题型六 新定义阅读理解题
1. (2016重庆B卷)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差p
的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝q.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳3
分解，所以F(12)＝4.
(1)如果一个正整数a是另外—个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18.那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．
2. (2017重庆A卷)对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123.对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213 ＋321＋132 ＝666，666÷111＝6，所以，F(123) ＝6. (1)计算：F(243)，F(617)；
(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，F（s）y都是正整数)，规定：k＝.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．
F（t）
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3. (2015重庆A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如22，545，3883 ，345543，…，都是“和谐数”．
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
4. (2017张家界)阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i； (1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i3＝________，i4＝________； (2)计算：(1＋i)×(3－4i)； (3)计算：i＋i2＋i3＋…＋i2017.
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5. (2018原创)若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．
(1)已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”．
(2)已知两位正整数t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，其中x，y为自然数)，交换其个位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求所有符合条件的两位正整数t.
6. (2017重庆南开模拟)若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”． (1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；
(2)已知两个“尼尔数”的差是1，求这两个“尼尔数”．
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7. (2017重庆一外一模)若一个三位数t＝abc(其中a，b，c不全相等且都不为0)，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为T(t)．例如，357的差数T(357)＝753－357＝396. (1)已知一个三位数a1b(其中a＞b＞1)的差数T(a1b)＝792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数．
(2)若一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数2ab被4除余1，再将新数的个位数字移到百位得到另一个新数b2a被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612＝4×153，261＝4×65＋1，126＝4×31＋2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T(t)的最大值．
8. (2017重庆八中一模)一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132.
(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等(a≠0, b≠0)．若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
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9. (2017重庆大渡口区模拟)我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数abcd(千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d)是“吉祥数”．请解答下面几个问题： (1)已知785x是“吉祥数”，则x＝________.
(2)若正整数abcd是“吉祥数”，试说明：d＋4(a＋b＋c)能被2整除．
(3)小明完成第(2)问后认为：四位正整数abcd是“吉祥数”，那么d＋4(a＋b＋c)也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．
10. —个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第—位“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”． (1)若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；
(2)若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为—个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．
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11. (2017重庆巴蜀模拟)阅读材料：
欢喜数——若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”，如1005、2211等都是欢喜数；半和数——一个数，若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数；平方差数——一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．
根据上面的材料，回答下列问题：
(1)证明所有的三位“半和数”均能被11整除；
(2)若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m的值．
12. 一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m′(m′可以与m相同)，记m′＝abc，在m′所有的可能情况中，当|a＋2b－c|最小时，我们称此时的m′是m的“幸福美满数”，并规定K(m)＝a2＋2b2－c2.例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3＋2×8－1|＝18，|8＋2×1－3|＝7，|1＋2×3－8|＝1，1＜7＜18，所以138是318的“幸福美满数”，K(318)＝12＋2×32－82＝－45.
(1)若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n(1≤n≤9，n为自然数)，个位上的数字为0，求证：K(t)＝0；
(2)设三位自然数s＝100＋10x＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数)，且x＜y.交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若19s＋8s′＝3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K(s)的最大值．
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13. (2018原创)如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以252525是循环数．它是2阶6位循环数；再如：11是1阶2位循环数，777是3阶9位循环数，345634563456是4阶12位循环数…. (1)请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由；
(2)已知一个能被13整除的2阶4位循环数，设循环节为xy，(0 十位作为百位，组成一个新的三位数h，规定q＝t－h，f(m)＝9.例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝108 213，∴q＝321－213＝108，f(m)＝9＝12. (1)当f(m)最小时，求此时对应的“加成数”t的值； (2)若f(m)是24的倍数，则称f(m)是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”． 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 15. (2017重庆渝中区校级二模)对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后(包括本身)，得到一个新的三位数abc(a≤c)，在所有重新排列的三位数中，当|a＋c－2b|最小时，称此时的abc为t的“最优组合”，并规定F(t)＝|a－b|－|b－c|，例如：124重新排序后为：142、214，因为|1＋4－4|＝1，|1＋2－8|＝5，|2＋4－2|＝4，所以124为124的“最优组合”，此时F(124)＝－1. (1)三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F(t)＝0 (2)一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m＝200＋10x＋y(0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数)，m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值． 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 16. (2018原创)如果两个实数a，b，使得a2＋b与a＋b2都是有理数，我们则称(a，11117111111711 b)是“完美数对”．如：(2)2＋3＝4＋3＝12，2＋(3)2＝2＋9＝18，因为12，18是11 有理数，所以(2，3)是“完美数对”；(2)2＋1＝3，2＋12＝1＋2，因为1＋2为无理数，所以(2，1)不是“完美数对”． 11 (1)请判断(2＋2，2－2)是否是“完美数对”，并说明理由； (2)若(a，b)是“完美数对”，且a＋b＝2，证明：a，b都是有理数． 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 17. 1742年6月7日，德国数学家哥德在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德猜想”，并已经得到了成功的证明． 根据“弱哥德猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分：m＝a＋b＋c(a、b、c均为质数，且a≥b≥c)，在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分．并规定：P(m)＝a－c.例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2>3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P(9)＝0. (1)由上述条件，可得：P(11)＝________；若P(n)＝1，则n＝________；若P(n)＝0，证明n必定能被3整除； (2)t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y(1≤x≤y≤9，x、y为整数)．若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P(t)的最大值． 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 18. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”. 比如：2017的兄弟数为1720, 168的兄弟数为681.根据以上阅读材料，回答下列问题． (1)求证：—个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除； (2)已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数的4倍，求满足条件的原六位数． 19. (2017重庆南开模拟)一个自然数m，若将其数字重新排列可得—个新的自然数n，如果m＝3n，我们称m是一个“希望数”，例如：3105＝3×1035，71253＝3×23751，371250＝3×123750. (1)请说明41不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数”； (2)一个四位“希望数”M记为abcd，已知abcd＝3·cbad，且c＝2，请求出这个四位“希望数”． 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 20. (2017重庆西大附中月考)一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位效字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13＋31＋12＋21＋32＋23＝132，所以132是“公主数”． —个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”． (1)判断123是不是“公主数”？请说明理由． (2)证明：当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则z＝2x. (3)若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”． 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 11 21. (2018原创)若实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a＝n－，n＋1 111 那么我们称a为第n个“1阶倒差数”，例如2＝1－2，∴2是第1个“1阶倒差数”，111111＝－，∴是第2个“1阶倒差数”．同理，若b＝－，那么，我们称b6236nn＋2为第n个“2阶倒差数”． 1 (1)判断32是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”； 11 (2)若c，d均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且d－c＝22，求c，d的值． 22. (2017重庆八中二模)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324；若将—个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”，如34的“立达数”为36. (1)求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与”立达数”之差能被6整除； (2)若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值． 23. (2017重庆南岸区二模)若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”． (1)求证：对任意“好数”m，m2－一定为20的倍数； 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! (2)若m＝p2－q2，且p，q为正整数，则称数对(p，q)为“友好数对”．规定：H(m)q168 ＝p.例如68＝182－162，称数对(18，16)为“友好数对”，则H(68)＝18＝9.求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值． 24. (2018原创)定义，对于一个多位自然数a，若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1，我们称自然数a是“格调数”．例如，12，123，1234等都是“格调数”．根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是12，最大的“格调数”是1234567.而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是3，这样的“格调数”是34567. (1)已知四位“格调数”m和n，若m－n＝3333，求m的值； (2)规定：任意一个能被18整除的数，称为“发财数”．对于任意一个三位“格调数”t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)，交换其个位和百位上的数字，得到新的三位数k，令q＝k－t，猜想q是否为“发财数”，请说明理由． 25. (2017重庆一中一模)人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，若两个不同的自然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等， 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的正因数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和为1＋2＋3＋6＋9＝21；51的正因数有1、3、17、51，它的真因数之和为1＋3＋17＝21，所以称18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数”．例如：121、1351等． (1)8的真因数之和为________；求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能被7整除； (2)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”． 26. (2018原创)依次排列的几个数，如：a，b，c，…，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，并将所得的差写在这两个数之间，从而产生一个新数串：a，b－a，b，c－b，c，…，我们称这样的一次操作为“差变增数列”．例如，对于依次排列的两个数，1，2，做一次“差变增数列”所得数串为1，1，2；再做一次“差变增数列”所得数串为1，0，1，1，2. (1)已知依次排列的3个数：2，8，7，做一次“差变增数列”，所得新数串所有数字的和是________；做m次“差变增数列”后，所得新数串所有数字的和为________(用含m的代数式表示)； (2)若依次排列的3个数：x，8，y；其中，0≤x 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 例如：1423，x＝1＋4，y＝2＋3，因为x＝y，所以1423是“和平数”． (1)直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是________； (2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”； (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”． 例如：1423与4132为一组“相关和平数”． 求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数． 28. (2017重庆南岸区一模)对任意一个正整数m，如果m＝k(k＋1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如，56＝7×(7＋1)，则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点． (1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数； (2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D(p，q)，其中p＞q，D(p，q)＞0.例如，20＝4×5，6＝2×3，则D(20，6)＝20－6＝14.若“矩数”P的最佳拆分点为t，s “矩数”q的最佳拆分点为s，当D(p，q)＝30时，求t的最大值． 29. (2017重庆一外二模)若一个多位自然数t＝abc…fg的各数位上的数字满足b－a＝c－b＝…＝g－f＝k(k≠0)，则称该数为“k”类自然数，把自然数t各数位上的数 拼搏的你，背影很美！ 努力的你，未来可期! 字从左往右数，所有奇数位上的数字之和的平方减去所有偶数位上的数字之和的平方，记为F(t)． 例如：135是一个“2”类自然数．F(135)＝(1＋5)2－32＝27 4321是一个“－1”类自然数．F(4321)＝(4＋2)2－(3＋1)2＝20 (1)证明：任意一个三位“k”类自然数与它百位上的数字之和一定能被4整除； (2)如果—个四位自然数，交换其个位数字与千位数字得到的新数减去原数所得的差能够被18整除，则称这个数为“成年数”．若一个“k”类自然数t是“成年数”，求F(t)的最小值． 30. 阅读下列材料解决问题： 两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如：37与82，它们各数位上的数字和分别为3＋7，8＋2，∵3＋7＝8＋2＝10，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为1＋2＋3，5＋1，∵1＋2＋3＝5＋1＝6，∴123与51互为“调和数”． (1)若两个三位数a43、2bc(0≤b≤a≤9，0≤c≤9且a、b、c为整数)互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”； (2)若A、B是两个不相等的两位数，A＝xy，B＝mn，A、B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y＝－x＋9. 拼搏的你，背影很美！ 答案 1. (1)证明：∵m是一个完全平方数， ∴m＝p×q，当q＝p时，p·q就是m的最佳分解， pp ∴F(m)＝q＝p＝1； (2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2， ∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)， 则所有的吉祥数为：13，24，35，46，57，68，79共7个， ∵13＝1×13， 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6， 35＝1×35＝5×7， 46＝1×46＝2×23， 57＝1×57＝3×19， 68＝1×68＝2×34＝4×17， 79＝1×79， 125234 则F(13)＝13，F(24)＝3，F(35)＝7，F(46)＝23，F(57)＝19，F(68)＝17，F(79) 拼搏的你，背影很美！ 1＝79， 5243211∵7>3>17>19>23>13>79， 5 ∴“吉祥数”中F(t)的最大值为F(35)＝7. 2. 解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9，F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14； (2)∵s，t都是相异数． ∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5， F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6， ∵F(s)＋F(t)＝18， ∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18， ∴x＋y＝7， ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数． x＝1x＝2x＝3x＝4x＝5x＝6∴或或或或或， y＝6y＝5y＝4y＝3y＝2y＝1∵s是相异数，∴x≠2，x≠3， ∵t是相异数，∴y≠1，y≠5， 拼搏的你，背影很美！ x＝1x＝4x＝5 ∴满足条件的有或或， y＝6y＝3y＝2F（s）＝6F（s）＝9F（s）＝10∴或或， F（t）＝12F（t）＝9F（t）＝8 F（s）61F（s）9F（s）105∴k＝＝＝或k＝＝＝1或k＝＝＝， F（t）122F（t）9F（t）8415∵2＜1＜4， 5 ∴k的最大值为4. 3. 解：(1)1331，2442，1001； 猜想：任意一个四位“和谐数”能被11整除． 理由：设一个四位“和谐数”记为xyyx，用十进制表示为： 1000x＋100y＋10y＋x＝1001x＋110y＝11(91x＋10y)， ∵x、y是0～9之间的整数， ∴11(91x＋10y)能被11整除； ∴任意一个四位“和谐数”能被11整除； (2)设这个三位的“和谐数”为xyx，用十进制表示为： 100x＋10y＋x＝101x＋10y， ∵它是11的倍数， 拼搏的你，背影很美！ 101x＋10y∴为整数， 11 101x＋10y99x＋11y＋2x－y2x－y∵＝＝9x＋y＋ 111111， x，y是0～9之间的整数， 2x－y∴是整数． 11又∵1≤x≤4，0≤y≤9， ∴2≤2x≤8，－9≤－y≤0， ∴－7≤2x－y≤8， 2x－y∵要使是整数， 11则2x－y只能是0， ∴2x－y＝0，即y＝2x， ∴y与x之间的函数关系式是y＝2x(1≤x≤4，x为自然数)． 4. 解：(1)－i；1； 【解法提示】∵i2＝－1，∴i3＝i2·i＝－i，i4＝i2·i2＝(－1)×(－1)＝1. (2)原式＝3－4i＋3i－4i2＝3－i＋4＝7－i； (3)根据题意可得i＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i2016＝1， 拼搏的你，背影很美！ i2017＝i， ∵i＋i2＋i3＋i4＝0，2016÷4＝504， ∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2017＝i2017＝i. 5. 解：(1)设这个奇数为2n＋1，n为任意整数， 4n（n＋1） 由题意知m＝(2n＋1)－1＝4n＋4n＋1－1＝4n(n＋1)，＝ 8 2 2 n（n＋1） ，是整数，即4n(n＋1)是8的倍数， 2∴m是“发达数”； (2)由题意知s＝10y＋x，∴s＋t＝10y＋x＋10x＋y＝11x＋11y＝11(x＋y)， 又∵1≤x≤y≤9，∴2≤x＋y≤18， 要使11(x＋y)是发达数，则x＋y是发达数，∴x＋y＝8或x＋y＝16， 当x＋y＝8时， x＝1，y＝7，t＝17， x＝2，y＝6，t＝26， x＝3，y＝5，t＝35， x＝4，y＝4，t＝44， 当x＋y＝16时， 拼搏的你，背影很美！ x＝7，y＝9，t＝79， x＝8，y＝8，t＝88，故所有符合条件的两位正整数t有17，26，35，44，79，88. 6. 解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数． 证明：设P表示的数为3m，则a＝(3m－1)，b＝(3m＋1)， K＝(3m－1)2＋(3m＋1)2－(3m－1)(3m＋1)＝9m2＋3， ∵m为整数，∴m2为整数， ∴9m2＋3被9除余3； (2)设这两个尼尔数分别是K1，K2，将P1，P2分别记为3m1，3m2. ∴K1－K2＝9m12－9m22＝1， ∴m12－m22＝21， ∵m1，m2都是整数， ∴m1＋m2＝7，m1－m2＝3， m1＝5∴， m＝22K1＝228∴. K2＝39 7. 解：(1)∵一个三位数a1b(其中a＞b＞1)的差数T(a1b)＝792， 拼搏的你，背影很美！ ∴a＝9， ∵三位数a1b(其中a＞b＞1)的各数位上的数字之和为一个完全平方数， ∴1＋a＋b＝n2，10<1＋a＋b≤19， ∴n＝4，∴b＝16－9－1＝6， ∴这个三位数是916； (2)∵一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除， ∴b＝1或3或5或7或9， ∵将新数个位数字移到百位得到另一个新数b2a被4除余2并且a＜5， ∴a＝2， ∴所有小于500的4的“闺蜜数”t是212，232，252，272，292， T(t)的最大值是922－229＝693. 8. (1)证明：设M＝xyz(x≠y≠z≠0)，则M的友谊数是yxz， ∴xyz－yxz＝(100x＋10y＋z)－(100y＋10x＋z)＝90x－90y＝90(x－y)＝15×6(x－y)， ∵6(x－y)是整数， ∴xyz－yxz能被15整除． 拼搏的你，背影很美！ 故M与其“友谊数”的差能被15整除； (2)解：由团结数定义可知，N的团结数为：(20＋a)＋(20＋b)＋(10a＋2)＋(10a＋b)＋(10b＋2)＋(10b＋a)＝22a＋22b＋44， ∵N的团结数与N之差为24， ∴(22a＋22b＋44)－(200＋10a＋b)＝24， 7 即a＝15－4b， ∵a、b为整数，1≤a≤9，1≤b≤9，a≠b， a＝8a＝1∴或， b＝4b＝8∴N＝284或218. 9. 解：(1)4； (2)∵正整数abcd能被6整除， ∴d能被2整除． 设d＝2k( k为自然数)，则 d＋4(a＋b＋c)＝2k＋4(a＋b＋c) ＝2[k＋2(a＋b＋c)]． ∴d＋4(a＋b＋c)能被2整除； 拼搏的你，背影很美！ (3)小明的说法正确．理由如下： ∵四位正整数abcd能被6整除， ∴a＋b＋c＋d能被3整除． 设a＋b＋c＋d＝3m(m为自然数)，则 d＋4(a＋b＋c)＝(a＋b＋c＋d)＋3(a＋b＋c)＝3m＋3(a＋b＋c)． ∴d＋4(a＋b＋c)既能被2整除，也能被3整除， ∴也能被6整除． 10. 解：(1)根据精巧数的定义，得123k能被4整除，则1230＋k能被4整除， ∵1230＋k＝1228＋(2＋k)， ∴2＋k能被4整除， 又∵0≤k≤9，且k为整数， ∴k＝2或6； (2)∵2ab是“精巧数”， ∴a为偶数，且2＋a＋b是3的倍数， ∵a＜10，b＜10， ∴2＋a＋b＜22， 拼搏的你，背影很美！ ∵2ab各位数字之和为一个完全平方数， ∴2＋a＋b＝32＝9， ∴当a＝0时，b＝7， 当a＝2时，b＝5， 当a＝4时，b＝3， 当a＝6时，b＝1， ∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261. 11. (1)证明：设三位数abc是一个半和数，则a＋b＋c＝2b，∴a＋c＝b. ∵这个三位数为100a＋10b＋c＝100a＋10(a＋c)＋c＝110a＋11c＝11(10a＋c)， 且10a＋c为整数， ∴这个三位数是11的倍数，能被11整除． (2)解：∵四位数abbc是欢喜数， ∴10a＋b＝2(10b＋c)， ∴10a－19b－2c＝0①. ∵bmc是半和数，∴b＋c＝m. ∵bmc是平方差数， 拼搏的你，背影很美！ ∴m＝b2－c2＝(b＋c)(b－c)， ∴b－c＝1， 21c＋1910， ∴b＝1＋c ②，②代入①得a＝ ∵a是1～9的正整数， ∴c＝1，∴b＝2， ∴m＝2＋1＝3. 12. (1)证明：由题意得，t按上述方法可得新数：n0n，nn0， ∵|n＋2×0－n|＝0，|n＋2n－0|＝3n，0＜3n， ∴n0n是t的“幸福美满数”， K(t)＝n2＋2×02－n2＝0； (2)解：s＝100＋10x＋y，s′＝100＋10y＋x，19s＋8s′＝3888，即 19(100＋10x＋y)＋8(100＋10y＋x)＝3888.得到2x＋y＝12， ∵x＜y，且均为自然数， x＝2x＝3∴或， y＝8y＝6 ∴“梦想成真数”为128或136， 通过计算，K(128)＝－55，K(136)＝－17或－25， 拼搏的你，背影很美！ 又∵－55<－25＜－17， ∴K(s)的最大值为－17. 13. 解：(1)依照2阶6位循环数的定义，可任意写出3个2阶6位循环数：131313；272727；868686. 任意一个2阶6位循环数能被7整除，理由如下： 结合数字的特点可得知：2阶6位循环数为任意的一个两位数×10101得出的． ∵10101÷7 ＝1443. ∴任意一个2阶6位循环数能被7整除； (2)结合(1)的规律可知： 2阶4位循环数为任意的一个两位数×101得出的． ∵101为质数． ∴xy为13的倍数， 又∵0＜x＜5， ∴y＝3x. ∵当x＝4时，y＝3×4＝12，当x＝5时，y＝3×5＝15均不符合题意． ∴0 ∴y与x之间的函数关系为y＝3x(x＝1，2，3)． 14. 解：(1)根据题意知t＝100(x＋y)＋10y＋x， ∴h＝100y＋10x＋x＋y， ∴q＝t－h＝(100x＋100y＋10y＋x)－(100y＋10x＋x＋y)＝90x＋9y， q90x＋9y ∴f(m)＝9＝＝10x＋y. 9∵0不能在百位， ∴t的十位和百位均不可以为0， ∴x的最小值为0，y的最小值为1， ∴f(m)的最小值为1，此时“加成数”t为110； (2)∵f(m)是24的倍数， ∴10x＋y＝24n(n＝1，2，3，…)， ∵0≤x≤8，1≤y≤9，且1≤x＋y≤9， ∴当n＝1时，10x＋y＝24，x＝2，y＝4， 当n＝3时，10x＋y＝72，x＝7，y＝2； 综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72. 15. (1)证明：∵三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的 拼搏的你，背影很美！ 平均数， ∴重新排序后，其中两个数位上数字的和是另一个数位上的数字的2倍， ∴ a＋c－2b＝0， ∴F(t)＝0； (2)解：∵m＝200＋10x＋y是“善雅数”， ∴x为偶数，且2＋x＋y是3的倍数， ∵x<10，y<10， ∴2＋x＋y<30， ∵m的各位数字之和为一个完全平方数， ∴2＋x＋y＝32＝9， ∴当x＝0时，y＝7， 当x＝2时，y＝5， 当x＝4时，y＝3， 当x＝6时，y＝1， ∴所有符合条件的“善雅数”有：207，225，243，261， ∴所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值是|2－3|－|3－4|＝0. 拼搏的你，背影很美！ 16. (1)解：是．理由如下： 111111 ∵(2＋2)2＋(2－2)＝4＋2＋2＋2－2＝4，是有理数； 111111 (2＋2)＋(2－2)2＝2＋2＋4－2＋2＝4，是有理数． 11 ∴(2＋2，2－2)是“完美数对”； (2)证明：∵(a，b)是“完美数对”， ∴a2＋b与a＋b2都是有理数， ∴(a2＋b)－(a＋b2)＝(a－b)(a＋b－1)是有理数． 设t＝(a－b)(a＋b－1)＝(a－b)×(2－1)＝a－b， ∴t＝a－b是有理数． t a＝1＋2a＋b＝2 解，得， ta－b＝t b＝1－2∵t是有理数，∴a，b都是有理数． 17. 解：(1)2；8； 证明：假设P(n)的质数为a，b，c， 由P(n)＝0可知，a＝b＝c， 拼搏的你，背影很美！ ∴P(n)＝a＋a＋a＝3a， ∴3a÷3＝a，为整数， ∴若P(n)＝0，n必定能被3整除； (2)(x＋y)×8＋10x＋y＝99， ∴2x＋y＝11； ∵1≤x≤y≤9， ∴期盼数：35，27，19， 35＝11＋11＋13；27＝7＋7＋13； 19＝7＋7＋5； P(35)＝2，P(27)＝6，P(19)＝2， ∴P(t)max＝6. 18. (1)证明：设原来的三位数为：100a＋10b＋c， 其兄弟数为：100b＋10c＋a， 则(100a＋10b＋c)－(100b＋10c＋a)＝99a－90b－9c＝9(11a－10b－c)， ∵(11a－10b－c)为整数， ∴一个三位数与其兄弟数之差一定可以被9整除． 拼搏的你，背影很美！ (2)解：设这个六位数的前4位是M，后2位是N， 则这个数可表示为：(100M＋N)，其兄弟数可表示为：(10000N＋M)， ∴4×(100M＋N)＝10000N＋M， ∴化简得19M＝476N， ∴N一定是19的倍数， ∵N是2位数， ∴满足条件的N＝19，38，57，76，95； 又∵M是4位数， ∴N＝19，38都不满足条件，舍去； ∴N＝57，76，95， 相应的：M＝1428，1904，2380， ∴满足条件的六位数有三个142857，190476，238095. 19. (1)证明：∵3×14＝42≠41， ∴41不是希望数． 假设存在两位数是希望数，记为ab， ∴ab＝3ba. 拼搏的你，背影很美！ ∵3b为一位数，且b是3a的个位数， ∴b＝1，2，3. 当b＝1时，a＝7，3×17＝51≠71； 当b＝2时，a＝4，3×24＝72≠42； 当b＝3时，a＝1，3×31＝93≠13. 综上可知：假设不成立，即任意两位数都不可能是“希望数”； (2)解：∵abcd＝3·cbad， ∴3d的个位是d， ∴d＝0或5. 当d＝0时， ∵3a的个位是c，c＝2， ∴a＝4， 此时3c＝6＞4，不合适； 当d＝5时， ∵3a的个位＋1是c，c＝2， ∴a＝7， 拼搏的你，背影很美！ 又∵abcd＝3·cbad， ∴3b＋2＝10＋b，解得：b＝4. ∴这个四位“希望数”为7425. 20. (1)解：123的百位与十位数字组成的数为12，21，百位与个位数字组成的数为13，31, 十位与个位数字组成的数为23，32，则各数和为12＋21＋13＋31＋23＋32＝132≠123，显然不是公主数； (2)证明：∵xyz是一个公主数， ∴(10x＋y＋10y＋x)＋(10x＋z＋10z＋x)＋(10y＋z＋10z＋y) ＝100x＋10y＋z， ∴78x＝12y＋21z①； ∵xyz是一个伯伯数， ∴y＝x＋z②，代入①得66x＝33z， ∴z＝2x； (3)解：设这个伯伯数为xyz，则y＝x＋z，∴100x＋10y＋z＝110x＋11z. ∵110x＋11z＋132＝ 11(10x＋z＋12)， ∵能被13整除， ∴10x＋z＋12是13的倍数． 拼搏的你，背影很美！ 当10x＋z＋12＝26时，x＝1，z＝4，y＝5，这个数为154； 当10x＋z＋12＝39时，x＝2，z＝7，y＝9，这个数为297； 当10x＋z＋12＝52时，x＝4，z＝0，y＝4，这个数为440； 当10x＋z＋12＝65时，x＝5，z＝3，y＝8，这个数为583； 当10x＋z＋12＝78时，x＝6，z＝6，y＝12，不符合； 当10x＋z＋12＝91时，x＝7，z＝9，y＝16，不符合． 故满足条件的数有154，297，440，583. 12 21. 解：(1)32不是“1阶倒差数”，35； 【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， 1 ∴32不是“1阶倒差数”． 112第5个“2阶倒差数”为5－7＝35. 1－2x－1 (2)设m是由两个连续奇数2x－1，2x＋1组成的“2阶倒差数”，则m＝ 2x＋1－（2x－1）12 ＝＝2. 2x＋1（2x＋1）（2x－1）4x－1 ∵c，d是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”， 拼搏的你，背影很美！ ∴可设c＝ 22 ，d＝， 4y2－14z2－1 11 ∵d－c＝22， 4z2－14y2－1 ∴2－2＝22， 即z2－y2＝11， ∴(z＋y)(z－y)＝11>0， ∴z＞y. ∵11＝1×11， z＋y＝11y＝5∴，解得， z－y＝1z＝6 2222 ＝，d＝＝. 4×52－1994×62－1143 ∴c＝ 22. (1)证明：设A＝xy，则其“诚勤数”为x2y，“立达数”为10x＋y＋2， ∴x2y－(10x＋y＋2)＝100x＋20＋y－10x－y－2＝90x＋18＝6(15x＋3)， ∵15x＋3为整数， ∴6(15x＋3)能被6整除， 即对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除； (2)解：设B＝10a＋b，1≤a≤9，0≤b≤9(13加上2后各数字之和变小，说明个 拼搏的你，背影很美！ 位发生了进位)，B＋2＝10a＋b＋2，则B的“立达数”为10(a＋1)＋(b＋2－10)，1 a＋1＋b＋2－10＝2(a＋b)， 整理得：a＋b＝14， ∵1≤a≤9，0≤b≤9， a＝8（舍）a＝6a＝9（舍）a＝5∴、，、，经检验：86和95不符合题意舍b＝6b＝8b＝5b＝9去， ∴所求两位数为68或59. 23. (1)证明：设m＝10t＋8，1≤t≤9，且t为整数． ∴m2－＝(10t＋8)2－＝100t2＋160t＋－＝20(5t2＋8t)． ∵1≤t≤9，t为正整数， ∴5t2＋8t是正整数． ∴m2－一定为20的倍数； (2)解：∵m＝p2－q2，p，q为正整数，∴10t＋8＝(p＋q)(p－q)， 当t＝1时，18＝1×18＝2×9＝3×6，没有满足条件的p，q. 当t＝2时，28＝1×28＝2×14＝4×7. 其中满足条件的p，q的数对有(8，6)，即28＝82－62， 拼搏的你，背影很美！ 63 ∴H(28)＝8＝4. 当t＝3时，38＝1×38＝2×19，没有满足条件的p，q. 当t＝4时，48＝1×48＝2×24 ＝3×16＝4×12＝6×8. 满足条件的p，q的数对为 p－q＝2p－q＝4p－q＝6p＝13p＝8p＝7或或，解得或或. p＋q＝24p＋q＝12p＋q＝8q＝11q＝4q＝1即48＝132－112＝82－42＝72－12. 11411∴H(48)＝13或H(48)＝8＝2或H(48)＝7. 11311∵13＞4＞2＞7， 11 ∴H(m)的最大值为13. 24. 解：(1)∵m，n都是四位“格调数”， 则设m＝a(a＋1)(a＋2)(a＋3)，n＝b(b＋1)(b＋2)(b＋3)， 即m＝1000a＋100(a＋1)＋10(a＋2)＋(a＋3)＝1111a＋123， n＝1000b＋100(b＋1)＋10(b＋2)＋(b＋3)＝1111b＋123， ∴m－n＝1111a＋123－(1111b＋123)＝1111(a－b)＝3333， 拼搏的你，背影很美！ ∴a－b＝3，即a＝b＋3. ∵m是四位“格调数”， ∴1≤a≤6， ∴1≤b＋3≤6， ∴1≤b≤3，∴b为1，2或3，则a为4，5或6， ∴m为4567，5678或67； (2)q是“发财数”． ∵t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)＝111a＋12， ∴k＝100(a＋2)＋10(a＋1)＋a＝111a＋210， ∴q＝k－t＝(111a＋210)－(111a＋12)＝210－12＝198， ∵198÷18＝11， ∴198是18的整倍数， 即198是“发财数”， ∴q是“发财数”． 25. 解：(1)7； 证明：设这个四位“两头蛇数”为1ab1，由题意得： 拼搏的你，背影很美！ 1ab1－3ab＝1001＋100a＋10b－30a－3b＝1001＋70a＋7b＝7(143＋10a＋b) ∵a、b为整数， ∴143＋10a＋b为整数， ∴一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的三倍能被7整除； (2)∵16的真因数有：1，2，4，8. ∴1＋2＋4＋8＝15， ∵15＝1＋3＋11， ∴16的“亲和数”为33. 设这个五位“两头蛇数”为1x4y1， 1x4y1 由题意得：33为整数， 10x＋10y＋6 为整数， 33 ∴315＋30x＋ ∴10x＋10y＋6＝66， ∴x＋y＝6， ∵0≤x≤9，0≤y≤9，且为整数，x＜y x＝0x＝1x＝2∴或或. y＝6y＝5y＝4 拼搏的你，背影很美！ ∴这个五位“两头蛇数”为10461或11451或12441. 26. 解：(1)22；17＋5m. 【解法提示】将3个数：2，8，7，做一次“差变增数列”，得到的数字为2，6，8，－1，7，所有数字的和为2＋6＋8＋(－1)＋7 ＝22； ∵将数串a，b，c做一次“差变增数列”得到a，b－a，b，c－b，c， 所有数字和的增加量M＝(a＋b－a＋b＋c－b＋c)－(a＋b＋c)＝c－a， ∴将一个数串每做一次“差变增数列”，所有数字的和的增加量相同，均为原数最后一个数与第一个数的差 ∵数串2，8，7中，7－2＝5. ∴每做一次“差变增数列”，所有数字的和增加5， ∴做m次“差变增数列”后，所得数字的和为2＋8＋7＋5m，即17 ＋5m. (2)∵数串：x，8，y， ∴做100次“差变增数列”，所得数字的和为x＋8＋y＋100(y－x)＝－99x＋101y＋8， 208＋99x 根据题意得－99x＋101y＋8 ＝216，即y＝101， ∵y是整数，∴208＋99x是101的正整数倍， 拼搏的你，背影很美！ 当208＋99x＝101时，x无正整数解； 当208＋99x＝2×101时，x无正整数解； 当208＋99x ＝3×101时，x无正整数解； 当208＋99x＝4×101时，x无正整数解； 当208＋99x＝5×101时，x＝3，此时y＝5，满足题意； 经检验，在0≤x≤9中，有且只有x＝3，y＝5满足题意， ∴x＝3，y＝5. 27. 解：(1)1001，9999； (2)设这个“和平数”为abcd，则d＝2a，a＋b＝c＋d，b＋c＝12k， ∴2c＋a＝12k，即a＝2、4、6、8，d＝4、8、12(舍去)，16(舍去)， ①当a＝2、d＝4时2(c＋1)＝12k， 可知c＋1＝6k且a＋b＝c＋d， ∴c＝5，则b＝7， ②当a＝4、d＝8时，2(c＋2)＝12k， 可知c＋2＝6k且a＋b＝c＋d， ∴c＝4，则b＝8. 拼搏的你，背影很美！ 综上所述，这个数为2754、4848. (3)设任意一组“相关和平数”为abcd，badc(a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0)， 则abcd＋badc＝1100(a＋b)＋11(c＋d)＝1111(a＋b)， 即任意一组“相关和平数”之和是1111的倍数． 28. 解：(1)若“矩数”m＝k(k＋1)是3的倍数，则k(k＋1)是3的倍数，k是正整数． 当k为奇数时，k＋1是偶数，则k(k＋1)是能被3整除的偶数， ∴k(k＋1)是6的倍数； 当k为偶数时，则k(k＋1)是能被3整除的偶数， ∴k(k＋1)是6的倍数． 综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数． (2)根据题意，得p＝t(t＋1)，q＝s(s＋1)，D(p，q)＝t(t＋1)－s(s＋1)＝30， 即t2＋t－s2－s＝30， ∴(t－s)(t＋s＋1)＝30. ∵t，s是正整数，t＞s， 拼搏的你，背影很美！ ∴t－s，t＋s＋1是正整数，且t＋s＋1＞t－s. ∵30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6， t－s＝1t－s＝2t－s＝3t－s＝5∴ 或 或 或， t＋s＋1＝30t＋s＋1＝15t＋s＋1＝10t＋s＋1＝6t＝15t＝8t＝6t＝5解得 或或 或， s＝14s＝6s＝3s＝0∵t，s是正整数， t＝15t＝8t＝6∴符合条件的是 或 或 s＝14s＝6s＝3s14s63s31 ∴t＝15或t＝8＝4或t＝6＝2. 1431∵15＞4＞2， s14∴t的最大值为15. 29. 解：(1)设这个k类自然数为x(x＋k)(x＋2k)， x（x＋k）（x＋2k）＋x100x＋10x＋10k＋x＋x＋2k112x＋12k∵＝＝＝28x＋ 4443k为整数， ∴任意一个三位k类自然数与它百位上的数字之和一定能被4整除； (2)设k类四位自然数的千位数字为x，则百位为x＋k，十位为x＋2k，个位为x 拼搏的你，背影很美！ ＋3k， ∵此k类自然数t是成年数， ∴根据成年数的定义有： 1 18{[1000(x＋3k)＋100(x＋k)＋10(x＋2k)＋x]－[1000x＋100(x＋k)＋10(x＋2k)＋x2997k333 ＋3k]}＝18＝2k为整数， 则k必为偶数， ∵1≤x≤9，0≤x＋3k≤9， 8 ∴－9≤3k≤8，即－3≤k≤3， ∴k＝－2或0或2， ∵F(t)＝(x＋x＋2k)2－(x＋k＋x＋3k)2＝－8kx－12k2(1≤x≤9)， ∴当k＝－2时，F(t)＝16x－48，若x＝1，则F(t)有最小值16×1－48＝－32； 当k＝0时，F(t)＝0； 当k＝2时，F(t)＝－16x－48，若x＝9，则F(t)有最小值－16×9－48＝－192； 综上，F(t)最小值是－192. 30. (1)解：由调和数的定义有：a＋4＋3＝2＋b＋c，得a＝b＋c－5， 拼搏的你，背影很美！ ∵这两个三位调和数之和是17的倍数， 100a＋43＋200＋10b＋c－2a－7b＋c＋5∴＝6a＋b＋14＋为整数， 1717－2a－7b＋c＋5 ∴必为整数， 17∵a＝b＋c－5， －2（b＋c－5）－7b＋c＋5－9b－c＋158b－c－2∴，即＝－b＋1＋ 171717为整数， 8b－c－2 ∴17为整数， ∵0≤b≤a≤9，0≤c≤9， ∴－11≤8b－c－2≤70， 则8b－c－2＝0或17或34或51或68， 由8b－c－2＝0得c＝8b－2， ∵0≤c≤9，∴0≤8b－2≤9， 111∴≤b≤， 48 a＝2∴b＝1； c＝6 由8b－c－2＝17得c＝8b－19， 拼搏的你，背影很美！ ∵0≤c≤9，∴0≤8b－19≤9， 31∴28≤b≤32， a＝3∴b＝3； c＝5 由8b－c－2＝34得c＝8b－36， ∵0≤c≤9，∴0≤8b－36≤9， 15∴42≤b≤58， a＝4 ∴b＝5(舍去)； c＝4 由8b－c－2＝51得c＝8b－53， ∵0≤c≤9，∴0≤8b－53≤9， 53∴68≤b≤74， a＝5 ∴b＝7(舍去)； c＝3 由8b－c－2＝68得c＝8b－70， ∵0≤c≤9，∴0≤8b－70≤9， 37∴84≤b≤98， 拼搏的你，背影很美！ a＝6 ∴b＝9(舍去)； c＝2 综上所述，这两个调和数分别是243和216或343和235； (2)证明：由调和数定义可得，x＋y＝m＋n①， ∵A与B之和是B与A之差的3倍， ∴10x＋y＋10m＋n＝3(10m＋n－10x－y)， ∴20x＋2y＝10m＋n②， x＋y ②－①，得19x＋y＝9m，即18x＋x＋y＝9m，∴m＝2x＋9， ∵1≤x≤9，0≤y≤9，A≠B， ∴x≠m，x与y也不可能同时等于9，∴1≤x＋y<18， x＋yx＋y ∵m＝2x＋9为不为0的整数，∴9为整数， ∴1≤x＋y<18，∴x＋y＝9，∴y＝－x＋9. 拼搏的你，背影很美！
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