹∽△𝐵𝐶𝐷，再利用相似三角形的性质可求出EF的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，牢记两个相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
𝐵𝐸
1
𝐸𝐹
𝐵𝐸
𝐵𝐸
𝐸𝐹
1
14.答案：14°
解析：解：由题意得：∠𝐵𝐴𝐶=31°，∠𝐶𝐵𝐷=45°， ∵∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐵𝐴𝐶=45°−31°=14°， 故答案为：14°．
先由题意得∠𝐵𝐴𝐶=31°，∠𝐶𝐵𝐷=45°，再由三角形的外角性质即可得出∠𝐴𝐶𝐵的度数． 本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题以及三角形的外角性质，掌握仰角的概念和三角形的外角性质是解题的关键．
15.答案：1或7
解析：解：①如图1，当∠𝐴𝐵𝐶为锐角时，作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶=5，cos∠𝐶=5， ∴𝐶𝐷=4，𝐴𝐷=3，
∵在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴𝐵𝐷=45°， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐷=3， ∴𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷=7；
②如图2，当∠𝐴𝐵𝐶为钝角时，作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，
4
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶=5，cos∠𝐶=5， ∴𝐶𝐷=4，𝐴𝐷=3，
∵在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴𝐵𝐷=45°， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐷=3，
∴𝐵𝐶=𝐶𝐷−𝐵𝐷=4−3=1． 综上所述：BC的长为1或7． 故答案为：1或7．
根据题意分两种情况进行讨论，画图求解即可．
本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
4
16.答案：解：原式=[
(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)2−
𝑎𝑎−𝑏
]⋅
𝑎(𝑎−𝑏)𝑏2 =(
𝑎+𝑏𝑎𝑎(𝑎−𝑏)
−)⋅
𝑎−𝑏𝑎−𝑏𝑏2=
𝑏𝑎(𝑎−𝑏)
⋅
𝑎−𝑏𝑏2𝑎= 𝑏由题意得，𝑎+1=0，𝑏−√3=0，
解得𝑎=−1，𝑏=√3， 当𝑎=−1，𝑏=√3时，原式=−1√=−3√3． 3
解析：根据分式的混合运算法则化简分式，根据非负数的性质求出a、b，代入计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17.答案：解：(1)原式=1−1+9 =9；
(2)原式=9⋅2𝑥𝑦÷6𝑥2𝑦
=18𝑥𝑦÷6𝑥2𝑦
=． 𝑥
解析：(1)根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再合并即可求解； (2)根据整式混合运算法则计算可求解．
本题主要考查实数的应用，整式的混合运算，灵活运用运算法则是解题的关键．
31
1
18.答案：解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下： 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (2,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有(1,1)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(3,4)，(4,4)共10种，
故小明获胜的概率为：16=8，则小刚获胜的概率为：16=8， ∵8≠8，
∴这个游戏对两人不公平．
解析：列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
5
3
10
5
6
3
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
^𝐶的中点P作⊙𝑂的直径PG， 19.答案：(1)证明：∵过𝐵∴𝐶𝑃=𝑃𝐵，
∵𝐴𝐵，PG是相交的直径， ∴𝐴𝐺=𝑃𝐵， ∴𝐴𝐺=𝐶𝑃；
(2)证明：如图2，连接BG
∵𝐴𝐵、PG都是⊙𝑂的直径， ∴四边形AGBP是矩形， ∴𝐴𝐺//𝑃𝐵，𝐴𝐺=𝑃𝐵， ∵𝑃是弧BC的中点， ∴𝑃𝐶=𝐵𝐶=𝐴𝐺， ∴弧𝐴𝐺=弧CP， ∴∠𝐴𝑃𝐺=∠𝐶𝐴𝑃， ∴𝐴𝐶//𝑃𝐺， ∴𝑃𝐺⊥𝐵𝐶， ∵𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝑂𝐷=90°=∠𝑃𝑂𝐻， 在△𝐵𝑂𝐷和△𝑃𝑂𝐻中， ∠𝐵𝑂𝐷=∠𝑃𝑂𝐻
{∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐷， 𝑂𝐵=𝑂𝑃
∴△𝐵𝑂𝐷≌△𝑃𝑂𝐻， ∴𝑂𝐷=𝑂𝐻，
∴∠𝑂𝐷𝐻=2(180°−∠𝐵𝑂𝑃)=∠𝑂𝑃𝐵， ∴𝐷𝐻//𝑃𝐵//𝐴𝐺．
(3)解：如图3，作𝐶𝑀⊥𝐴𝑃于M，𝑂𝑁⊥𝐷𝐻于N，
1
∴∠𝐻𝑂𝑁=∠𝐵𝑂𝑃=∠𝐶𝑂𝑃=∠𝐶𝐴𝑃，
2
2
11
∴△𝐻𝑂𝑁∽△𝐶𝐴𝑀， ∴
𝑂𝐻𝐴𝐶
=𝐶𝑀，
𝐻𝑁
作𝑃𝑄⊥𝐴𝐶于Q， ∴四边形CDPQ是矩形， △𝐴𝑃𝐻与△𝐴𝑃𝑄关于AP对称， ∴𝐻𝑄⊥𝐴𝑃， 由(1)有：𝐻𝐾⊥𝐴𝑃， ∴点K在HQ上， ∴𝐶𝐹=𝑃𝐹，
∴𝐹𝐾是△𝐶𝑀𝑃的中位线， ∴𝐶𝑀=2𝐹𝐾=4，𝑀𝐹=𝑃𝐹， ∵𝐶𝑀⊥𝐴𝑃，𝐻𝐾⊥𝐴𝑃， ∴𝐶𝑀//𝐻𝐾，
∴∠𝐵𝐶𝑀+∠𝐶𝐷𝐻=180°，
∵∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐵𝐴𝑃=∠𝑃𝐻𝐾=∠𝑀𝐻𝐾， ∴∠𝑀𝐻𝐾+∠𝐶𝐷𝐻=180°， ∴四边形CDHM是平行四边形， ∴𝐷𝐻=𝐶𝑀=4，𝐷𝑁=𝐻𝑁=2，
∵𝑆△𝑂𝐷𝐻=2𝐷𝐻×𝑂𝑁=2×4×𝑂𝑁=2√21，
1
1
∴𝑂𝑁=√21，
∴𝑂𝐻=√𝐻𝑁2+𝑂𝑁2=5， ∴𝐴𝐶=
𝑂𝐻×𝐶𝑀𝐻𝑁
=10．
解析：(1)利用等弧所对的圆周角相等即可求解；
(2)利用等弧所对的圆周角相等，得到角相等∠𝐴𝑃𝐺=∠𝐶𝐴𝑃，判断出△𝐵𝑂𝐷≌△𝑃𝑂𝐻，再得到角相等，从而判断出线平行；
(3)由三角形相似，△𝐻𝑂𝑁∽△𝐶𝐴𝑀，𝐴𝐶=𝐶𝑀，得出比例式，再判断出四边形CDHM是平行四边形，最后经过计算即可求解．
此题是圆的综合题，主要考查了相似，圆中的一些角的关系，解本题的关键是判断出平行线，难点是作辅助线．
𝑂𝐻
𝐻𝑁
20.答案：解：(1)降价前每天销售该童装可盈利为20×(100−60)=800(元)，
故童装店降价前每天销售该童装可盈利800元； (2)设每件童装降价x元，根据题意，得：
𝑦=(100−60−𝑥)(20+2𝑥)=−2𝑥2+60𝑥+800； (3)由题意得：(100−60−𝑥)(20+2𝑥)=1200， 解得：𝑥1=10(元)，𝑥2=20(元)． ∵要使顾客得到较多的实惠， ∴取𝑥=20(元)．
答：童装店应该降价20元．
解析：(1)降价前每天销售该童装可盈利为20×(100−60)，即可求解；
(2)设每件童装降价x元，根据题意，得：𝑦=(100−60−𝑥)(20+2𝑥)，即可求解；
(3)由题意得：(100−60−𝑥)(20+2𝑥)=1200，解得：𝑥1=10(元)，𝑥2=20(元)，进而求解． 此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
21.答案：解：(1)2√2−√2𝑡
(2)如图2，
∵𝐴𝑀=𝑡，𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐶𝐷=2，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐵𝐸=45°， ∴𝐷𝑀=𝑀𝑁=𝐴𝐷−𝐴𝑀=4−𝑡， ∴𝐷𝑁=√2𝐷𝑀=√2(4−𝑡)， ∵𝑃𝑀=𝐵𝐶=2，
∴𝑃𝑁=2−(4−𝑡)=𝑡−2， ∴𝐵𝑃=𝑡−2，
∴𝑃𝐸=𝐵𝐸−𝐵𝑃=2−(𝑡−2)=4−𝑡， 则𝑁𝐸=√𝑃𝑁2+𝑃𝐸2=√(𝑡−2)2+(4−𝑡)2， ∵𝐷𝐸=2，
∴①若𝐷𝑁=𝐷𝐸，则√2(4−𝑡)=2，解得𝑡=4−√2；
②若𝐷𝑁=𝑁𝐸，则√2(4−𝑡)=√(𝑡−2)2+(4−𝑡)2，解得𝑡=3；
③若𝐷𝐸=𝑁𝐸，则2=√(𝑡−2)2+(4−𝑡)2，解得𝑡=2或𝑡=4(点N与点E重合，舍去)； 综上，当𝑡=4−√2或𝑡=3或𝑡=2时，△𝐷𝑁𝐸是等腰三角形． (3)①当0≤𝑡<2时，如图3，
由题意知𝐴𝑀=𝑀𝑁=𝑡， 则𝐶𝑀=𝑁𝑄=𝐴𝐶−𝐴𝑀=2−𝑡， ∴𝐷𝑀=𝐶𝑀+𝐶𝐷=4−𝑡，
∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐵𝐷=45°，∠𝑁𝑄𝐵=∠𝐺𝑄𝐵=90°， ∴𝑁𝑄=𝐵𝑄=𝑄𝐺=2−𝑡，
则𝑁𝐺=4−2𝑡，
∴𝑆=⋅𝑡⋅(4−2𝑡+4−𝑡)=−(𝑡−)2+，
2233当𝑡=3时，S取得最大值3； ②当2≤𝑡≤4时，如图4，
4
8
1
3
4
8
∵𝐴𝑀=𝑡，𝐴𝐷=𝐴𝐶+𝐶𝐷=4， ∴𝐷𝑀=𝐴𝐷−𝐴𝑀=4−𝑡， ∵∠𝐷𝑀𝑁=90°，∠𝐶𝐷𝐵=45°， ∴𝑀𝑁=𝐷𝑀=4−𝑡， ∴𝑆=2(4−𝑡)2=2(𝑡−4)2， ∵2≤𝑡≤4，
∴当𝑡=2时，S取得最大值2； 综上，当𝑡=3时，S取得最大值3． 解析：
解：(1)如图1，
4
8
1
1
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2， ∴∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐶=45°，𝐴𝐵=2√2， ∵𝐴𝑀=𝑡，∠𝐴𝑀𝑁=90°，
∴𝑀𝑁=𝐴𝑀=𝑡，𝐴𝑁=√2𝐴𝑀=√2𝑡， 则𝐵𝑁=𝐴𝐵−𝐴𝑁=2√2−√2𝑡，
故答案为：2√2−√2𝑡. (2)见答案 (3)见答案
(1)由等腰直角三角形的性质知𝐴𝐵=2√2，𝑀𝑁=𝐴𝑀=𝑡，𝐴𝑁=√2𝐴𝑀=√2𝑡，据此可得； (2)先得出𝑀𝑁=𝐷𝑀=4−𝑡，𝐵𝑃=𝑃𝑁=𝑡−2，𝑃𝐸=4−𝑡，由勾股定理得出𝑁𝐸=√(𝑡−2)2+(4−𝑡)2，再分𝐷𝑁=𝐷𝐸，𝐷𝑁=𝑁𝐸，𝐷𝐸=𝑁𝐸三种情况分别求解可得；
(3)分0≤𝑡<2和2≤𝑡≤4两种情况，其中0≤𝑡<2重合部分为直角梯形，2≤𝑡≤4时重合部分为等腰直角三角形，根据面积公式得出面积的函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得． 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及二次函数性质的应用等知识点．
22.答案：解：(1)设所求二次函数的解析式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，将𝐴(0,3)、𝐵(4,1)，
𝐶(3,0)代入，得： 16𝑎+4𝑏+𝑐=1{9𝑎+3𝑏+𝑐=0， 𝑐=3
𝑎=
2
解得：{𝑏=−5，
𝑐=3
21
所以，这个二次函数的解析式为：𝑦=2𝑥2−2𝑥+3； (2)∵𝐴(0,3、𝐵(4,1)、𝐶(3,0 ) ∴𝐴𝐶=3√2，𝐵𝐶=√2，𝐴𝐵=2√5，
∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2
∴∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴tan∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶=3𝐵𝐶
√2√215
=3；
1
(3)过点P作𝑃𝐻⊥𝑦轴，垂足为H 设P (𝑥,2𝑥2−2𝑥+3) 则H (0,2𝑥2−2𝑥+3)
∵𝐴(0,3)
∴𝐴𝐻=2𝑥2−2𝑥，
1
5
1
5
1
5
𝑃𝐻=𝑥，
∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝑃𝐺=90°
∴当△𝐴𝑃𝐺与△𝐴𝐵𝐶相似时，存在以下两种可能：
①∠𝑃𝐴𝐺=∠𝐶𝐴𝐵
则tan∠𝑃𝐴𝐺=tan∠𝐶𝐴𝐵=3， 即𝐴𝐻=3 ∴1𝑥
5𝑥2−𝑥221
𝑃𝐻1
=3，
1
解得：𝑥=11， ∴点P 的坐标为(11,36)；
②∠𝑃𝐴𝐺=∠𝐴𝐵𝐶
则tan∠𝑃𝐴𝐺=tan∠𝐴𝐵𝐶=3 即𝐴𝐻=3
∴
𝑥1252𝑥−2𝑥
=3
𝑃𝐻
解得：𝑥=
173
，
1744
∴点P 的坐标为(3,9)，
综上所述：点P 的坐标为(3,9)或(11,36)． 解析：(1)直接利用待定系数法求出函数解析式； (2)利用勾股定理的逆定理、以及∠𝐵𝐴𝐶的正切值；
(3)当△𝐴𝑃𝐺与△𝐴𝐵𝐶相似时，存在以下两种可能：①∠𝑃𝐴𝐺=∠𝐶𝐴𝐵 ②∠𝑃𝐴𝐺=∠𝐴𝐵𝐶，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数综合和勾股定定理的逆定理等知识，正确分类讨论得出①∠𝑃𝐴𝐺=∠𝐶𝐴𝐵，②∠𝑃𝐴𝐺=∠𝐴𝐵𝐶是解题关键．
1744
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